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UNIVERSIT `

A DI BRESCIA - FACOLT `

A DI INGEGNERIA

Algebra e Geometria - Algebra ed Elementi di Geometria

- 1o _{test - 31/10/2018}

cognome nome

corso di laurea matricola

ESERCIZIO 1. Si considerino le matrici Ak=

     1 0 k + 1 k 1 0 k − 1 0 0 3 1 6      , B =      1 0 −1 3      , X =    x y z   , con k ∈C.

• Si discuta, al variare di k ∈ C, la compatibilit`a del sistema AkX = B, precisando il numero di soluzioni qualora il

sistema sia compatibile.

Risposta Compatibile per k = 0, 2; k = 0, 2 soluz. unica (pt.5)

• Si determinino, se esistono, i valori di k ∈Cper cui (1, 0, 0) `e soluzione del sistema;

Risposta k = 0 (pt.1)

• posto ora k = 2 si determini l’insieme S2 delle soluzioni del sistema;

Risposta S2= {(−1, 2, 2/3)} (pt.2)

• si determini un complemento diretto di L(S2) inC3.

Risposta L((0, 1, 0), (0, 0, 1)) (pt.2)

ESERCIZIO 2. Nello spazio vettoriale_R4₍

R) si determinino, se esistono, le combinazioni lineari dei vettori ~v1= (1, 2, 1, −1),

~

v2= (1, 0, 1, 0), ~v3= (0, 5, −7, 10), ~v4= (0, 2, 0, −1) che danno il vettore (2, 2, 2, −1).

Risposta −t ~v1+ (2 + t) ~v2+ 0 ~v3+ (1 + t) ~v4, t ∈R (pt.3)

R) si considerino i sottospazi U = {(α + β, β − γ, 2α + 2γ) ∈R3| α, β, γ ∈R} e

Wk= L(Ak), dove Ak= ((2k, −1, 1), (0, 0, k), (2, 1, k + 1)) e k ∈R. Al variare di k ∈Rsi determinino:

• i valori di k, se esistono, per i quali la somma U + Wk`e diretta;

Risposta @k ∈R (pt.3)

• un complemento diretto di U .

Risposta L((1, 0, 0)) (pt.2)

ESERCIZIO 4. Si consideri la matrice Ak=

   k 1 0 9 k 0 3 1 3   ∈C 3,3_{, dove k ∈} C. Si determinino:

• i valori di k per cui Ak`e diagonalizzabile;

Risposta k 6= 0 (pt.3)

• posto k = 6, una matrice D diagonale simile ad A6 e la relativa matrice diagonalizzante P .

Risposta D =    3 0 0 0 3 0 0 0 9   , P =    0 1 1 0 −3 3 1 0 1    (pt.3)

• Si dica, motivando la risposta, se la matrice A6 risulta ortogonalmente diagonalizzabile.

Risposta Non lo è perchè, pur essendo reale, non è simmetrica. (pt.2)

ESERCIZIO 5. Siano U e W due sottospazi vettoriali di dimensione rispettivamente 4 e 6 diR5,2. • Si determinino le possibili dimensioni di U ∩ W e U + W .

Risposta 6 ≤ dim U + W ≤ 10, 0 ≤ dim U ∩ W ≤ 4 (pt.2)

• Se possibile, si scrivano U e W tali che la somma U ⊕ W sia diretta e sottospazio proprio di_R5,2_.

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A DI INGEGNERIA

Algebra e Geometria - Algebra ed Elementi di Geometria

- 1o _{test - 31/10/2018}

cognome nome

     0 1 k + 2 1 k + 1 0 0 k 0 1 3 6      , B =      1 0 −1 3      , X =    x y z   , con k ∈Q.

• Si discuta, al variare di k ∈Q, la compatibilit`a del sistema AkX = B, precisando il numero di soluzioni qualora il

Risposta Compatibile per k = −1, 1; k = −1, 1 soluz. unica (pt.5)

• Si determinino, se esistono, i valori di k ∈Qper cui (0, 1, 0) `e soluzione del sistema;

Risposta k = −1 (pt.1)

Risposta S1= {(2, −1, 2/3)} (pt.2)

• si determini un complemento diretto di L(S1) inQ3.

Risposta L(((0, 1, 0), (0, 0, 1))) (pt.2)

R) si determinino, se esistono, le combinazioni lineari dei vettori ~v1= (1, 2, 0, 4),

~

v2= (0, −3, 4, 0), ~v3= (1, 0, 0, 0), ~v4= (1, 1, 0, 2) che danno il vettore (1,-3,4,0).

Risposta t ~v1+ ~v2+ (t + 1) ~v3− 2t ~v4, t ∈R (pt.3)

R) si considerino i sottospazi U = {(α + β, 2α + 2γ, β − γ) ∈R3| α, β, γ ∈R} e

Wk= L(Ak), dove Ak= ((2k + 4, 1, −1), (0, k + 2, 0), (2, k + 3, 1)) e k ∈R. Al variare di k ∈Rsi determinino:

Risposta L((0, 0, 1)) (pt.2)

• posto k = 15, una matrice D diagonale simile ad A15e la relativa matrice diagonalizzante P .

Risposta D =    10 0 0 0 10 0 0 0 20   , P =    0 1 1 0 −5 5 1 0 1    (pt.3)

• Si dica, motivando la risposta, se la matrice A15risulta ortogonalmente diagonalizzabile.

ESERCIZIO 5. Siano U e W due sottospazi vettoriali di dimensione rispettivamente 8 e 9 diR5,3. • Si determinino le possibili dimensioni di U ∩ W e U + W .

• Se possibile, si scrivano U e W tali che la somma U ⊕ W sia diretta e sottospazio proprio di_R5,3_.

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Algebra e Geometria - Algebra ed Elementi di Geometria

- 1o _{test - 31/10/2018}

cognome nome

     1 k + 3 0 k + 2 0 1 k + 1 0 0 3 6 1      , B =      1 0 −1 3      , X =    x y z   , con k ∈R.

• Si discuta, al variare di k ∈ R, la compatibilit`a del sistema AkX = B, precisando il numero di soluzioni qualora il

Risposta Compatibile per k = −2, 0; k = −2, 0 soluz. unica (pt.5)

• Si determinino, se esistono, i valori di k ∈Rper cui (1, 0, 0) `e soluzione del sistema;

Risposta k = −2 (pt.1)

Risposta S0= {(−1, 2/3, 2)} (pt.2)

• si determini un complemento diretto di L(S0) inR3.

Risposta L(((0, 1, 0), (0, 0, 1))) (pt.2)

~

v2= (−1, 2, 0, 1), ~v3= (0, 2, 0, 2), ~v4= (3, 6, 1, 6) che danno il vettore (3, 2, 1, 2).

Risposta (1 + t) ~v1+ 0 ~v2+ (3 + t) ~v3− ~v4, t ∈R (pt.3)

R) si considerino i sottospazi U = {(−α − β, β − γ, 2α + 2γ) ∈R3| α, β, γ ∈R}

e Wk= L(Ak), dove Ak= ((k − 2, −1, 1), (2 − k, 0, k − 2), (0, 1, k − 1)) e k ∈R. Al variare di k ∈Rsi determinino:

Risposta L((0, 1, 0)) (pt.2)

Risposta k 6= −2 (pt.3)

Risposta D =    2 0 0 0 2 0 0 0 10   , P =    0 1 2 0 −2 4 1 0 1    (pt.3)

ESERCIZIO 5. Siano U e W due sottospazi vettoriali di dimensione rispettivamente 4 e 7 diR11. • Si determinino le possibili dimensioni di U ∩ W e U + W .

• Se possibile, si scrivano U e W tali che la somma U ⊕ W sia diretta e sottospazio proprio di_R11_.

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A DI INGEGNERIA

Algebra e Geometria - Algebra ed Elementi di Geometria

- 1o _{test - 31/10/2018}

cognome nome

     k 0 1 0 1 k − 1 0 0 k − 2 6 1 3      , B =      1 0 −1 3      , X =    x y z   , con k ∈C.

• Si discuta, al variare di k ∈ C, la compatibilit`a del sistema AkX = B, precisando il numero di soluzioni qualora il

Risposta Compatibile per k = 1, 3; k = 1, 3 soluz. unica (pt.5)

• Si determinino, se esistono, i valori di k ∈Cper cui (0, 0, 1) `e soluzione del sistema;

Risposta k = 1 (pt.1)

Risposta S3= {(2/3, 2, −1)} (pt.2)

• si determini un complemento diretto di L(S3) inC3.

Risposta L(((0, 1, 0), (0, 0, 1))) (pt.2)

~

v2= (−1, 1, 0, 0), ~v3= (0, 0, 2, −2), ~v4= (4, −3, −2, 1) che danno il vettore (−2, 2, 2, −2).

Risposta t ~v1+ 2 ~v2+ ~v3− 3t ~v4, t ∈R (pt.3)

R) si considerino i sottospazi U = {(β − γ, 2α + 2γ, −α − β) ∈R3| α, β, γ ∈R}

e Wk= L(Ak), dove Ak= ((−1, 1, k − 4), (0, k − 4, 4 − k), (1, k − 3, 0)) e k ∈R. Al variare di k ∈Rsi determinino:

Risposta L((1, 0, 0)) (pt.2)

Risposta D =    2 0 0 0 2 0 0 0 6   , P =    0 1 1 0 −2 2 1 0 1    (pt.3)

ESERCIZIO 5. Siano U e W due sottospazi vettoriali di dimensione rispettivamente 12 e 8 diQ4,4. • Si determinino le possibili dimensioni di U ∩ W e U + W .

• Se possibile, si scrivano U e W tali che la somma U ⊕ W sia diretta e sottospazio proprio di_Q4,4_.