Lezione 12 rotolamento ing civ amb 2015-2016

Moto Rotatorio: Cinetica

Moto Traslatorio

Moto Rotatorio

Traiettoria dello stesso tipo (circonferenza) per tutti i punti del corpo Centro della traiettoria uguale per tutti i punti

Rem: CORPO RIGIDO: Insieme di particelle elementari (dm) pensati come puntiformi Le distanze reciproche tra i vari punti non variano

Asse di rotazione

Fisso

ASSE: Luogo dei punti equidistanti dalle circonferenze

L’angolo  si misura come:

r

S





Verso Antiorario





0

In

RADIANTI

1

rad



57

,

3





rad



180



Ogni traiettoria è circolare: variabile curvilinea S

S

Energia Cinetica

Traslazionale

  

_{ }

2 2 2

_:

2

1

t

l

m

mv

v 

P: m

_P

; v

_P

=



r

K

_P

= ½ m

_P

v

2 P

Considerando tutte le particelle

E

_K

= ½ m

₁

v

2 1

+ ½ m

2

v

22

+ ………+ ½ m

N

v

2N ma per ciascuna

v

_i







r

_i La STESSA !!

   

_{ }

₂ 2

_:

_?

1

?

2

1

t







Rotazionale

   

_?

_

_{m }

 

_l

2

I₁ I₂

I

₁

< I

₂

Massa e Geometria



2 2



2 2 2 2 1 1

...

2

1

_

_

_

_

_



_{N N} K

m

r

m

r

m

r

E

Quindi

Possiamo allora introdurre il

MOMENTO DI INERZIA













dm

r

r

m

I

N i i i 2 1 2 2

2

1

_



 I

E

_K       _{ } 2 2 1 : E M v i traslazion per _K 2 1 2

2

1

_



















 N i i i K

m

r

E

Inerzia di un corpo

a variazione del suo

stato di rotazione

r

F 



_



Si può anche scrivere che

in modulo:

II° Legge di Newton per il Moto Rotatorio

Domanda d’esame











I

Risultante Dei Momenti Momento di Inerzia accelerazione angolare

a

m

F







accelerazione Opposizione alla variazione dello stato di moto traslazionale

r

F 



_



Sappiamo che: Dalla 2° Legge di newton

F

_



m



a

_ e nella cinematica rotazionale valeva:

a

_







r

( qui vuol dire tangente

alla traiettoria) Dunque





F

_



r



m









r





r



mr

2





I

Se ci sono più forze





i







F

i



r

i









m

i

r

i









I





2 Corpo rigido





i







r



dm









I





2

Moto di traslazione

Il moto è caratterizzato dalla forza esterna



F



_est



M



a



_CM Le forze sono applicate al applicate al CM

m₁ m₂ CM F₁ F₂ F1 F₂ F m₁ m₁ m₁ m₂ m₂ m₂ CM CM CM 2

2

1

CM K CM tot

v

M

E

v

M

P













Dalla (1) si determina ! (1) CM

a



Dinamica

Dinamica

Moto di rototraslazione



F_est  M a_CM

Le forze NON sono applicate al applicate al CM, ma il moto del CM resta uguale

m₁ m₂ CM F₁ F₂ F₁ F₂ F m₁ m₁ m₁ m₂ m₂ m₂ CM CM CM (1)

Dinamica

Dinamica

Inoltre nel sistema del CM, moto di pura rotazione

CM

Si può determinate la velocità di rotazione intorno al CM

Moto di rototraslazione

Il moto del CM descrive completamente la traslazione

r

v

v



_P





_CM











M

dt

L

d



_



CM r P v₀



F



_est



M



a



_CM CM _V CM ω CM Traslazione del CM Per il punto P Velocità di traslazione Velocità di rotazione del sistema CM

Dinamica

Dinamica

Rotazione intorno al CM

Moto di Rotolamento

[Senza strisciamento]

Per un osservatore fisso

Traslazione

Traiettoria di P

P

V = cost (V_CM)

Un osservatore sulla bicicletta

CdM

L’arco di circonferenza che ha avuto contatto con il suolo vale:

S = R•

Si può vedere come il moto di Rotolamento Senza Strisciamento è la

composizione di moto di rotazione puro + moto di traslazione pura

R dt d R dt dS V_CM     

Ed in questo caso : 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 CM CM CM CM K v R I M R v I v M I v M E       _           Oppure :



2



2 2 2 2

2

1

2

1

2

1

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_



M

R

I

I

MR

E

_K

Momento di Inerzia di un corpo il cui asse di rotazione è stato traslato di una distanza R

Infatti posso pensare al R.S.S. come un moto di pura rotazione (istantaneamente) attorno

ad un asse passante nel punto di contatto al suolo (che cambia istante per istante)

2

2

1

_

P K

I

E 

R v_CM 



Teorema di Steiner 2 R M I I_P  _CM   Dunque:



2



2 2 2 2 1 2 1 2 1 CM CM CM K I M R I Mv E   









Quindi perché sia possibile il Rotolamento Senza Strisciamento deve esistere attrito col suolo [ad. es. le ruote scivolano sul ghiaccio]

Siccome il punto di contatto col suolo nel Rotolamento Senza Strisciamento è fermo, l’attrito rilevante è quello statico

Esempio Capitolo 12 Par. 3

Considero le leggi di Newton per le forze ed i momenti

CM s

mg

ma

f



sin







CM s

R

mg

I

f







0





Se il corpo scende (a_CM < 0 ), ruota in senso antiorario   0

Quindi

_a

_R

CM









2

R

a

I

f

CM CM s





e sostituendo 2

1

sin

mR

I

g

a

_CM









E’ ancora possibile conservare l’energia meccanica nel caso di un sistema di CORPI RIGIDI

Le Energie potenziali vengono attribuite relativamente alla posizione del Centro di Massa del corpo

MgR

Mv

I

Mgh



2



_CM2



2

1

2

1

_

ESEMPIO V finale ? h R





2 2 2

2

1

2

2

1

CM

Mv

MR

R

h

Mg

_























2 2 2

2

3

2

2

_g

_h



_R



v

CM



_v

_CM



_v

_CM

_v

_g



_h

_R



CM





3

4

r

p

r

v

m

r

v

m

l







_





_





_



Nota :

l = r v sin 

Angolo tra r e v (non viceversa)

O v   = 270° Orario l < 0 O v _  = 90° Antiorario l  0

Momento Angolare Totale

vale

 

esterne

dt

L

d











Così come avevamo









ext i CM CM

_ma

_F

dt

dv

M

dt

dP

Nota: L’origine rispetto a cui calcolare i momenti deve essere la stessa  i

m₃ v₃ r₃ v₃ m₃ r₃ m₁ r₁ v1

Rem.

I





r

2

dm

Momento Angolare di un

CORPO RIGIDO

intorno ad un asse fisso



sin







r

r

Raggio della circonferenza descritta da m













r

p

r

p

sin

90

l



























l

r

p

m

v

r

l

_Z

sin



sin



Inoltre se il moto è di rotazione

v







r

_

n.b. Quindi





i i i i i i i i i i z Z

l

r

v

dm

r

r

dm

L





_,





_





_





_





i i i i i i i i i i z Z

l

r

v

dm

r

r

dm

L





_,





_





_





_

 _{è lo stesso per ogni dm}























dm

r

_

dm

r

_

r

dm

L

i i i i i i Z 2 2 2











 I

L

_Z

Componente z di

L

Momento di Inerzia rispetto all’asse di rotazione z

Rotazioni attorno ad un asse fisso

L_Z ω L L z L z L_Z resta costante L_ ruota

Se il corpo ruota intorno ad un asse di simmetria

Per ogni punto esiste un simmetrico

L totale è lungo l’asse z L L₂ L₁ P₂ P₁

 









I

L

L



_Z



LT = 0 ! Moto di precessione

Dinamica

Dinamica

Rotazioni attorno ad un asse – Assi principali

Ogni corpo ha almeno tre assi ortogonali per cui :

Assi principali di inerzia

(ovviamente I è calcolato rispetto all’asse di rotazione)







I

L 

Dinamica

Dinamica

Un caso semplice

F

r

M

















//

M

M

L



//



dt

L

d

M













I

L 













I

dt

d

I

M











I

M 

0



M



0



M



cost

L 



cost

L 



cost





cost









F

M

dL ω

Dinamica

Dinamica

Un caso un po’ meno semplice

L_Z L --L ω ω _{La variazione di L} Z è provocato da un momento lungo z

ciò produce la variazione di ω nella direzione z

dt

dL

M

Z

Z



L compie un moto di precessione

Devono essere presenti altre forze i cui momenti (M_xy) producono la variazione di L  . In questo caso sono le sull’asse che lo

costringono ad “essere storto”

Mxy

L 

ΔL  _{L }

Dinamica

Dinamica

Se

I 

_i

I

_f Varia la velocità di rotazione

Variazione dovuto solo alle Forze Interne Ridistribuzione delle masse

Momento Forze Esterne nullo

L



I







cost

I

i





i



I

f





f

Dinamica

Dinamica

Corpo rigido - Ricapitolo

 

















I

dt

d

I

I

dt

d

L

dt

d

M









:

//

Se

L













t

dt

0 0







I è il momento di inerzia rispetto

all’asse di rotazione



I

M 

Sia , che e sono paralleli all’asse di rotazione



L 

I

M

I

M























t 0 0

dt

Dinamica

Dinamica

Corpo rigido - Ricapitolo

 

I



I



dt

d

L

dt

d

M

_z



_z











t

dt

0 0







I momento di inerzia rispetto

all’asse di rotazione



I

M

_z



I M_z  













t 0 0

dt

:

//

Se

L







Nella direzione parallela ad 

Dinamica

Dinamica

Un esempio







I

























M

I

R

T

ma

F

ma

T

mg

_ex       2 2 1 MR I R a



R M m mg         2 1



La reazione vincolare produce momento nullo

?



M z m mg R T mg

Supponiamo l’asse fisso

inoltre R M m mg R a 2 1    

Dinamica

Dinamica

Un altro esempio

Il moto del disco rispetto al CM è di pura rotazione z R T T Mg



I

M 



2

2

1

MR

TR 



_

MR

T

2

1



Moto del CM (tutte le forze sono applicate al CM):

Mg



T



Ma

_CM

CM Ma T Mg MR T   



2 1 Dunque R a_CM 



g

a

R

g

CM

3

2

3

2







Dinamica

Dinamica

Moto di puro rotolamento

CM s

ma

f

F





o polo al rispetto o

condizione di puro rotolamento

(Il momento della forza F è nullo!) 1 2 R s F F







Rf

_s



I

           R a I Rf ma f F CM s CM s   I mR F f mR I m F a_{CM s 2} 2 1 ; 1          

_

_

!

mg

f

_s





_s

Dinamica

Dinamica

Moto di puro rotolamento

Si può risolvere come nel caso precedente con

Nel caso di un cilindro

Nel caso di puro scivolamento

Inoltre nel caso di una sfera



sin

mg

F 

 h  2 2 1 mR I 





sin

3

2

sin

3

2

1

₂

g

m

mg

mR

I

m

F

a

_CM















 



 sin g a_CM   sin 7 5 g a_CM 

Dinamica

Dinamica

Moto di puro rotolamento

z h

Dal punto di vista dell’energia

Conservazione dell’energia

iniziale

energia

mgh

U 



mgz

I

Mv

E



_CM2



2



2

1

2

1

_

2 2

2

1

2

1

0

a

z



E



Mv

_CM



I



mgh

I

Mv

_CM2



2



2

1

2

1

_

Dinamica

Dinamica

Moto di puro rotolamento

z h  2 2

1

2

ma

mR

I

gh

v

R

v

_{CM CM}











gh v pieno cilindro I mR _CM 3 4 2 2 2 1         _





v gh vuoto cilindro I  mR2  _CM2 

Dinamica

Dinamica

Moto di puro rotolamento

z h  2 2

1

2

ma

mR

I

gh

v

R

v

_{CM CM}











gh

v

_CM

2

nto

strisciame

solo

2



gh v pieno cilindro I mR _CM 3 4 2 2 2 1         _

Urto con corpi vincolati

• Se c’è un vincolo che tiene fermo un punto del

corpo, durante l’urto si genera una

forza

vincolare impulsiva

(esterna) e quindi

la quantità

di moto non si conserva

• Il vincolo agirà con una risultante di forze F e di

momenti



, i cui effetti, nell’intervallo di tempo

dell’urto, sono l’impulso e l’impulso angolare







t

dt

F

J

0











t

dt

H

0







36

Urto con corpi vincolati

• L’impulso è uguale alla variazione di quantità di

moto

• L’impulso angolare è uguale alla variazione di

momento angolare

p

dt

F

J

t















 0

L

dt

H

t

_













 0



37

Momento angolare

• Se agiscono

solo forze interne

al sistema

dei due corpi, il

momento angolare si

conserva

• Il

momento angolare

si conserva anche

rispetto ad un polo fisso

in un sistema

inerziale o rispetto al CM

se il momento

delle forze esterne rispetto a quel polo è

nullo