Università degli Studi dell’Aquila –
Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile e Ambientale Fisica Generale 2 - Prova scritta d’esame del 4 Luglio 2016
Nome e Cognome: ………..…… No. di matricola: …….…....…CFU……
Problema 1 (10 punti)
Le armature di un condensatore sferico hanno raggi a e b, e vengono mantenute ad una differenza di potenziale costante V da una pila, come in figura.
a) Calcolare la capacità del condensatore e l’energia elettrostatica in esso racchiusa. (punti 2)
b) Calcolare la densità di carica sull’armatura interna. (punti 2)
c) A parità di differenza di potenziale V e di raggio b dell’armatura esterna, quanto deve valere il raggio a dell’armatura interna perché su di essa il campo elettrico Ea sia minimo? (punti 3)
d) Lo spazio fra le armature viene riempito con un materiale di conducibilità σ. Calcolare la corrente totale I che passa fra le due armature. (punti 3)
Dati: V = 10 V; a = 0.6 cm; b = 1 cm; σ = 5 10-‐5 (Ωm)-‐1
Problema 2 (10 punti)
Con riferimento al circuito in figura si determinino:
a) la carica Q0 del condensatore a regime prima della chiusura dell’interruttore T (2 punti);
b) la potenza dissipata da R3 al momento t = 0 della chiusura dell’interruttore (2.5 punti);
c) la carica Q1 del condensatore a regime dopo la chiusura di T (2.5 punti);
d) la carica Q del condensatore al tempo t1 (3 punti).
Dati: f1 = 20 V, f2 = 15 V, R1 = 0.25 kΩ, R2 = 0.5 kΩ, R3 = 1 kΩ, R = 0.3 kΩ, C = 45 nF, t1 = 15 μs.
Problema n.3:
Una spira quadrata di lato a contiene una resistenza R ed una induttanza L. La spira trasla con velocità v mantenuta costante in direzione parallela all’asse x, fino ad attraversare una regione in cui è presente un campo magnetico B uniforme diretto lungo l’asse z perpendicolarmente al piano della spira.
a) Determinare la corrente che scorre nella spira nell’istante in cui è immersa per metà nel campo magnetico (4 punti)
b) Determinare l’istante nel quale la corrente nella spira è massima (2 punti)
c) Calcolare il lavoro necessario a mantenere la velocità della spira costante al valore v (4 punti)
Dati del problema: B=5 T, R= 1.2Ω, L=24mH, v=10m/s, a=20cm
SOLUZIONI Problema 1:
a) Q sia la carica positiva sull’armatura interna. Poiché il problema ha simmetria sferica, la carica Q è distribuita uniformemente e il campo elettrico tra le armature è radiale e
dipendente solo da r. Applicando il teorema di Gauss ad una superficie sferica concentrica al condensatore ed avente raggio r si ha
! ! = !
4!!!!!
La differenza di potenziale tra le armature è data da ! = − !!!!"# !!! = ! !!!! ! !− ! ! ! ! < 0
Prendendo il valore assoluto di V, la capacità vale ! =!
! = 4!!! !"
!!! = 1.7 pF
e l’energia elettrostatica vale U = CV2/2 = 84pJ.
b) La densità superficiale di carica sull’armatura interna è: !! =!!!!! =
!"!!
!(!!!) = 3.7 10-‐8 C/m2
c) il valore Ea del campo elettrico sull’armatura interna: !! =!!!
! =
!"
!(!!!)
Il campo elettrico è minimo se !!!
!" = 0 e quindi si trova che ! =
! ! d) ! = !"# = !"#$ = ! !"# = !!!! = !!!!! = 9.6 mA, essendo !! = 4!" !" !!! Problema 2
Quando il condensatore è a regime prima della chiusura dell’interruttore, la corrente non scorre nella maglia con R e f2, quindi la d.d.p. ai suoi capi è pari a f2. Pertanto la carica è:
!! = !!! = 0.68 μC
Alla chiusura dell’interruttore (t = 0), la d.d.p. ai capi di C resta tale, ma si attivano le correnti nelle due nuove maglie che lo contengono. Per calcolare la corrente che scorre in R3, necessaria al calcolo
della potenza dissipata, si possono ricavare le due correnti di maglia i2 e i3 evidenziate in figura: !! = !!!! − !!!! e 0 = !!!!− !!!!+ !!!!+ !!
dove VC = f2 è la d.d.p. di C a t = 0. Dalle due equazioni si ricava che: !! =!!!!!!
! = 5 mA
da cui: ! !! = !!!!! = 25 mW.
Quando il condensatore raggiunge il nuovo regime, dopo la chiusura di T, il circuito resta formato da tre maglie, escludendo il ramo di C. La d.d.p. a regime ai capi di C può
essere, ad esempio, calcolata come la d.d.p. ai capi del ramo contenente R e f2. A tal fine, si può calcolare la corrente che scorre a regime in R sempre con il metodo delle maglie: !! = !!!!,
!! = !!!!+ !!!!, !! = (! + !! + !!)!! + !!!! da cui si ottiene: !! = !!!!!
con il segno negativo ad indicare che il verso di I3 è contrario a quello scelto arbitrariamente in figura. La corrente I3 scorre pertanto in senso orario e la d.d.p. ai capi del ramo con R e f2, ovvero quella di C a regime, è:
!!! = !
! + ! !! = 16 V, da cui !! = !!!! = 0.73 μC.
Per calcolare la carica Q del condensatore durante il transiente tra i due regimi, si può utilizzare il teorema di Thevenin per ridurre il circuito a un RC semplice, staccando C. Si nota che R1 e R2 sono bypassate dal ramo di f1 che ha resistenza trascurabile, pertanto la resistenza equivalente vista da C è data dal solo parallelo di R e R3:
!!! = !!!
!!!! = 230 Ω
La f.e.m. equivalente è la stessa con C a regime, ovvero !!! = !!! = 16 V. La costante di tempo
del circuito è ! = !!!! = 10 μs. Nel transiente C perde la carica preesistente e va verso il regime finale: ! ! = !!!!!/!+ !!(1 − !!!/!) che per t = t1 dà ! !! = 0.69μC.
Problema 3
a) Il flusso di campo magnetico concatenato dalla spira è diverso da zero solo nell’intervallo di tempo 0<t<T, avendo indicato con l’istante t=0, l’istante in cui il lato destro della spira si trova all’estremo sinistro della regione di spazio in cui è presente il campo magnetico, e con T l’istante in cui la spira è totalmente immersa nel campo. Per tempi successivi a T la spira è sempre immersa nel campo ed il flusso concatenato è costante.
Per 0<t<T avremo:
Φ B = Bax t = Bavt Da cui: !!"= −!!
!" = !"# = 10! dove il segno negativo indica che la
forza elettromotrice contrasta l’aumento di flusso e che nella spira circolerà corrente in senso orario. A questo punto, essendo la forza elettromotrice costante, la spira è assimilabile ad un circuito RL con un generatore di forza elettromotrice Vem e la corrente che circolerà nella spira sarà data da: ! ! = !! (1 − !!!!) con τ =L/R=20ms e I0= V/R=8.3A. Pertanto, essendo t1= a/(2v)=0.01s, la corrente vale:
! !! = !! 1 − !! !!
! = 3.3!
b) corrente nella spira sarà massima nell’istante in cui la spira è totalmente immersa nel campo e quindi quando t=a/v=0.02 s.
c) Nel momento in cui comincia a scorrere corrente nella spira, il lato destro della spira risente di una forza magnetica frenante che si oppone al moto della spira stessa. La forza magnetica vale: Fm= IdlxB che varia nel tempo (e quindi dalla posizione) in quanto la corrente I dipende dal tempo.
Per mantenere il moto della spira con velocità costante bisognerà quindi applicare una forza contraria per contrastare la forza magnetica. Il lavoro compiuto da questa forza è dato da: ! = !!! !" ! = ! ! !"#$ =!"# ! !" (1 − ! ! ! ! !!!"! )!" = !! !!! ! ! + !" !! ! !"− 1 = 0.61!
