Equazione di Schr¨odinger con potenziale radiale

Equazione di Schr¨ odinger con potenziale radiale

L’equazione di Schr¨ odinger per un potenziale a simmetria sferica

∇ ² ψ(r, θ, φ) + 2m

¯ h ² (E − V (r)) ψ(r, θ, φ) = 0 Si risolve separando le variabili r, θ, e φ con l’ansatz

ψ(r, θ, φ) = R(r)Y (θ, φ)

dove Y (θ, φ) risultano essere le armoniche sferiche

per qualunque potenziale radiale, mentre R(r)

dipende dal particolare potenziale scelto.

Potenziali radiali Tre possibili potenziali sono

• quello armonico V (r) ∼ r ² ;

• quello lineare, usato per le forze tra quark, V (r) ∼ r;

• la buca sferica V (r) = −V ₀ per r < r ₀ e zero altrove, che pu` o simulare il nucleo atomico.

L’equazione radiale pu` o essere ulteriormente semplificata ponendo

u(r) = R(r)/r dopo di che si ottiene

u ⁰⁰ (r) +

à 2m

¯ h ² (E − V (r)) − l(l + 1) r ²

!

u(r) = 0

e la normalizzazione ` e

Z _∞

0 |u(r)| ² dr

Poich` e la parte contenente il momento ango- lare prevale a corte distanze abbiamo

u(r) ∼ r ^l+1 r → 0

Quest’ultima informazione pu` o essere usata

per semplificare la soluzione analitica del pro-

blema, ma, dal punto di vista numerico, pu` o

essere utile mantenere il fattore r ^l+1 : infatti,

nella soluzione dell’equazione differenziale, ab-

biamo bisogno di risolvere una relazione di ri-

correnza a tre termini, ed ` e quindi necessario

conoscerne due per partire; uno pu` o essere

fissato arbitrariamente e poi riassorbito dalla

normalizzazione, mentre il secondo pu` o essere

trovato proprio con questa informazione.

So che u(0) = 0 e prendo arbitariamente il va- lore u(h) = u ₁ : dalla relazione percedente so allora che u(2h) = 2 ^l+1 u ₁ e posso ora trovare tutti gli altri termini della relazione di ricor- renza.

Un modo alternativo per trovare i primi ter- mini ` e dato dallo studio del comportamento asintotico per r → ∞ della funzione d’onda:

ad esempio, se so che u(r) ∼ e ^−cr

per r → ∞ e u _n ` e il valore dell’autofunzione in r , allora il valore in r + h si ottiene da

u _n = Ae ^−cr

u _n+1 ≈ Ae ^−cr

e ^−2crh = u _n e ^−2crh

per cui il termine n + 1 della successione pu` o

essere calcolato e da questo tutta la succes-

sione facendo andare la relazione di ricorrenza

all’indietro. L’autovalore sar` a poi quella soluzione

per cui risulta u(0) = 0

Cambiamento di variabili

E conveniente a questo punto cambiare le va- ` riabili, come si fa con l’oscillatore armonico, per semplificare la trattazione matematica. Posto y = qr l’equazione di Schr¨ odinger diventa

u ⁰⁰ (y)+

à 2mE

¯ h ² q ² − 2mK

¯ h ² q ^2+β y ^β − l(l + 1) y ²

!

u(y) = 0

Posso scegliere

2mK

¯ h ² q ^β+2 = 1 q =

µ 2mK

¯ h ²

¶

β+2

Per K = ¹ ₂ mω ² e β = 2 si ritrova il solito risultato per l’oscillatore armonico. In generale mi conviene definire

ε = 2mE

¯ h ² q ²

in modo che l’equazione diventi ora u ⁰⁰ (y) +

Ã

ε − y ^β − l(l + 1) y ²

!

u(y) = 0

Comportamento asintotico

Considero ora i potenziali, armonico e lineare, e studio il loro comportamento asintotico. I due potenziali sono precisamente

V (r) = 1

2 mω ² r ² e V (r) = Kr in generale posso scriverli nella forma

V (r) = Kr ^β

Come si ` e visto si pu` o effettuare un cambio di variabili che semplifica molto e studiare il com- portamento per y → ∞, dove il termine dovuto al momento angolare e il termine che contiene l’autovalore sono entrambi trascurabili e posso scrivere

u ⁰⁰ (y) = y ^β u(y)

Cerco ora una espressione asintotica per u(y) del tipo

u(y) ≈ e ^{−f (y)} con f (y) = Cy ^γ

Svolgendo il calcolo si trova

C ² γ ² y ^2γ−2 − Cγ(γ − 1)y ^γ−2 = y ^β

Poich´ e mi interessa solo γ > 0 posso tralascia- re il secondo pezzo e trovo

2γ − 2 = β C ² γ ² = 1 che da’

γ = 1 + β/2 C = 1/γ

le soluzioni sono per β = 2 (oscillatore armo- nico)

γ = 2 C = 1/2 e per β = 1 (potenziale lineare)

β = 3/2 C = 2/3

L’ipotesi di un andamento esponenziale non

` e, di regola, corretta; quello che interessa qui per` o ` e vedere la parte di funzione d’onda che varia pi` u rapidamente, per cui le potenze che

moltiplicano gli esponenziali possono essere trascu-

rate.

Il resto del lavoro procede come per altre soluzioni dell’equazione di Scr¨ odinger

1. si fissa arbitrariamente un valore (piccolo) per u _n ;

2. si trova u _n−1 (oppure u _n+1 ) dalle condizioni per r → ∞;

3. si integra l’equazione differenziale all’indietro fino a r = 0 oppure r = h;

4. si vede se u(0) = 0 oppure u(r → 0) ∼ r ^l+1 ;

5. si normalizza l’autofunzione.

E consigliabile usare l’oscillatore armonico come ` test poich´ e sappiamo che l’autovalore pi` u basso

` e 3/2¯ hω e la relativa autofunzione ` e una gaus-

siana, mentre non esiste una soluzione analitica

per il potenziale lineare.