Universit`a dell’Aquila - Elettromagnetismo e Fisica 2
Nome Cognome N. Matricola Corso di Studio CFU ... ... ... ... ....
Prova scritta - 05/07/2016 Tempo a disposizione due ore e mezza.
Problema 1
Una carica q = 100 pC `e posta nell’origine delle coordinate ed ad una distanza d = 1 cm vi `e un dipolo elettrico, con momento |p| = 2 × 10−14 Cm, orientato parallelamente alle linee del campo generato dalla carica (cos`ı da essere attratto) . Assunto come asse delle x la congiungente la carica ed il dipolo; determinare a) la forza con cui si attraggono, nell’ipotesi che le dimensioni fisiche del dipolo sia trascurabili rispetto a d = 1 cm; b) il campo elettrico generato nel punto x = 2d/3; c) la differenza di potenziale tra x = 0.2d e x = 0.8d.
Problema 2 Il circuito in figura `e inizialmente aperto per un lun-go tempo. Al tempo t = 0 viene chiuso l’interruttore. Determinare a) la carica iniziale e quella finale del condensatore (cio`e a regime) ; b) l’espressione del-la carica sulle armature del condensatore al generico istante t e in particolare per t = t1 ; c) la corrente in
R1 al tempo 2t1.
(Dati del problema f1 = 15 V , f2 = 3 V , R1 = 1 Ω,
R2 = 2 Ω, R3 = 3 Ω, C = 1 µF , t1 = 1 µs)
Problema 3 Due sbarrette conduttrici, ciascuna di resistenza R = 2 Ω, poggiano senza attrito su due binari orizzontali di resisten-za trascurabile. La distanza tra i binari `e ` = 1.3 m. Il sistema `e immerso in un campo magnetico uniforme B = 0.5 T , entrante nel piano della figura. Le sbarrette si muovono con velocit`a costante v1 = 8 m/s e v2 = 3 m/s.
Determinare a) verso della corrente circolante; b) intensit`a della corrente circolante; c) potenza necessaria a mantenere in moto ciascuna sbarretta.
Soluzioni: Problema 1
a)
Un dipolo, posto nel punto di coordinate d, genera lungo il suo asse un campo pari: Ex =
1 2πεo
p (d − x)3
In particolare per x = 0 (dove `e la carica q): Ex =
1 2πεo
p
(d)3 = 360 V /m
Quindi la forza attrattiva sulla carica q vale: F = qEx = 1 2πεo pq (d)3 = 36 nN b)
Il campo generato lungo l’asse delle x per x ≤ 0 vale: Ext= 1 4πεo q x2 + 1 2πεo p (d − x)3 Quindi se x = 2/3d = 6.7 mm: Ext = 3 · 104 V /m c)
La differenza di potenziale dovuta alla carica vale: DVq= − q 4πεo Z 0.8d 0.2d 1 x2dx = q 4πεo 1 x 0.2d 0.8d = 337 V La differenza di potenziale dovuta al dipolo vale:
DVp = − p 2πεo Z 0.8d 0.2d 1 (d − x)3dx
Facendo un cambio di variabile y = d − x:
DVp = p 2πεo Z 0.2d 0.8d 1 y3dy = p 2πεo " − 1 2y2 #0.2d 0.8d = 42 V Quindi in totale: DV = DVq+ DVp = 379 V
Problema 2 a)
La carica iniziale `e:
Q0 = Cf2 = 3 µC
Mentre la maglia dei due generatori si comportano come un generatore equivalente: fT h = f1− f1− f2 R1+ R2 R1 = 11 V Quindi: Qf = CfT h = 11 µC
La resistenza equivalente vale:
RT h = R3+
R1R2
R1+ R2
= 3.67 Ω b)
L’equazione che determina la carica del condensatore `e: fT h = RT hI3(t) +
Q(T ) C
detta I3 la corrente istantanea nel ramo del condensatore, che `e pari a:
I3(t) = dQ(t) dt Definendo τ = RT hC: dQ Q − fT hC = −dt τ dQ Q − Qf = −dt τ Z Q(t) Q0 dQ0 Q0− Q f = − Z t 0 dt0 τ logQ(t) − Qf Q0− Qf = −t τ Q(t) = Qf + (Q0− Qf)e−t/τ in particolare per t = t1: Q(t1) = 4.9 µC c)
La tensione a capi del condensatore al tempo t2:
VC(t2) = []Qf + (Q0− Qf)e−t2/τ]/C = 6.36 V La corrente I3(t2): I3(t2) = Qf − Q0 τ e −t2/τ = 1.26 A
Quindi per quanto riguarda la maglia esterna:
f1 = I1(t2)R1+ I3(t2)R3+ VC(t2)
I1 = (f1− I3(t2)R3− VC(t2) = 4.84 A
Problema 3 a)
Dato che l’area aumenta la corrente circolante deve essere tale da generare un campo che si oppone a quello entrante la corrente `e in senso antiorario.
b)
Il flusso concatenato alla superficie tra le sbarrette vale: φ = B`(x1− x2) Quindi: f = ∂φ ∂t = B`(v1− v2) i = f 2R = 0.81 A c)
Sulla sbarretta 1 viene esercitata una forza frenante: F1 = −i`B = −0.53 N
Per cui la potenza motoria necessaria a mantenere in moto vale: P1 = −F1v1 = 4.2 W
Mentre sulla sbarretta 2 la forza `e trainante:
F2 = i`B = 0.53 N
per cui per mantenerla a velocit`a costante `e necessaria una potenza frenante: P2 = −F2v2 = −1.6 W
La somma di P1 e P2 `e pari alla potenza dissipata per effetto Joule:
