In Figura 8.3 sono rappresentate le linee di corrente in 5 istanti: accelerazione (0.15 s), picco sistolico (0.25 s), decelerazione (0.35 s), usso inverso (0.45 s) e diastole (0.7 s). Per una migliore leggibilità del disegno si sceglie di visualizzare 4 linee che passano per punti appartenenti alla prima e seconda diramazione e 6 linee che passano per punti appartenenti all'ingresso e alla frontiera di uscita dell'aorta discendente. Si può notare che:
• le fasi di accelerazione, no al picco sistolico, tendono a stabilizza- re il usso: le linee di corrente percorrono il dominio computazionale
dall'ingresso verso le uscite;
• nella prima diramazione, a causa del progressivo restringimento di se- zione, il usso accelera, arrivando a velocità notevolmente superiori rispetto a quelle imposte in ingresso;
• in fase di decelerazione si nota molto chiaramente la nascita dell'elicità nel usso (cfr. Figura 2.8) con due linee di corrente che sembrano avvolgere l'asse dell'aorta;
• durante il usso inverso, a causa dell'incomprimibilità del uido e della rigidezza delle pareti, si ha un consistente ingresso di uido dalle due diramazioni, che si distribuisce tra l'ingresso e l'aorta discendente: que- sto fenomeno è nella realtà tutto sommato trascurabile e compensato in gran parte da una leggera contrazione del vaso, che a questo livello di schematizzazione è stato trascurato nella simulazione;
• durante la fase di diastole le velocità sono decisamente minori e l'eetto di reingresso di uido dalle diramazioni è ancora più trascurabile; la cosa più evidente è però un'ampia zona di ricircolo in corrispondenza dell'aneurisma.
In Figura 8.4, Figura 8.5 e Figura 8.6 sono riportati i campi di sforzo di taglio alla parete agli istanti t = 0.25 s, t = 0.35 s e t = 0.45 s. Non vengono visualizzati gli istanti successivi in quanto lo sforzo di taglio si riduce di ordini di grandezza. Come per la pressione, l'unità di misura del WSS calcolato da OpenFOAM è m2 s−2: per ottenere lo sforzo di taglio alla parete in Pascal
occorre moltiplicare per la densità. Per migliorare la leggibilità della gura è stato usato un fondo-scala diverso per i vari istanti; questo non arriva inoltre al massimo WSS calcolato, che invece vale:
- 0.275 m2 s−2 per t = 0.25 s, raggiunto dove la LSA si dirama dall'arco
aortico;
- 0.032 m2 s−2 per t = 0.35 s, raggiunto sulla parete esterna dell'arco,
- 0.055 m2 s−2 per t = 0.45 s, raggiunto sulla parete della diramazione
da cui nascono la BA e LCA; Si possono fare le seguenti osservazioni:
• la parete dell'aneurisma (sia interna che esterna) è sempre molto poco sollecitata: questo fenomeno ben si correla con l'evidenza sperimenta- le secondo cui alle zone di massimo spancio sono associate le regioni di valori di WSS più bassi; come riportato in letteratura [37] [38] le cellule endoteliali rispondono ad un minor WSS modi cando la loro espressione genica no a sviluppare un fenomeno in ammatorio; • nella parte terminale dell'arco aortico, immediatamente prima che inizi
il tratto discendente, l'aorta presenta una strizione, caratterizzata, nei tre istanti analizzati, da un elevato valore del WSS;
• le diramazioni raggiungono valori molto elevati del WSS durante il picco sistolico, ma si scaricano quasi completamente nelle fasi di decelerazio- ne;
• come per la geometria idealizzata, l'alto valore di WSS all'ingresso è causato dal fatto che si impone un pro lo di velocità piatto, per cui lo strato limite non è ancora sviluppato e sono presenti elevati gradienti di velocità.
Figura 8.3: Visualizzazione delle linee di corrente per t = 0.15 s, t = 0.25 s, t = 0.35 s, t = 0.45 s, t = 0.7 s.
Conclusioni e sviluppi futuri
Negli ultimi decenni, le simulazioni numeriche dei ussi emodinamici hanno acquisito un'importanza sempre maggiore nella comprensione del sistema cir- colatorio e, in particolare, l'origine e lo sviluppo di malattie cardiovascolari. Il grado di complessità dei modelli e la qualità dei risultati sono cresciuti no- tevolmente, grazie anche agli sviluppi nelle tecniche di diagnostica e imaging e nelle capacità di calcolo.
In questo studio è stata proposta una presentazione del problema della simu- lazione dell'emodinamica nell'aorta toracica, con una parte introduttiva in cui sono messi in evidenza i ruoli delle condizioni al contorno, dell'interazio- ne uido-struttura, di una geometria dettagliata e del modello di turbolenza. Per ognuno di questi aspetti sono stati messi in luce diversi approcci con cui arontare la simulazione, a partire da quelli più semplici, ma con costi computazionali ridotti, a quelli più complessi. Allo stato attuale la maggior parte degli studi in letteratura si concentra sui singoli aspetti sopra elencati, sviluppandone un modello dettagliato e confrontandolo, ma non esiste ancora una strategia numerica che sia in grado di garantire una buona attendibilità dal punto di vista quantitativo. La CFD sviluppata in questo ambito no ad oggi è infatti più di tipo esplorativo che non predittivo, principalmente nalizzata alla messa a punto di modelli numerici ad-hoc per rappresentare le molte peculiarità del usso considerato.
In questo lavoro si è scelto di adottare OpenFOAM per svolgere le simu- lazioni, prima su una geometria di prova, costituita da un tubo rettilineo, poi su una geometria idealizzata dell'aorta e in ne su una geometria reale tratta da scansione CT. Viene adottato un modello di uido Newtoniano e di usso laminare e incomprimibile, ipotesi giusti cata dal fatto che nei grandi vasi il comportamento non Newtoniano del sangue può essere trascurato e il numero di Reynolds è mediamente sotto il valore per cui si ha transizione a regime turbolento, anche se questo aspetto merita ulteriori approfondimenti. La principale di coltà incontrata riguarda la nascita di instabilità nume- riche che portano ad una crescita esponenziale della velocità. Le simulazioni preliminari sulla geometria di prova hanno messo in luce che questo fenomeno ha luogo in modo sistematico quando si hanno ussi pulsati con frontiere di ingresso-uscita e si usa un modello laminare. Il valore del numero di Reynolds per cui questo si manifesta però dipende dalle condizioni in uscita (Open- FOAM ne propone una speci ca per questi casi) e dalla risoluzione spaziale della griglia. Un'alternativa, allo scopo di ridurre i requisiti di ra namento della griglia, accennata ma non sviluppata in questo studio, consiste nell'uti- lizzo di un modello di turbolenza che, introducendo una forma di dissipazione dell'energia, è in grado di ostacolare il manifestarsi dell'instabilità.
Si considera quindi una geometria idealizzata, proposta in letteratura, per analizzare il usso pulsato e confrontare i risultati per diversi numeri di Rey- nolds, ottenuti ra nando progressivamente la griglia. Questa è di tipo ibrido, con una parte strutturata alla parete che garantisce una miglior valutazione dello sforzo di taglio e una parte non strutturata al centro. Si assegnano condizioni di velocità variabile nel tempo in ingresso e di pressione assegnata (0 Pa) in uscita.
Traendo spunto da uno studio in letteratura si considera quindi un diver- so tipo di condizione in uscita sulla stessa geometria: si tratta di un modello in cui la resistenza emodinamica, dovuta agli organi e altre parti del corpo
a valle del dominio computazionale, è rappresentata con mezzi porosi (de- nominati pseudo-organi). OpenFOAM non permette di utilizzare una legge di permeabilità esponenziale con esponente minore dell'unità, come sarebbe invece opportuno per avere pressioni nel range siologico, per cui si adotta una legge lineare di Darcy. L'in uenza degli pseudo-organi rispetto al caso precedente è notevole: il usso in uscita da ogni diramazione è sostanzial- mente in fase con l'onda in ingresso e l'instabilità numerica è intrinsecamente ostacolata dalla resistenza dei mezzi porosi.
L'ultimo capitolo di questo studio costituisce un dimostratore: viene pre- sa in considerazione una geometria reale tratta da scansione CT e si esegue una simulazione a basso numero di Reynolds. Con questa vengono poi ana- lizzati e discussi in dettaglio il usso nelle varie fasi del ciclo cardiaco e le mappe di sforzo di taglio alla parete. Pur non essendo, a causa delle molte sempli cazioni, risultati attendibili da un punto di vista quantitativo, ven- gono così messe in luce le potenzialità del metodo.
In conclusione, questo lavoro ha chiarito le potenzialità e i limiti di Open- FOAM nella simulazione dell'emodinamica nell'aorta toracica, fornendo una comprensione del ruolo dei parametri che intervengono nel problema. È stata dimostrata, in particolare, l'importanza della condizione al contorno di uscita che viene assegnata, mettendo in luce come una condizione di pressione im- posta porti a distribuzioni del usso lontane da quelle reali, oltre a facilitare l'insorgere di instabilità numeriche. I risultati ottenuti inoltre evidenziano la presenza di fenomeni noti sperimentalmente, quali l'elicità del usso in fa- se di decelerazione e il basso valore di WSS, tipico delle pareti degli aneurismi. Partendo dal lavoro svolto in questo studio sono possibili diversi sviluppi, che implementino modelli più so sticati. In particolare:
• è stato utilizzato un pro lo di velocità in ingresso uniforme, con una dipendenza dal tempo esempli cativa: una simulazione più accurata prevede di usare pro li speci ci del paziente misurati con risonanza
magnetica, per essere più corretti nella dipendenza dal tempo e dallo spazio;
• in uscita la rappresentazione della resistenza emodinamica mediante mezzi porosi può essere migliorata con una legge di permeabilità di tipo esponenziale; risultati ancora migliori si otterrebbero tenendo conto del- l'impedenza a valle del dominio computazionale, con onde di pressione in uscita non più necessariamente in fase con quelle in ingresso;
• per poter eettuare simulazioni a numeri di Reynolds realistici e, con- temporaneamente, tener conto della dissipazione di energia per eetto della turbolenza, è opportuno adottare un modello di turbolenza, che può essere di tipo RANS oppure un modello LES;
• per ottenere risultati più accurati, soprattutto per quanto riguarda lo sforzo di taglio alla parete e la propagazione delle onde di pressione, una descrizione dell'interazione uido-struttura diventa necessaria. La messa a punto di una simulazione predittiva, ottenuta dallo sforzo con- giunto di ingegneri e clinici, è una s da che permetterebbe di dare un con- tributo importante alla risoluzione di moltissimi problemi ancora aperti nel mondo delle malattie cardiovascolari, che rappresentano già oggi, ma ancora di più nel futuro, una delle principali cause di morte nel mondo occidentale.
OpenFOAM: dettagli
procedurali
A.1 Assemblaggio del caso
Un caso è composto in partenza da tre cartelle: system, constant, 0. In queste sono contenute tutte le istruzioni da dare a OpenFOAM per eseguire la simulazione. In particolare per un uido incomprimibile:
- la cartella system contiene il le controlDict, in cui sono speci cate le informazioni riguardo ai tempi della simulazione, step temporale, ogni quanti step fare il salvataggio dei dati; il le fvSchemes, nel quale sono forniti gli schemi per la discretizzazione degli operatori dierenziali e per le interpolazioni; il le fvSolution, nel quale si danno indicazioni sul solutore, sul pre-condizionatore, sulle tolleranze e su eventuali forme di correzione (in particolare per griglie non ortogonali);
- la cartella constant contiene la cartella polyMesh, nel quale è contenuta la griglia di calcolo e i le transportProperties (dove viene speci cata la viscosità cinematica ν) e RASProperties e turbulenceProperties (nei quali si forniscono indicazioni riguardo al modello di turbolenza);
- la cartella 0 contiene in ne le condizioni al contorno e le condizioni ini- ziali per le variabili di campo, in particolare la velocità U e la pressione p.
È interessante notare che non si speci ca in alcun modo la densità del uido (che essendo incomprimibile risulta costante) e questo perché tutta l'equa- zione di bilancio della quantità di moto viene divisa per ρ; da qui la necessità di fornire la viscosità cinematica, anziché quella dinamica, e di interpretare la variabile p come il rapporto tra pressione e densità, la cui unità di misura è dunque m2 s−2.
Nel le controlDict è inoltre possibile, anziché speci care un time step, rego- lare il massimo numero di Courant (CFL), de nito da:
CFL = ∆t U
∆x (A.1)
in modo da agevolare la stabilità della soluzione.