Utility-Based Power Control

Questo approccio mira a risolvere alcuni dei problemi del Distributed Power Control, implementando un algoritmo per l’aggiornamento delle potenze diverso da quello presentato in precedenza. Lo studio di questo algoritmo è mostrato in modo approfondito in [9]. L’obiettivo è, anche in questo caso, il raggiungimento da parte di tutti gli utenti dello stesso rapporto segnale-rumore, ma non si dà per scontato che il SINR ideale sia costante: bisogna fare in modo che si adatti alle condizioni della rete e quindi che i giocatori decrementino questo valore quando la rete è a rischio di congestione. L’algoritmo che ne risulta ha come caratteristica primaria il fatto che, a seconda delle condizioni, gli utenti regolano il rapporto segnale-rumore che possono essere in grado di raggiungere, e se esso risulta minore del minimo richiesto, smettono di trasmettere finché le condizioni della rete non migliorano. In questo modo si previene di fatto la possibilità che l’algoritmo

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diverga, come succede invece nel Distributed Power Control. In quel caso, infatti, la condizione γ_i

(

m+ ≅ γ ∀ =1

)

*, i 1, 2...N deve venire soddisfatta ad ogni costo, anche quando non è possibile farlo; gli utenti non hanno modo di rendersi conto che l’aumento incontrollato del valore della potenza non porta a nessun risultato desiderabile. Nel caso di UBPC, invece, questo requisito viene tradotto nel cercare ad ogni passo il massimo della funzione di utilità, e nel calcolare poi un valore della potenza, e quindi del SINR, che sia il più vicino possibile a questo valore ideale variabile. Quella che viene usata è una funzione di utilità sigmoide; questa scelta viene giustificata sostenendo che una funzione del genere, empiricamente, ha una forma più “naturale”, nel senso che assume valori compresi fra 0 e 1 e quindi appare adatta a fornire una misura del grado di soddisfazione di ogni utente. Inoltre, la proporzionalità inversa che deve esistere tra l’utilità e la potenza viene rappresentata tramite una funzione di pricing; l’obiettivo diventa quindi la massimizzazione della cosiddetta net utility, cioè l’utilità al netto del costo necessario per trasmettere alla potenza voluta. Infine, è bene precisare che, dato che in questo caso non esiste un valore fisso di γ*, il numero massimo di utenti che possono essere presenti contemporaneamente nella rete può variare nel tempo; di ciò si deve tenere conto nel caso si voglia implementare una qualche politica di admission control.

2.2.2.1. Implementazione

La funzione di utilità che viene usata nell’UBPC, come anticipato nel Par.2.2.2, è di tipo sigmoide, ed è definita come

( )

1_{( )} 1 − γ −β γ = + i i i i i a u e (2.2.2.1.1)

dove il parametro a rappresenta la pendenza della sigmoide, mentre _i β_i indica il valore per cui u_i

( )

γ =_i 0.5. Quella che si vuole massimizzare, però, è l’utilità netta, ovvero la differenza fra u_i

( )

γ_i e una certa funzione di costo della potenza, che si suppone lineare e che viene definita come c p_i

( )

_i = α_ip , dove _i α_i è il coefficiente di pricing. La net utility allora sarà data da

(

)

( ) ( )

1_{( )} , 1 − γ −β γ = γ − = − α − i i i i i i i i i i a i i NU p u c p p e . (2.2.2.1.2)

Per massimizzare questa funzione, è necessario trovare quei punti che ne annullano la derivata prima, che possiamo scrivere come:

(

γ ,

)

₌

( )

γ −

( )

₌ '

_{( ) ( )}

_γ γ ₋ '

_{( )}

i i i i i i i i i i i i i i i i dNU p du dc p du u c p dp dp dp . (2.2.2.1.3)

Criteri di allocazione delle risorse in una rete di comunicazione wireless basati sulla teoria dei giochi Utility-Based Power Control

Affinché questa quantità si annulli, deve essere

( ) ( )

( )

' γ i γi = ' i i i i i du u c p dp ; (2.2.2.1.4)

ma dato che il rapporto segnale-rumore cresce linearmente con la potenza possiamo anche scrivere

( )

( )

' γ γi = ' i i i i i u c p p (2.2.2.1.5) e quindi

( )

( )

' _{γ γ =} ' i i i i i i u c p p . (2.2.2.1.6)

Esplicitando la derivata della funzione di costo otteniamo

( )

' γ = α = α = α γ i i i i i i i i i i ii i ii p p R R u G p G , (2.2.2.1.7) con G_ii =W h_i R e 2 1 = ≠ =

∑

N + σ i ij j j j i

Criteri di allocazione delle risorse in una rete di comunicazione wireless basati sulla teoria dei giochi Utility-Based Power Control µ ' 1−   γ = _α _   i i i i ii R u G . (2.2.2.1.8)

L’inversa della derivata dell’utilità può essere calcolata nel punto considerato, perché si tratta di quantità che possono essere misurate e che sono note a ogni passo dell’algoritmo. Si capisce allora come sia possibile che il SINR ideale cambi a ogni passo: esso infatti è espresso in funzione dell’interferenza R , che può variare ad ogni aggiornamento delle _i potenze, così come il fattore di pricing, se si sceglie di seguire una politica per cui non rimanga fisso. Per calcolare la potenza necessaria al raggiungimento di µγ_i, basta pensare che il rapporto segnale-rumore è in ogni caso definito come µγ =_i G p R e quindi _iiµ_{i i}

µ_{= γ =}µ µ_{γ = γ}µ γ i i i i i i i i ii ii i i R R p p p G G p . (2.2.2.1.9)

Quest’ultimo passaggio può essere usato per definire l’algoritmo da usare per l’aggiornamento delle potenze come:

(

+ =1

)

( )

µγ

( )_{( )}

γ i i i i m p m p m m , (2.2.2.1.10)

Criteri di allocazione delle risorse in una rete di comunicazione wireless basati sulla teoria dei giochi Utility-Based Power Control µ

_{( )}

1 ln 1 2 2 2 2  _{ }   γ = β − − − _ − _  _{ }   i i i i i i i i i a a a m a K K K , (2.2.2.1.11) con α @ i i i ii R K G . (2.2.2.1.12)

Per capire come scegliere il fattore di pricing si possono fare delle considerazioni grafiche. La net utility, infatti, è definita come la somma di due funzioni, una sigmoide e una retta, e lo studio di questi due grafici in funzione del SINR può dare informazioni utili per la completa comprensione del problema. In Figura 3 sono riportati i grafici della funzione di utilità (in blu) e alcuni esempi di funzione di costo al variare del coefficiente angolare, che risulta pari a α_iR G , se si esprime il costo rispetto al SINR anziché alla potenza come _{i ii}

= α = α i γ i i i i i ii R c p G . (2.2.2.1.13)

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Figura 3 - Utility-Based Power Control

Al variare del coefficiente angolare la retta di costo avrà una diversa posizione rispetto al grafico dell’utilità. Il minimo coefficiente angolare si ha per R_i = σ2, che corrisponde al caso in cui non ci sia nessuno che trasmette, ma in cui il background noise σ2 _viene comunque misurato. In questo modo si ottiene la retta 4; all’aumentare del coefficiente angolare, si ottengono rette che hanno due intersezioni con il grafico dell’utilità (come la 1) fino ad arrivare al caso 2 in cui l’intersezione è una sola. Aumentare ancora il coefficiente angolare non ha molto senso dato che si otterrebbero rette come la 3 in corrispondenza delle quali l’utilità assume valori molto bassi. In conclusione, è chiaro che per avere valori di utilità ragionevolmente alti bisogna scegliere un costo tale per cui la retta corrispondente sia compresa fra la 2 e la 4 della Figura 3. Inoltre, al crescere della quantità α_i R G il SINR obiettivo, µ_{i ii} γ_i , diminuisce automaticamente: questo fatto può essere causato da un aumento di R , che testimonia una maggiore ostilità dell’ambiente _i

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circostante. In sostanza, al contrario del Distributed Power Control, in questo caso esiste un meccanismo che impone agli utenti di “accontentarsi” di un SINR minore qualora le condizioni della rete siano in peggioramento, e viceversa. Di conseguenza diventa impossibile che i valori delle potenze divergano, se il coefficiente di pricing è scelto in modo opportuno. A questo punto, al passo m -esimo devono venire eseguite le seguenti operazioni:

1. Misura di R m e aggiornamento di _i

( )

G m ; _ii

( )

2. Aggiornamento di α_i

( )

m = αR m G m , dove _i

( ) ( )

_ii α è una costante che può essere fornita dalla Base Station;

3. Calcolo di µγ_i

( )

m ; § Se µ

( )

min

γi m < γi , si interrompe la trasmissione impostando p mi

(

+ =1

)

0;

§ Altrimenti, µp m_i

(

+ =1

)

p m_i

( )

µγ_i

( ) ( )

m γ_i m ; 4. Incremento dell’indice m e ritorno al passo 1.

Da notare che per ogni utente è necessario che sia nota la quantità

min

γ_i , che rappresenta il minimo rapporto segnale-rumore richiesto, nonché i parametri a e _i β_i relativi alla funzione sigmoide. Variando queste grandezze si definisce qual è il tipo di trasmissione che ogni giocatore vuole instaurare; ad esempio, se

min

γ_i è molto basso, l’utente in questione preferirà continuare a trasmettere in ogni caso, anche se a bassa qualità, piuttosto che interrompere la connessione.

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Infine, bisogna chiedersi come può essere definito l’equilibrio nel caso di UBPC. Per il Distributed Power Control, infatti, quello che deve essere trovato è un insieme di potenze scelte in modo che tutti i giocatori raggiungano contemporaneamente il valore γ*. In questo caso, però, un valore del genere non esiste, o meglio varia a ogni passo, perciò la definizione dell’equilibrio non può essere analoga a quella del caso precedente. Allora si può dire che un equilibrio esiste quando può essere calcolato un insieme p=

[

p p₁, ₂,...p_N

]

tale che

µ_,

₍

_,

₎

_{0 1, 2...}

γ ≥ γi i NUi γi pi > ∀ =i N. (2.2.2.1.14)

In pratica, da questa definizione, tramite la condizione NU_i

(

γ_i,p_i

)

>0, sono esclusi tutti gli insiemi p in cui è presente almeno un utente che ha interrotto la trasmissione impostando p_i =0. Questa caratteristica dell’algoritmo, infatti, è pensata solamente per impedire che le potenze crescano in modo indiscriminato quando il numero di utenti è troppo alto per le condizioni della rete.

2.2.2.2. Risultati

Anche in questo caso la prova che è stata effettuata consiste nel creare una rete in cui è presente un solo utente, e nell’aggiungerne uno alla volta attendendo il raggiungimento un nuovo equilibrio. Da notare che si suppone che gli utenti siano tutti dello stesso tipo, quindi ognuno con gli stessi parametri relativi alla sigmoide e con

min

γi uguale per tutti.

L’equilibrio si considera raggiunto quando gli utenti sono arrivati tutti allo stesso valore di rapporto segnale-rumore, e quindi non ce n’è nessuno che abbia annullato la potenza. In Tabella 2 sono riportati i parametri generali per le simulazioni, identici a quelli usati per il Distributed Power Control, mentre la Tabella 3 mostra i parametri specifici per UBPC. In Figura 4 è riportato l’andamento del SINR di tutti gli utenti in funzione del numero di passi.

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Ogni volta che viene aggiunto un utente (cioè ogni volta che, come per il Distributed Power Control, si ha un “picco” nel SINR) bastano pochi passi al raggiungimento di un nuovo equilibrio. Inoltre, al contrario del Distributed Power Control, il numero di passi non è crescente all’aumentare degli utenti, ma varia relativamente poco da caso a caso. Per quanto riguarda il numero massimo di utenti, la sua definizione non è intuitiva come per il Distributed Power Control, perché la quantità γ* _{in questo caso non è fissa. La}

simulazione si ferma a dieci utenti, ma è possibile proseguire aggiungendone altri, fino circa a 15; viene trovato comunque un equilibrio, ma con un SINR minore rispetto al Distributed Power Control, e decrescente al crescere del numero di utenti presenti.

W 1 MHz Banda disponibile

R 1 Kbps Rate trasmissivo

L 64 bit Lunghezza della parte dati del pacchetto M 80 bit Lunghezza totale del pacchetto σ2 _5*10-15

W Potenza del rumore AWGN E 2 J Energia contenuta nella batteria K 0.097 Costante usata nel calcolo delle attenuazioni dmin 100 m Distanza minima fra gli utenti e la Base Station

dmax 500 m Distanza massima fra gli utenti e la Base Station

pinit 10-6 W Massima potenza iniziale

pmax 1 W Massima potenza

diffmax 0.01 Massima differenza fra il SINR di un utente e γ*

diffpow 10-18 Massima variazione di potenza in due passi successivi

stepsmax 500 Massimo numero di passi dell’algoritmo

Criteri di allocazione delle risorse in una rete di comunicazione wireless basati sulla teoria dei giochi Throughput maximization game

a 1 Pendenza della sigmoide β 10 Centro della sigmoide

α 0.01 Pricing factor

γmin 10 Minimo SINR richiesto

Tabella 3 - Parametri specifici UBPC

Nel documento Criteri di allocazione delle risorse in una rete di comunicazione wireless basati sulla teoria dei giochi (pagine 35-46)