Corso di Laurea in Informatica
Complementi di Matematica (Modulo Analisi) 5 giugno 2009- Tema A
*)Solo per coloro che devono recuperare il primo compitino.
1) Risolvere i problemi di Cauchy
y0 = y3 x − 1 y(2) = 0
y0 = y3 x − 1 y(2) = −1 precisandone l’intervallo di definizione.
2) Trovare l’insieme delle soluzioni della equazione differenziale y00+ 4y = 0.
*a).Trovare l’insieme delle soluzioni della equazione differenziale y0 = y
x+ 4 (log x)3.
*b) Stabilire se la funzione f (x, y) `e continua in (0,0) f (x, y) =
(tan x) y2
x2+ y2 , (x, y) 6= (0, 0) 0 , (x, y) = (0, 0)
3) Data la funzione
f (x, y) = log(3 + 4y2) + x3+ 2x3y a) trovare i punti stazionari e stabilirne la natura;
b) scrivere la formula di Taylor al secondo ordine col resto di Peano con centro nel punto P = (−1, 0).
*c)scrivere l’equazione del piano tangente al grafico nel punto C = (−1, 0, f (−1, 0));
*d) calcolare le derivate direzionali nel punto P = (−1, 0) nella di- rezione w(1, −2).
4) Sia D la regione del piano limitata dalle rette di equazione y = −x, y = −3x, y − 4 = x. Disegnare D e calcolare l’integrale
Z
D
(x − 2y) dxdy
