20140902 ap5

Elementi di Analisi Numerica, Probabilità e Statistica,

modulo 2: Elementi di Probabilità e Statistica (3 cfu) Probabilità e Statistica (6 cfu) Scritto del 02 settembre 2014. Quinto Appello Id: A

Nome e Cognome: Esame da 3 6 cfu (barrare la casella interessata)

Si ricorda che nella correzione dell'elaborato si valuteranno anche i procedimenti che portano ai risultati nali. Tali procedimenti devono essere descritti o giusticati in modo sintetico, ma chiaro. Riportare solo il risultato nale, anche se corretto, verrà considerato errore.

Problema 1 (tutti)

Si estraggono a caso dei numeri interi compresi tra 1 e 90.

1. 4/30 Qual è la prob. che la radice quadrata del numero estratto sia distante (in valore assoluto) meno di 1 da 7 ?

2. 3/30 Come cambia la risposta alla domanda precedente se la prob. di estrarre un qualunque numero pari è doppia di quella di estrarre un qualunque numero dispari ?

3. 2/30 Con riferimento alla prima domanda, sia Y la v.a. parte intera della radice quadrata del numero estratto. Determinare i valori assunti e le probabilità associate.

Problema 2 (tutti)

In Meccanica Statistica la probabilità che una particella di gas perfetto monoatomico abbia le tre componenti della velocità comprese rispettivamente tra vx e vx+ dvx, vy e vy+ dvyvz e vz+ dvz è p(vx, vy, vz)dvxdvydvz. La

distribuzione di Maxwell-Boltzmann è p(vx, vy, vz) = A e−m(v

2

x+v2y+vz2)/(2kBT ) dove m è la massa delle particelle, k

B

la costante di Boltzmann e T la temperatura assoluta. Determinare 1. 2/30 il parametro A in funzione di m, kB e T ;

2. 2/30 il valor medio e la varianza dell'energia cinetica; 3. 2/30 il valor medio di vx e |vx|.

Problema 3 (solo esame 6 cfu)

Si vuole indagare i metodi di allevamento di vitelli utilizzati in quattro fattorie. I dati forniti da ogni fattoria per la massa (in kg) di un campione di vitelli della stessa età allevati con mangimi diversi sono mostrati in tabella. Mediante un test ANOVA si vuole vericare l'ipotesi che la massa non dipenda dal mangime utilizzato. Dopo aver specicato l'ipotesi nulla, determinare

M1 M2 M3 M4 195 225 230 205 200 220 239 204 201 212 213 198 198 203 226 208 201 195 213 213 196 211 242 216 1. 2/30 le medie di gruppo e la media totale;

2. 3/30 SSW e SSB e il loro numero di gradi di libertà, specicando sotto quali condizioni sono stimatori

corretti;

3. 3/30 se al livello di signicatività del 1%, si può rigettare l'ipotesi nulla.

Problema 4 (solo esame 6 cfu)

Da una popolazione normale si estrae il seguente campione −1.0364, −2.44365, 3.24494, 0.0300164, −4.22962, 1.7759, −0.65612, −0.966425, −0.603293, 0.85786, 1.12088, 0.0400843,

1. 1/30 Trovare, con almeno 4 cifre signicative, media e varianza campionaria.

2. 3/30 Trovare, con almeno 4 cifre signicative e con un livello di condenza del 95% e del 99% gli intervalli di condenza per la media della popolazione.

3. 3/30 Trovare, con almeno 4 cifre signicative e con un livello di condenza del 95% e del 99% gli intervalli di condenza per la varianza della popolazione.

Soluzione

Problema 1 (tutti)

1. Introducendo la v.a. X = risultato dell'estrazione si ha P (X = n) = 1/N, n = 1, . . . , N (N = 90, 100, 120 nelle tre versioni del compito).

Viene richiesta P (|√X − a| < 1) con a = 7, 9, 10 nelle tre versioni del compito. Risolvendo la disuguaglianza risulta che basta calcolare

P (|√X − a| < 1) = P ((a − 1)2< X < (a + 1)2) = (a+1)2−1 X n=(a−1)2₊₁ P (X = n) = . . . = 4a − 1 N dove si è usata la relazione Pn2

n=n1k = k(n2− n1+ 1).

2. In questo caso si ha P (X = n) = p1 se n è pari e P (X = n) = p2 se n è dispari. Dal testo si sa anche che

p1= 2p2, ma non basta per determinarli. Occorre imporre la normalizzazione

X

n pari

P (X = n) + X

n dispari

P (X = n) = 1

Scrivendo N = 2M risulta M(p1+ p2) = 1e p1= 2p2da cui p1= 2/(3M )e p2= 1/(3M ).

Quindi la prob. del punto precedente diventa, detto I l'intervallo [(a − 1)2_{+ 1, (a + 1)}2_{− 1]}

P = p1(# di numeri pari in I) + p2(# di numeri dispari in I)

Per le tre versioni del compito risulta PA,B,C= 8/27, 11/30, 59/180.

3. Basta dividere gli interi seguendo la diagonale della tavola pitagorica. Risulta n2≤ X < (n + 1)2_{⇒ Y = n ⇒ P (Y = n) = (2n + 1)/N}

L'ultimo intervallo richiede particolare cura: per esempio per la versione A si ottiene 81 ≤ X ≤ 90, Y = 9 e P (Y = 9) = 10/90.

Problema 2 (tutti)

1. La densità proposta è il prodotto di 3 gaussiane di media nulla e varianza σ2_{= k}

BT /m. Scrivendo p(vx, vy, vz) =ˆA( √ 2πσ)3˜ e −v2 x/2σ2 √ 2πσ e−v2y/2σ2 √ 2πσ e−v2z/2σ2 √ 2πσ basta porre la parentesi quadra pari a 1. Risulta A = [m/(2πkBT )]3/2.

Da notare che Visono indipendenti ed identicamente distribuite.

2. Per il valor medio

E[m(Vx2+ V 2 y + V 2 z)/2] = 3m 2 E[V 2 x] = 3m 2 Var[Vx] = . . . = 3 2kBT Per la varianza Var[m(Vx2+ V 2 y + V 2 z)/2] = 3m2 4 Var[V 2 x] = 3m2 4 (E[V 4 x] − E[V 2 x] 2 ) = 3m 2 4 (3σ 4_{− σ}4 ) = . . . = 3 2(kBT ) 2

3. Ovviamente E[Vx] = 0, mentre

E[|Vx|] = Z+∞ −∞ |vx| e−v2x/2σ2 √ 2πσ d vx= 2 Z +∞ 0 vx e−v2x/2σ2 √ 2πσ d vx Ponendo y = v2

x/2σ2si ottiene facilmente E[|Vx|] = 2pkBT /(2πm).

Problema 3 (solo esame 6 cfu)

1. L'ipotesi nulla è H0(Xi,j ∼ N (µ, σ2)).

Per le medie si ha Xi,∗= 198.5, 211, 227 + 1/6, 207 + 1/3e X∗∗= 211.

3. La statistica da usare è una F di Fisher F3,20= 10.68. Risulta P (F3,20> 10.68) = 2 · 10−4che è il p-dei-dati.

Ne segue che H0 si può rigettare ad un livello di signicatività maggiore dello 0.0002%. All'1% non si può

accettare.

Analisi confermata dallo studio delle zone di rigetto P (F3,20 > fα) = α. Infatti f1% = 4.93, f5% = 3.1 e

f10%= 2.38.

Problema 4 (solo esame 6 cfu)

1. ¯X = 0.080146, N = 12, S211= 3.50755

2. Al 95% [−1.1098, +1.2701], al 99% [−1.5990, +1.7593] 3. Al 95% [+1.7602, +10.112], al 99% [+1.4420, +14.821]