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LICEO DELLA COMUNICAZIONE 2013 - PROBLEMA 2
Sia la curva dβequazione .
1)
Nel piano riferito a coordinate cartesiane , si disegni . Si scriva lβequazione della
curva che Γ¨ simmetrica di rispetto allβasse y e si scrivano altresΓ¬ le equazioni delle
curve simmetriche di rispetto alle rette e .
Dominio: > 0 βΉ > : < < +β
Simmetrie notevoli: visto il dominio, non ci possono essere simmetrie notevoli (la
funzione non puΓ² essere nΓ© pari nΓ© dispari).
Intersezioni con gli assi cartesiani:
x=0, non ha senso
0, 0 βΉ βΉ
Segno della funzione: π β₯ 0 π π β₯ βΉ β₯ Limiti: lim ln β ππ π π‘ππ‘π π£πππ‘ππ£ππ π lim ln +β πππ‘πππππ ππ π ππππ ππ π π‘ππ‘π ππ πππ’π lim ln 0 π π Γ¨ππ π π‘ππ‘π ππ πππ’π Derivata prima: > 0 β ππ ππππ ππ: ππ’ π§ππ π π πππππ ππππ ππ π‘π < 0 β ππ ππππ ππ: ππ’ π§ππ π π πππππ ππ πππ£π π£πππ π π πππ π π Derivata seconda: < 0 β ππ ππππ ππ: ππ’ π§ππ π π πππππ ππ πππ£π π£πππ π π πππ π π
Grafico della funzione
N.B.
Il grafico di si puΓ² ottenere a partire dal grafico di operando una traslazione verso destra di 1 ed una dilatazione verticale di fattore 2:
La simmetrica di rispetto allβasse y si ottiene
scambiando x in βx:
La simmetrica di rispetto alla rette si ottiene operando la seguente trasformazione: { π βΉ { βΉ { βΉ { βΉ ln βΉ ln
La simmetrica di rispetto alla rette si ottiene scambiando la x con la y:
βΉ ln βΉ ln βΉ π
βΉ π +
2)
Si trovi lβequazione della normale a nel suo punto di ascissa π + dove π Γ¨ il numero
di πππππ.
π + π + π π +
La normale n a nel suo punto di ascissa + ha coefficiente angolare , la sua
equazione Γ¨ quindi:
π π βΉ π +π +π +
3)
Si calcoli lβarea della regione del piano delimitata da , dallβasse e dalla retta
π + .
Lβarea della regione R si ottiene calcolando il seguente integrale:
πππ π β« ln π
Troviamo una primitiva di integrando per parti:
β« ln π β«
π β« +
β« π β« π ln| | + Quindi: πππ π β« ln π [ ln| |] [ π + β π ] π + π’ β 6.78 π’
4)
La regione ruotando attorno allβasse genera il solido . Si calcoli il volume di .
Il volume richiesto si puΓ² calcolare con il βmetodo dei gusci cilindriciβ mediante lβintegrale: β« β« ln π β« ln π
Integrando per parti
β« ln π + ln ln Quindi: β« ln π [ + ln ln ] [ π + + π + β π + β ]
[ π + + π + π + + ]
[ π + π + + ] [ π + π + + ] π + π + π’ β 6 . 7 π’
Per un ulteriore approfondimento sul Metodo dei gusci cilindrici si veda la seguente pagina di Matefilia:
http://www.matefilia.it/argomen/gusci-cilindrici/metodo-gusci-cilindrici.pdf
Il volume richiesto si puΓ² calcolare anche come differenza tra il volume π del cilindro con raggio di base π + e altezza ed il volume π del solido ottenuto dalla rotazione attorno allβasse y della regione delimitata dellβarco di che delimita , dallβasse y e dalla retta .
π β π + β π + π + π +
Per calcolare π consideriamo la funzione inversa di ln , che Γ¨ π + e calcoliamo il seguente integrale:
π β« π
β« π β« (π + ) π β« (π + π + ) π
[π + π + ] [π + π + + ] π + π Quindi:
π + π + π + π π + π + π’
che coincide con il valore trovato con il metodo dei gusci cilindrici.
