Sistemi di equazioni 1°

16  Download (0)

Testo completo

(1)

METODI DI RISOLUZIONE DI

SISTEMI

(2)

METODI DI RISOLUZIONE

 Esistono quattro metodi per risolvere un sistema lineare in

due incognite

 a) metodo di Cramer

b) metodo di sostituzione c) metodo del confronto

(3)

PREMESSA

 Le prossime diapositive danno esclusivamente regole

pratiche ed immediate per l’applicazione dei metodi risolutivi di sistemi lineari

 Tali regole vanno applicate quando il sistema dato è

ridotto in forma normale

 Analizzare bene gli esempi che danno la correttezza di

tutti i passaggi

 Negli esempi sono stati applicati anche due metodi nella

(4)

METODO DI CRAMER



Questo metodo fa uso delle matrici e dei

determinanti



Una volta assicurati che il sistema è risolubile

perché i ranghi delle matrici incompleta e completa

sono uguali, si applicano le seguenti formule:

=

(5)

METODO DI CRAMER

noti termini i colonna 2 nella ponendo ottiene si che det. a c a y noti termini i colonna 1 nella ponendo ottiene si che det. M.I. della det. a 1 1 a 1 1 1 1 c b c b c x b a b a = ∆ = ∆ = ∆

(6)

ESEMPI

4 4 64 60 4 1 5 12 4 16 12 4 1 -1 12 4 0 5 0 4 12 4 = − = = ∆ − = − − = − = ∆ − = − − = = ∆    = − − = − + x y x y x

Il seguente sistema è risolvibile perché i ranghi delle matrici valgono entrambi 2

(7)

1

16

16

4

16

64

=

=

=

=

=

=

y

y

x

x

(8)

ESEMPI

3

5

7

2

9

3

1

2

3

33

18

15

3

9

2

5

1

3

9

3

2

5

=

=

=

=

=

=

=

+

=

=

=

+

=

x

y

x

y

x

(9)

33

32

33

7

=

=

=

=

y

y

x

x

(10)

METODO DI SOSTITUZIONE

 Si procede in più passaggi:

1. Si ricava un’incognita da un’equazione

2. Si sostituisce nell’altra equazione che diventa così in

una sola incognita

3. Si risolve quest ’ equazione secondo le regole già note 4. Il valore trovato lo si sostituisce nella equazione iniziale

(11)

ESEMPI

(

)

=

=

=

=

+

=



=

=

+

=

=

+

+

=

=

+

+

+

=

=

+

+

+

=

=

=

+

1

4

1

4

5

1

1

16

16

5

0

16

16

5

0

4

12

20

4

5

0

4

12

5

4

5

0

5

0

4

12

4

y

x

y

x

y

y

x

y

y

x

y

y

y

x

y

y

y

x

y

x

y

x

(12)

ESEMPI

(

)

=

=

=

=

=

+

=

=

+

=

=

+

=

+

2

3

5

7

7

3

5

8

9

15

2

3

5

8

3

5

3

2

3

5

8

3

2

5

3

y

x

y

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

y

y

x

y

x

(13)

METODO DEL CONFRONTO

 Si procede in più passaggi:

1.

Si ricava un’incognita dalla prima equazione

2.

Si ricava la stessa incognita dalla seconda equazione

3.

Si uguagliano le espressioni così ottenute e che

costituiscono un’equazione in una sola incognita

4.

Si risolve quest’equazione secondo le regole già note

5.

Si sostituisce il valore trovato in una delle due equazioni

determinando il valore dell’altra incognita

(14)

ESEMPIO

(qui è stata applicata anche una sostituzione nell’ultimo passaggio)

=

=

=

=

=

=



=

=



=

=

=

+

=

+

2

1

3

5

7

7

3

5

2

8

9

15

3

5

3

2

8

3

5

3

2

8

3

5

8

3

2

5

3

y

x

x

y

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

y

x

-y

y

x

y

x

(15)

METODO DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

 Si applica quando i coefficienti di una stessa incognita nelle due

equazioni sono uguali o opposti ( se non lo sono, si moltiplica una delle due equazioni per un opportuno coefficiente non nullo, in modo da renderli tali)

 Si addizionano (risp. sottraggono) membro a membro le

equazioni del sistema se i coefficienti sono opposti (risp. uguali) in modo che un’incognita si elimina e rimane

un’equazione con solo l’altra incognita

 Si risolve quest’equazione determinando il valore della

incognita che poi va sostituito in una delle due equazioni per determinare il valore dell’incognita rimanente

(16)

ESEMPIO

(qui è stata applicata una sostituzione nel penultimo passaggio)

(

) ( )

      = = ⇒     = + = ⇒    = + − = − ⇒    = + − = −    = + − = − ⇒    = + − = − ⇒    = − + = + 3 1 2 1 3 1 6 2 1 3 2 6 5 10 membro a membro sottrendo 3 2 6 2 8 6 3 2 6 1 2 4 3 2 3 2 6 1 4 3 0 3 2 6 4 1 3 x y x y y x y y x y x y x y x y x y x y x y x

figura

Updating...

Riferimenti

Argomenti correlati :