Esercizio 2 Si stabilisca se le ipotesi del teorema di Rolle sono soddisfatte per le seguenti funzioni: a) f (x

Universit`a di Trieste – Facolt`a d’Ingegneria.

Esercizi: foglio 26 Prof. Franco Obersnel

Esercizio 1 Sia I ⊆ IR un intervallo. Sia f : I → IR una funzione derivabile in I e tale che f⁰ sia limitata in I. Si provi allora che esiste una costante L ≥ 0 tale che, per ogni x1, x2∈ I, si ha

|f (x1) − f (x2)| ≤ L|x1− x2|.

(Una funzione per la quale esiste una costante L con la propriet`a sopra descritta si dice lipschitziana, e L `e la costante di Lipschitz).

Esercizio 2 Si stabilisca se le ipotesi del teorema di Rolle sono soddisfatte per le seguenti funzioni: a) f (x) = |x − 1|, x ∈ [0, 2]. b) f (x) = |sen³x|, x ∈ [−^π₂,^π₂]. c) f : [0, 1] → IR; f (x) =nsen x

x se x ∈]0, 1]

1 se x = 0 .

Esercizio 3 Si provi che arctg (x²) ≥ x²

1 + x² su IR.

Esercizio 4 Si studino le seguenti funzioni: a) arctg (x³ + 2x²− x − 2).

b) f (x) = x · log |x|. c) f (x) = arccos (x²− x⁴). d) f : [−1, 2] → IR; f (x) =

1 − |x³− 1|. e) f : [¹₂, 2] → IR; f (x) = x²+¹_x. f) f (x) = e^−x2(1 − 2x²).

Soluzioni

1. Si applichi il teorema di Lagrange.

2. a) No. b) S`ı . c) No.

3. Si consideri la funzione f (x) = arctg (x²) − _1+x^x22; si osservi che f `e una funzione pari, dunque `e sufficiente provare che f (x) ≥ 0 su [0, +∞[. Si calcoli la derivata e si verifichi che f⁰(x) ≥ 0 se x ≥ 0.

4. grafici indicativi

a)

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0,8 1,6 2,4 3,2

b)

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0,8 1,6 2,4 3,2

c)

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0,8 1,6 2,4 3,2

d)

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0,8 1,6 2,4 3,2

e)

-4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-0,8 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

f)

-4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-2,4 -1,6 -0,8 0,8 1,6 2,4 3,2

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