Le funzioni complesse

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Lezione 5 - Nozioni di base sui numeri complessi

Unit`

a 5.3 Le funzioni complesse

Luca Salasnich

Dipartimento di Fisica e Astronomia “Galileo Galilei”, Universit`a di Padova

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Rappresentazione polare (I)

Abbiamo visto che il numero complesso z = x + iy `e in corrispondenza biunivoca con un punto P = (x , y ) del piano di Gauss.

C’`e anche una rappresentazione polare [r , φ], dove

x = r cos(φ) y = r sin(φ) (1)

con r =px2_{+ y}2 _{il raggio (distanza) e φ = artan(y /x ) l’angolo} mostrati in figura.

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Rappresentazione polare (II)

La rappresentazione cartesiana di un numero complesso z `e

z = x + iy . (2)

Dato che si pu`o scrivere

x = r cos(φ) (3)

y = r sin(φ) (4)

ne segue che

z = r cos(φ) + i r sin(φ) = r (cos(φ) + i sin(φ)) (5) `e la rappresentazione polare del numero complesso z.

Evidentemente il modulo |z| di z proprio il raggio r :

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La formula di Eulero

Un risultato estremamente importante dovuto a Leonard Euler (Eulero) `e il seguente

ei φ= cos(φ) + i sin(φ) . (7)

Ne segue che la rappresentazione polare del numero complesso z si pu`o scrivere in modo compatto come

z = r ei φ. (8)

Dalla formula di Eulero (7) segue che

ei π= cos(π) + i sin(π) = −1 ovverosia

ei π+ 1 = 0

che è considerata la formula più bella della matematica perchè mette in relazione 5 oggetti fondamentali della matermatica: 0, 1, e, π, ed i .

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Dimostrazione della formula di Eulero

Per dimostrare la formula di Eulero bisogna assumere di poter fare uno sviluppo in serie di Taylor-MacLaurin sulla funzione ei φ attorno a φ = 0. Cio`e ei φ = 1 + (i φ) + 1 2!(i φ) 2₊ 1 3!(i φ) 3₊ 1 4!(i φ) 4₊ 1 5!(i φ) 5_{+ ...} = 1 + i φ − 1 2!φ 2_{− i}1 3!φ 3₊ 1 4!φ 4_{+ i}1 5!φ 5_{+ ...} = 1 − 1 2!φ 21 4!φ 4_{+ ...} + i φ − 1 3!φ 3₊ 1 5!φ 5_{+ ...} = cos(φ) + i sin(φ) , (9)

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Il teorema fondamentale dell’algebra

Il teorema fondamentale dell’algebra afferma che l’equazione algebrica anzn+ an−1zn−1+ ... + a1z + a0= 0 , (10) con z incognita e coefficienti a0, a1, ..., an−1, an noti, ammette sempre n soluzioni complesse.

Ad esempio, l’equazione

z2+ 4 = 0

ammette le due soluzioni complesse z1= −2i e z2= 2i . Altro esempio, l’equazione

z(z2+ 3) = 0 ammette le tre soluzioni complesse z1= 0, z2= −i

√

3, e z3= i √

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La formula di de Moivre

(cos(φ) + i sin(φ))n= cos(nφ) + i sin(nφ) (11) `e una conseguenza diretta della formula di Eulero e del fatto di utilizzare le regole dell’algebra anche ai numeri complessi. Infatti

(cos(φ) + i sin(φ))n= ei φn= einφ= cos(nφ) + i sin(nφ) (12) La formula di de Moivre pu`o servire per trovare le soluzioni complesse di semplici equazioni algebriche.

Ad esempio, l’equazione

z3= 2 si risolve scrivendo z = rei φ_{di modo che}

r3e3i φ= 2 ei 2πn,

con n numero intero arbitrario. Ne segue che r3= 2 ma anche che φ = 2πn/3. E quindi si ottiene r = 21/3 e tre valori di φ dati da

φ1= 0 , φ2= −2π

3 , φ3=

2π 3 .

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Funzioni in campo complesso

Una funzione ζ = f (z) con dominio complesso C e codominio complesso C `e del tipo

f : C → C . (13)

Una funzione ζ = f (x , y , z) con dominio reale R3e codominio reale R `e del tipo

f : R3→ R . (14)

Come vedremo, le soluzioni dell’equazione di Schr¨odinger indipendente dal tempo, detta anche equazione di Schr¨odinger stazionaria, sono di questo tipo.

Una funzione ζ = f (x , y , z, t) con dominio reale R4_{e codominio} complesso C `e del tipo

f : R4→ C . (15)

Come vedremo, le soluzioni dell’equazione di Schr¨odinger dipendente dal tempo sono di questo tipo.