Appurato che la Variet`a di Veronese νj(Pn) parametrizza l’insieme dei polinomi in PN di grado j
CHAPTER 3. VARIET `A DELLE SECANTI 3.2. VARIET `A DELLE SECANTI
che parametrizzi somme di potenze j-esime di forme lineari di R = K[x0, . . . , xn].
Per fare questo ci facciamo aiutare dalla somma puramente geometrica di punti. Se P1 = [a0, a1, . . . , ar],
P2 = [b0, b1, . . . , br] ∈ Prla variet`a che ne parametrizza la somma `e la retta proiettiva che li contiene,
ossia:
< P1, P2 >= {Q ∈ Pr/Q = [λa0+ µb0, . . . , λar+ µbr] dove [λ, µ] ∈ P1}.
Cercare la variet`a che parametrizzi la somma di due potenze j-esime di forme lineari in S `e come cercare la corda per νj(Pn) che collega due punti distinti, ossia una retta secante non degenere di
νj(Pn) e la si chiamer`a Secante a νj(Pn).
Analogamente, dati tre punti non allineati in Pr, la variet`a che ne parametrizza la somma `e il
piano che li contiene; cos´ı, prendendo tre punti di νj(Pn), nel caso delle potenze j-esime, la loro
“somma”, ossia il piano che li contiene, si chiamer`a “Piano 3-secante a νj(Pn)” o “P2 3-secante a
νj(Pn)”.
Pi´u in generale, la somma di s potenze j-esime sar`a nomata “Ps−1 s-secante”.
Questa `e una costruzione da un punto di vista algebrico della Variet`a delle Secanti; vediamone ora una pi´u geometrica.
Variet´a 2-secante
Sia X ⊂ PN una variet´a con dimX = n. Presi due punti in X c’ `e una retta che li congiunge;
considero tutte le coppie possibili di punti in X e tutte le rette che li uniscono (a due a due); ne faccio l’unione, ci`o che ottengo `e un aperto (non vengono prese in considerazione tutte le rette tangenti a X); ecco: la chiusura di tale aperto `e una variet`a che viene chiamata “variet´a 2-secante ad X”.
Variet`a 3-secante
Al solito sia X ⊂ Pn una variet´a di dimensione n. Prendo tre punti di X e considero il piano
da essi individuato. Prendo tutte le 3-uple di punti di X e i piani passanti per esse, ne considero l’unione, ottengo un aperto la cui chiusura sar`a proprio la “variet´a 3-secante ad X”.
In generale la
Variet´a t-secante
Sia X ⊂ PN con dimX = n. Considero t punti di X e il piano (t − 1)-dimensionale passante per essi. Prendo poi tutti i piani costruiti in questo modo al variare della t-upla di punti in X; la chiusura dell’insieme unione di tutti questi piani `e precisamente la “Variet`a t-secante ad X” che si `
e soliti indicare con una delle seguenti notazioni: Sect−1(X) = Xt= t − sec(X)
Quindi la variet´a delle t-secanti ha come elementi somme di t potenze j-esime di polinomi di grado 1.
Pu`o essere ora interessante studiare la dimensione di Sect−1(X).
In X abbiamo preso t punti P1, . . . , Pt quindi (P1, . . . , Pt) ∈
t volte
z }| {
X × X × · · · × X e dim(X × X × · · · × X) = nt. t punti generano un Pt−1 ⊂ PN; ci aspettiamo quindi che dimSec
a meno che nt + t − 1 ≥ N nel cui caso ci attendiamo che Sect−1(X) = PN. Avremo quindi che la
Chapter 4
Punti Grassi, Problemi di Waring,
Variet`a delle Secanti
In questo capitolo cercheremo di stabilire una connessione tra gli argomenti trattati fino ad ora. Anche in questa circostanza ci avvarremo delle gi`a citate note di A.V. Geramita [Ge]. Stabiliremo un legame tra i problemi di Waring sulla rappresentazione di forme omogenne di grado j come somme di potenze j-esime di forme lineari e le variet`a delle secanti di variet`a di Veronese.
4.1
Preliminari
Spendiamo ancora alcune parole riguardo le variet`a delle secanti. Nelle proposizioni che seguono si osserva cosa accade se si interseca νj(Pn) rispettivamente con una retta, un piano ed uno spazio
tridimensionale di PN; per quanto riguarda le dimostrazioni si faccia al solito riferimento a [Ge].
Proposizione 4.1
Sia S = νj(PN), con N =
n + j n
− 1. Una retta di PN pu`o incontrare S in uno
schema 0-dimensionale di molteplicit`a al pi´u 2. Proposizione 4.2
L’intersezione di un piano in PN con S, se non `e vuota, o `e una conica piana oppure uno schema 0-dimensionale di molteplicit`a al pi´u 3.
L’intersezione di un P3 ⊂ PN con S, se non `e vuota, `e o uno schema 0-dimensionale di
molteplicit`a al pi´u 4, o una curva razionale normale di grado 3 (nel caso in cui j = 3) oppure una curva razionale normale di grado 2, ossia una conica piana (nel caso in cui j = 2).
Osserviamo che, nonostante la validit`a di tali risultati, non `e necessariamente vero che se si ha νj : Pn→ PN e si scrive S = νj(Pn) allora se Pt ⊆ PN incontra S in uno schema 0-dimensionale
tale schema debba avere molteplicit`a al pi´u t + 1. Valga il seguente controesempio: ν3 : P3 −→ P19,
consideriamo P16 ⊂ P19 che corrisponde ad un sottospazio delle cubiche di P3 di dimensione 3.
Tale P16 incontra S esattamente in 27 punti di P3.
In generale non `e noto, per un t fissato, quale sia la molteplicit`a massima di intersezione che pu`o avere Pt⊂ PN con S (sempre assumendo che tale intersezione sia uno schema 0-dimensionale).
Prima di passare alla soluzione del grande problema di Waring diamo un esempio di problema riguardante Ut(j).
Trattiamo il caso di U2(3) e dimostriamo che non `e chiuso ossia che i polinomi di S = K[y0, y1, y2]
di grado 3 che sono somma di due cubi di forme lineari non riempiono la varit`a delle secanti ν3(P2) ⊂ P9. L’idea `e di mostrare che i punti dei piani tangenti a ν3(P2) = S stanno tutti nella
chiusura dell’insieme delle “vere” rette secanti di S, ma nessuno di essi sta su una “vera” secante. Sia P ∈ ν3(P2) = S e sia Π il piano tangente ad S in P . Non `e difficile vedere che l’intersezione
di Π ed S in P `e un sottoschema di P9 di molteplicit`a non inferiore a 3 e che nessuna retta di Π passante per P incontra S in P in un sottoschema di P9 di molteplicit`a 1 o 2. Sia ora Q ∈ Π,
Q 6= P ; mostriamo che Q non appartiene ad una “vera” retta secante ossia la forma cubica in S3
che corrisponde a Q non `e la somma di due cubi di forme lineari. Supponiamo per assurdo che ci`o accada. Si possono dunque trovare P1, P2 ∈ S tali che la retta da essi individuata incontri Π
in Q. Sia Π0 il piano contenente le rette incidenti P1P2 e P Q. Π0 incontra S almeno una volta in
P1 ed in P2 e almeno due volte in P , ossia la sua intersezione con S `e un sottoschema di P9 con
molteplicit`a almeno 4. Ma per la proposizione 4.2 (osserviamo che siamo nel caso in cui j = 3) ci`o non `e possibile (questa dimostrazione `e dovuta a M. V. Catalisano).