Cognome Nome Matricola Geometria e Algebra Lineare (8 CFU)

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Cognome Nome Matricola

Geometria e Algebra Lineare (8 CFU)

Ingegneria Informatica e Ingegneria delle Telecomunicazioni Prova scritta del 28 giugno 2010

Durata: Un’ora e mezza.

Istruzioni: Consegnare soltanto questo foglio (formato A3) con lo svolgimento. Giustificare tutte le risposte.

Si possono chiedere spiegazioni solo sugli enunciati degli esercizi (non sullo svolgimento). Non se ne daranno comunque più a mezz’ora dalla fine.

Punteggi: Ogni esercizio vale 10 punti, per un totale di 30.

1) Sia data la funzione lineare T: R⁴→R² definita da:

T: (x,y,z,w)→(x+2y-z+w,z+w).

a) Calcolare le dimensioni di ker T e di Im T.

b) Determinare una base ortonormale B0 di ker T.

c) Completare la base B0 a una base ortonormale di R⁴.

2) Sia data la conica C di equazione

x²+3xy-y²+x+y-1=0.

a) Riconoscere C e scriverne la forma canonica.

b) Determinarne eventuali centro, assi, vertici, asintoti.

c) Scrivere l’equazione di una direttrice di C (ridotta in forma canonica).

3) Sia data la quadrica Q di equazione

x²+y²+4z²-2x=0.

a) Riconoscere Q e scriverne la forma canonica.

b) Scrivere l’equazione del cilindro avente come direttrice la curva C' intersezione di Q con il piano di equazione 2z=1 e generatrici parallele all’asse z.

c) Detta C" l’intersezione di Q con il piano z=0, scrivere l’equazione della superficie di rotazione ottenuta ruotando C" intorno all’asse x; è una quadrica?

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Soluzioni

1a) dim ker T = dim Im T = 2.

1b) Ad esempio: B0={u1,u2} dove u1 =(√5)⁻¹ (2, -1, 0, 0) e u2= (√6 )⁻¹(0,0,1,-1).

1c) Basta aggiungere a B0 i vettori u3=(√7)⁻¹(1,2,1,1) e u4=(√70)⁻¹(2,4,-5,-5).

2a) Invarianti ortogonali: I3=4, I2=-13/4, I1=0. E' quindi un'iperbole equilatera. Forma canonica:

(x²/a²)-(y²/a²)=1, dove a=(-3+√13)/2.

2b) Centro (xC,yC)=(-5/13,1/13), assi y-yC=(2±√10)/2 (x-xC), asintoti y-yC=(3±√13)/2 (x-xC).

2c) I fuochi in forma canonica sono (±√2,0), quindi le relative polari (direttrici) sono x=±(√2)⁻¹. 3a) Basta osservare che l'equazione si scrive (x-1)²+y²+4z²-1=0, quindi con una semplice traslazione si riduce alla forma canonica X²+Y²+4Z²-1=0. E' un ellissoide reale.

3b) Sostituendo z=1/2 nell'equazione si ha x²+y²-2x+1=0, ovvero (x-1)²+y²=0. Il cilindro è ridotto a una coppia di piani immaginari coniugati.

3c) Si ottiene (x-1)²+y²+z²-1=0, che è una sfera e quindi una quadrica. (Geometricamente, si è ruotata una circonferenza attorno a un suo diametro).

Doveva venire 2, probabilmente è un errore di calcolo con i segni

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TDE 28-6-2010

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