prova 2007

(1)

Esame

Sessione

Materia

Argomento

Anno

Stato

Ordinaria Topografia

Frazionamento, spianamento, fotogrammetria

2007

Dovendosi realizzare lavori di natura planimetrica (frazionamenti) ed altimetrica (spianamenti) in un

terreno ABCDEFGA, i cui vertici si susseguono in senso orario, sono stati misurati tutti i lati, alcuni

angoli interni del terreno, in quanto non tutti i vertici risultano reciprocamente visibili, ed alcune quote. I

risultati del rilievo sono riportati nella seguente tabella:

LATI

(metri)

ANGOLI

(gon)

QUOTE

(metri)

AB =

527,321

BAE =

92,3258

del vertice A

601,454

BC =

358,396

AED =

58,3215

del vertice E

619,327

CD =

456,321

GFE = 135,2215

del vertice F

605,327

DE =

495,398

DCB =

85,3215

del vertice G

590,328

EF =

402,528

FG =

597,421

GA =

728,429

Il candidato:

1. Calcoli le coordinate dei vertici del terreno rispetto ad un sistema di assi cartesiani che ha origine

in E e semiasse positivo delle Y passante per il vertice A.

2. Frazioni il terreno ABCDEA, di eguale valore, in tre parti S

1

, S

2

, S

3

, rispettivamente proporzionali

ai numeri m = 1, n = 2, p = 3, con dividenti paralleli al lato AE, sapendo che S

1

deve contenere

il lato EA ed S

3

il vertice C.

3. Progetti la sistemazione altimetrica del terreno AEFGA, formato dalle falde triangolari AEG ed

EFG, con uno spianamento orizzontale di compenso, determinando i relativi volumi di scavo e di

riporto.

4. Nell’ipotesi di voler realizzare del territorio una carta in scala 1:500 e si stabilisca:



_{di effettuare il volo per la presa dei fotogrammi secondo parallele all’asse delle x;}



_{il tempo di esposizione dell’obiettivo, pari a 0,001secondi;}



_{un trascinamento massimo di 0,03mm;}



_{una sovrapposizione longitudinale tra i fotogrammi di una stessa strisciata del 60% una}

sovrapposizione trasversale tra due strisciate consecutive del 20%;



_{l’utilizzo di una camera da presa quadrangolare, con distanza principale di 153,00mm;}



_{il formato dei fotogrammi 230 x 230 millimetri.}

Calcoli:

a. La quota media del volo, la velocità massima che potrà tenere l’aereo ed il corrispondente

intervallo di tempo tra due scatti successivi.

b. Il numero delle strisciate, quello dei fotogrammi per ciascuna strisciata e quello

complessivo.

5. Alleghi i seguenti disegni in scala opportuna:



_{Esplicazione grafica del frazionamento del terreno ABCDEA.}



_{Il piano quotato del terreno AEFGA, evidenziando la parte di scavo da quella di}

riporto.



_{Il grafico del piano di volo}

_____________________________________________________________________________________

Durata massima della prova: 8 ore.

E' consentito soltanto l'uso di manuali tecnici, attrezzature da disegno e di calcolatrici tascabili non programmabili. Non è consentito lanciare l'Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.

(2)

Membro del Comitato Scientifico SIFET – Società Italiana di Fotogrammetria e Topografia Istituto Tecnico Statale per Geometri “Bernini” – Rovigo – E-mail: pigato@itsgberninirovigo.it

1. Determinazione delle coordinate dei vertici dell’appezzamento

Si comincia con la risoluzione del triangolo BCD, del quale si conoscono due lati e l’angolo compreso1_:

m

511,788

BCD

cos

CD

BC

2 CD

BC

BD

=

2

+

2

−

⋅

=

gon

47,7562

CD

BD

2 BC

CD

BD

arccos

BDC

2 2 2

=

⋅

−

+

=

DBC = 200 – (BDC + BCD) = 66,9223 gon

Per risolvere il quadrilatero ABDE si conoscono ora tre lati e i due angoli non compresi, per cui conviene mandare da B e D le perpendicolari ad AE fino ai punti K e H, e da D la perpendicolare al lato BK (vedi figura 1).

Triangolo rettangolo EHD:

m

392,970

AED

sen

ED

HD

m

301,652

AED

cos

ED

EH

=

⋅

=

⋅

=

Triangolo rettangolo AKB:

m

523,494

EAB

sen

AB

KB

m

63,413

EAB

cos

AB

AK

=

⋅

=

⋅

=

Triangolo rettangolo BLD:

m

864 ,

494 LB

BD

LD

m

130,525

HD

-KB

LB

2 2

=

−

=

gon

5825

,

83 BD

LB

arccos

KBD

=

m

929 ,

859 HE

LD

AK

EA

=

+

=

Passiamo ora al triangolo GFE, di cui si conoscono 2 lati ed un angolo (si noti che, essendo l’angolo noto ottuso, si può in questo caso applicare il teorema dei seni per determinare gli altri angoli incogniti):

m

878,445

GFE

cos

EF

GF

2 EF

GF

GE

=

2

+

2

−

⋅

=

gon

39,2826

GE

GFE

sen

FG

arcsen

FEG

=

⋅

=

Infine, consideriamo il triangolo GEA, del quale sono noti i tre lati:

1_{Si trascura l’orientamento nell’indicazione degli angoli, non essendo stata considerata nel testo.}

SVOLGIMENTO

(3)

gon

55,0361

EA

EG

2 AG

EA

EG

arccos

GEA

2 2 2

=

⋅

−

+

=

Fig. 1

gon

73,9514

EA

GA

2 EG

EA

GA

arccos

GAE

2 2 2

=

⋅

−

+

=

AGE = 200 – (GEA + GAE) = 71,0125 gon

Per calcolare le coordinate dei vertici si calcolano preliminarmente gli azimut:

gon

107,6742

EAB

-200

AB

=

ϑ

gon

149,4950

ABC

-200

ABC

-

_AB BA BC

=

ϑ

=

ϑ

+

=

ϑ

essendo:

7,6744

gon

e

ABC

ABK

KBD

DBC

158,1792

gon

AB

BK

arccos

ABK

=

+

=

gon

58,3215

AED

ED

=

ϑ

gon

,9514

273 GAE

200

AG

=

+

=

ϑ

gon

,6813

305 FEG

-

GEA

400

EF

=

−

=

ϑ

(4)

Le coordinate planimetriche dei vertici valgono pertanto:









=

m

796,516

AK

-

m

523,494

KB

A B B

y

x









=

⋅

+

=

⋅

+

=

m

545,109

cos

BC

m

,920

778 sen

BC

BC B C BC B C

ϑ

y

x









=

m

301,652

EH

m

392,970

HD

D D

y

x









=

⋅

=

−

=

⋅

=

m

35,875

cos

EF

m

,926

400 sen

EF

EF F EF F

ϑ

y

x









=

⋅

+

=

−

=

⋅

=

m

570,125

cos

AG

m

,298

668 sen

AG

AG A G AG G

ϑ

y

x

2. Frazionamento dell’appezzamento AEFGA

Essendo note le coordinate dei vertici, è conveniente applicare la formula di Gauss per determinare l’area:

A =

[

(

)

(

)

]

382.238,3m 2 1 A(ABCDEA) 2 C D D B C C A B⋅ − + ⋅ − + ⋅ = = x y y x y y x y

Le aree delle tre superfici derivate sono pertanto: A1 = A / 6 = 63.706,4 m2

A2 = 2 A1 = 127.412,8 m2

A3 = 3 A1 = 191.119,2 m2

Si applica ora il problema del trapezio per le due nuove dividenti, verificando però che la loro posizione sia contenuta all’interno dei lati ED e AB:

(

cot EAB cot AED

)

791,353m A

2 AE

MN= 2 − ⋅ ₁⋅ + =

L’altezza del primo trapezio e le lunghezze degli estremi della nuova dividente dai vertici A ed E sono: m 724 , 77 EAB sen AN ; m 272 , 97 AED sen EM ; m 77,160 MN AE A 2 ₁ ₁ ₁ 1 = = = = = + ⋅ = h h h

(5)

Per determinare la seconda dividente, è sufficiente ripetere il procedimento sopra indicato, considerando il trapezio AQPE, la cui area A1+A2 è uguale ad A3:

(

cot EAB

cot

AED

)

632,267

m

A

2 AE

PQ

=

2

−

⋅

₃

⋅

+

=

AB m 030 , 258 EAB sen AQ ; ED m 926 , 322 AED sen EP ; m 256,158 PQ AE A 2 ₃ ₂ ₂ 2 = = = < = = < + ⋅ = h h h

3. Spianamento dell’appezzamento AEFGA

Per determinare la quota di progetto, calcoliamo il volume fittizio di terreno delimitato dalle due falde AEG e EFG ed un piano di riferimento assunto a quota 590 m:

3 f 5.471.392m 3 ,327 15 29,327 0,328 A(GFE) 3 0,328 29,327 11,454 A(AGE) V = ⋅ + + + ⋅ + + =

essendo le aree delle due falde pari a:

m 102.301,7 GFE sen FE FG 2 1 A(EFG) ; m 287.344,4 2 1 A(AGE) 2 2 G A⋅ = = ⋅ ⋅ = = y x

L’altezza di progetto h si determina quindi dividendo il volume fittizio per l’area dell’appezzamento, ipotizzando nullo l’aumento di volume di scavo.

m

604,042

590 ;

m

042 ,

14 A(AEFG)

V

_f

=

+

=

q

h

Eseguendo la differenza tra quota di progetto e quote del terreno si determinano le quote rosse: rA = q – QA = 2,588 m ; rE = q – QE = -15,285 m

rF = q – QF = -1,285 m ; rG = q – QG = 13,714 m

I punti di passaggio R, S e T si trovano in corrispondenza dei lati con alternanza di segno nelle quote rosse:

m 735,411 r r r EA ER A E E ₌ + ⋅ = m ,017 463 r r r EG ES G E E ₌ + ⋅ = m ,183 51 r r r FG FT G F F ₌ + ⋅ =

Per calcolare il volume di sterro si dovrà suddividere la falda ESTF in due triangoli (è indifferente una diagonale oppure l’altra), calcolandone l’area:

(6)

m

431,625

GFE

cos

FT

EF

2 FT

EF

ET

=

2

+

2

−

⋅

=

gon

6,4339

ET

GFE

sen

FT

arcsen

TEF

=

⋅

=

TES = FEG – TEF = 32,8487 gon

m 8.764,5 TEF sen ET FE 2 1 A(FET)₌ _⋅ _⋅ ₌ 2 m 49.302,2 TES sen ET ES 2 1 A(TES)₌ _⋅ _⋅ ₌ 2 m 129.524,8 GEA sen ER ES 2 1 A(ESR)₌ _⋅ _⋅ ₌ 2

Possiamo finalmente calcolare il volume di sterro, che naturalmente corrisponderà al volume di riporto, trattandosi di spianamento di compenso:

3 E E E F _959.533_m 3 r A(ESR) 3 r A(TES) 3 r r A(FET) Vst = ⋅ + + ⋅ + ⋅ =

4. Piano di volo aerofotogrammetrico

Determiniamo anzitutto la scala media del fotogramma, che può essere orientativamente fornita dalla seguente formula empirica:

4.500

500

200

200 =

≅

=

c f

n

Assumiamo pertanto per scala media dei fotogrammi il valore 1:4.500. La quota media di volo risulta quindi, dato che la distanza principale p della fotocamera è nota:

q = 4.500 _{× p = 4.500 × 0,153 = 688,5 m}

La velocità massima del velivolo può essere determinata considerando il trascinamento ammesso _τ di 0,03 mm:

km/h

486 m/s

135

000 .

1 /

1

500 .

4

000 .

1

03 ,

0

E max E max

=

⋅

=

⋅

=

⇒

⋅

=

⋅

t

n

v

n

t

v

f f

τ

La larghezza di ripresa e la distanza tra una ripresa e la successiva valgono: m 414 ) -(1 ; m 035 . 1 = ⋅ = = ⋅ = n b L L _f

_η

_l

Assumendo quindi una velocità di 450 km/h, l’intervallo di scatto tra un fotogramma ed il successivo vale:

s

3 ,

3

6 ,

3 /

450

414 =

=

∆

v

b

t

(7)

Per determinare il numero di fotogrammi per effettuare una strisciata, osserviamo che la distanza massima lungo x dell’appezzamento vale xC – xG = 1.447 m. Indicato con n il numero di fotogrammi per strisciata, si

ha la seguente equazione che fornisce la lunghezza di ricoprimento stereoscopico: Lx = _ηl × L + (n-2) b n = (1.447-621)/414 + 2 = 4,00 5

Pur essendo sufficienti 4 fotogrammi per strisciata, si ritiene cautelativo eseguirne 5. Un’unica strisciata è sufficiente a rilevare la larghezza dell’appezzamento, pari a yA.

Il numero totale dei fotogrammi necessari è pertanto pari a 5_{×1 = 5 (fig. 2).}