FUNZIONI RECIPROCHE E INVERSE DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
A) Le funzioni e la sua
grafico di
Funzione inversa del seno.
La funzione inversa di è
, .L’ arcoseno è una delle “possibili funzioni inverse” di
In altre parole, è quell’angolo , è stato scelto in modo che l’angolo è bigettiva (vedi il grafico a destra).
FUNZIONI RECIPROCHE E INVERSE DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI sua reciproca ! " . Entrambe hanno periodo
: ℝ → & 1,1(
! " : ℝ → ℝ ( 1,1&
e la sua reciproca ! "
è che ha come dominio & 1 1( e come codominio una delle “possibili funzioni inverse” di definita nel modo
: & 1,1( → )2 ,)2
è quell’angolo compreso tra – tale che
è stato scelto in modo che l’angolo il cui seno sia x sia unico. Infatti in tale intervallo la funzione
.
grafico di
FUNZIONI RECIPROCHE E INVERSE DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI. GRAFICI
. Entrambe hanno periodo , 2).
( e come codominio modo seguente
. L’intervallo Infatti in tale intervallo la funzione
B) Le funzioni - e la sua - : ℝ → & 1,1( ./ " : ℝ → ℝ ( 1,1 grafico di
Funzione inversa del coseno. La funzione inversa di
-&0, )(. L’arcocoseno è la funzione definita nel modo seguente In altre parole, - è quell’angolo compreso tra è uno dei tanti possibili ed è stato scelto in modo che l’angolo Infatti in tale intervallo la funzione è bigettiva (vedi grafico a destra).
reciproca ./ " . Entrambe hanno periodo (
( 1&
grafico di - e la sua reciproca
./ "
è - che ha come dominio & 1 1( e come codominio è la funzione definita nel modo seguente
- : & 1 1( → &0, )(
è quell’angolo compreso tra 0 ) tale che
-stato scelto in modo che l’angolo il cui coseno sia x sia unico.
Infatti in tale intervallo la funzione è bigettiva (vedi grafico a destra).
grafico di
-Entrambe hanno periodo , 2).
( e come codominio
- . L’intervallo &0, )( il cui coseno sia x sia unico.
C) Le funzioni 1 e la sua codominio di entrambe è tutto ℝ.
grafico di
Funzione inversa della tangente. La funzione inversa di 1 è L’arcotangente è la funzione cosi definita
in modo che 1 è quell’angolo compreso tra
reciproca 23! " . Il periodo di entrambe è 1 : ℝ → ℝ
1
1 : ℝ → ℝ
1 e la sua reciproca 23! "
è 1 . Ha come dominio tutto ℝ e come codominio cosi definita
1 : ℝ → )2 ,)2
quell’angolo compreso tra – per cui tan
grafico di 1
Il periodo di entrambe è , ) . Il dominio e il
e come codominio , .
D) Le funzioni -1
678
nel punto precedente C). E) Le funzioni sec
9:; " <
precedente B). F) Le funzioni cosec
;=8 "
punto precedente A).
G) Funzione inversa della cotangente La funzione inversa di -1
L’arcocotangente è la funzione cosi definita
per la quale -1 è quell’angolo compreso tra 0 e
Per l’arcocotangente si ricorre anche ad un’altra definizioni come codominio , 0 ∪ 0, invece di
altro grafico dell’arcocotangente
678 " < ? @A - ./23! " 1
< ? @A - ;=9 " cos sono state analizzate nel punto < ? @A - 9:;=9 " sono state analizzate nel
Funzione inversa della cotangente.
è -1 . Ha come dominio tutto ℝ L’arcocotangente è la funzione cosi definita
-1 : ℝ → (0, )&
è quell’angolo compreso tra 0 e π che soddisfa l’uguaglianza
grafico dell’arcocotangente
Per l’arcocotangente si ricorre anche ad un’altra definizioni secondo la quale la funzione y=arccota invece di (0, )&.
-1 : ℝ → )2 , 0 ∪ 0,)2
altro grafico dell’arcocotangente
sono state analizzate
sono state analizzate nel punto
sono state analizzate nel
e codominio (0, )&
che soddisfa l’uguaglianza -1 .
Dai grafici si evince che le due definizioni sono diverse:
nel primo caso y=arccot(x) è continua e derivabile, e nel secondo caso no; nel primo caso per y=arccot(x) si ha l’uguaglianza
1 + -1 )2
nel secondo caso vale l’uguaglianza
-1 1 C
DE, con ≠ 0.
Si può ricorrere alla prima definizione o alla seconda; ciò dipende dal tipo di esercizio da affrontare. E’ bene sottolineare che la scelta del codominio è importante.
H) Le funzioni goniometriche inverse sono legate da relazioni. Per esempio:
Dove sgn(x) vale 1 se x>0, oppure -1 se x<0.
+ - )2 1 + 1 G1xI J ·)2 L - M cos N1 -1 L - M 1 arcsen √1 -1 L M 1 - √1 arctan √1 + - arctan 1 √1 +
