Algunes qüestions de renormalització a la cromodinàmica quàntica

Algunes qüestions de renormalització

a la cromodinàmica quàntica

Domènec Espriu Climent

Aquesta tesi doctoral està subjecta a la llicència Reconeixement 4.0. Espanya de Creative

Commons.

Esta tesis doctoral está sujeta a la licencia Reconocimiento 4.0. España de Creative

Commons.

U N I V E R S ITA T D E BAR e E L o � A Facultat de

Física

- ,

ALGUNES

_QUESTIONS

DE RENORMALITZACIO

A LA

CROMODINAMlCA

QUANTlCA

Memoria

presentada

per

Domenec

_Espriu

C1iment

per tal

d'optar

al Grau de Doctor

BAR e E L o N A 1982

B1'i''''iñifif

________().?00448235

Departamento

de Física Teórica

Facultad de Ciencias

Universidad de Barcelona

ROLE 'rARRACH

_SIEGEL,

_{�rofoE!_s?r Ag�eg9.t}

Inte:,í

do la Facultat de

_Flslca,

Unlveroltat de Bar celona

CERTIFICA:

Que

la

_present

Memoria

.. ,

rr

ALGUNES

_QUESTIONS

_.QE

_{RENOR�IALITZACIO}

A LA CROMODINAMICA

_QUANTICA"

ha estat realitzada sota la meva

direcció

_per

En

Dornéne

c

_Espriu

Climent i consti.bue.ix la se va Tasi _{per tal}

d'optar

al Grau de Doctor en

Física.

A fi de deixar

_constancia,

en _{conp Lí.merrt} de la

legisla ció

vigeLt, presento

davant la Faeultat ds

Fisies

_5.'.gquesta

Universitat

l'esmentada

Te si.

Lliurant el

_present

certificat a Bar-o eLona el dia

₃₀

de

_maig

del

1982.

En

_aquestes

circumstancies

és

costum el dedi

car unes

_paraules

d'agraiment.

M'agradaria,

pero,

que les

línies

que

segueixen expressessin

prou -

-fidelment,

per sobre de tot

formalisme,

la meva

gratitud

a totes les _{persones que} han fet

_possible

el

_portar

a terme la tasca _que recull

_{aquesta Memo}

ria,

al

_llarg

_d'aquests

dos _anys i

_escaig

de tre

-ball il.lusionat.

En

_primer

_lloc,

al Director de la

_Tesi,

Rolf

Tarrach,

agrair-li

les moltes hores

_esmerQades

en

la

conducció

efectiva

del

_treball,

així

com

l'aju_

da i consell que he trobat sempre que li ho he de manato

_També,

com _{no, per} la-

pac'í.énc

í,a demostrada a les discussions.

A Pere _{Pascual per les}

_ajudes

de tot

_tipus

i

en tot moment que en el decurs

_d'aquest

_temps

m'ha

ofert _{i per}

l'interes

que continuament

m'ha

demos trat

_�i,

_per

_que

_{no, per} tot el que

m'ha

fet treba

llar.

A tots la meva sincera amistat. Ha estat un

privilegi

treballar amb ells en

_aquest

_camp excitant i si

_alguna

cosa

_positiva

hi ha a la Tesi seu

és

el

credit.

El meu

_agraiment,

també,

als

demés

membres del

departament,

companys i amics. Molt

especialment

.. ,

ALGUNES QUESTIONS DE RENORMALITZACIO

'" '"

Sembla

_obligat

comenqar fent

referencia

a les raons

tea

riques

i

_{experimentals}

que ens fan creure en la

Cromodinami

ca

Quantica

com en la Teoria de

_Camps

adient a la

_descripci6

del

m6n hadranic.

Per a creure en una teoria

_{necessitem, seguint Wightman,}

dos

_requisists.

Ha

d'estar

lliure de contradiccions i ha de satisfer un _rang

més

o _menys

_{ampli d'observacions}

_{experimen_}

tals.

És

en

_aquests

sentit _que hom creu en les

_equacions

de

Maxwell,

pero

no ho fa en

l'antiga

teoria

_quantica

anterior

a la

Mecanica

Ondulatoria.

En els dos

_aspectes

la

_resposta

ha

d'ésser

matisada.

-Hom no ha estat capaQ de solucionar

d'una

manera

satisfato

ria

_QCD.

Per

aixo

és

_possible

_que

l'absencia

de contradic cions reflecteixi la nostra

_ignorancia

únicamente

Pel _que

coneixem fins

_aquest

moment

_QCD

és

una teoria lliure

d'incon

sistencies

_internes,

al _menys a un nivell molt fonamental. ,

Es una teoria de _gauge -i creiem en les teories de _{gauge per} a

l'explicaci6

de totes les interaccions- convenientment de finida -en un sentit

_ampli

del

_terme,

renormalitzable i uni

taria.

A _grans

_trets,

el

_problema

que ens

_impedeix

donar una

_resposta

_conclusiva

és

_la

_{probable inexistencia}

de la ma

triu S al _menys en un sentit

_pertorbatiu.

_Qualsevol

ele ment de matriu _que calculem sobre la _capa

_massica

_per les

-tecniques

pertorbatives tradicionals-per

un

_procediment

en

tot semblant al _que fariem a

l'Electrodinamica

Quantica­

resulta ser infinit fins i tot _quan hom renormalitza acura

dament les

_divergencies

ultra-violetes.

_Bé,

aixo

en

_{princi_}

pi

no

és

_preocupante

A

QED també

es

_presenten

divergencies

infra-roges.

Així

a

l'Electrodinamica

hom

_{pot exponenciar}

les

_{singularitats}

_infra-roges

_dominants,

obtenint-hi un fac

ii

tor _que anul.la les

_amplituds

de

col.lisió elastica.

A

_QED,

pero,

hom

obté

un _segon factor _que contra-resta el

_primer

(ordre

a

ordre)

si

_permetem

un nombre arbitrari de fotons

suaus a

l'estat

final

(

expressió

d'un

teorema

més

general

degut

a

_Kinoshita,

Lee i

Nauenberg).

El resultat

és

una

secció efica9

finita. A

_QCD

les

_{singularitats infra-roges}

són

molt

més

severes. El resultat

d'isolar

les

_divergencies

dominants indica que les

singularitats infra-roges poden

ex

ponenciar-se

tot

_suprimint

els _processos en els _que

l'estat

final no

és

singlet

de color. Ara

bé,

quin és aqui

el _paper

deIs

_gluons

suaus? Si el factor que

és

a

_QED

esta

_absent o

la

cancel.lació és

_incompleta

hom

_podria

_generar el confina

ment _per

_aquests

mecanismes

_purament

_{pertorbatius.}

No

_exi�

teix _cap resultat

_general,

_pero

fins

l'ordre

calculat sembla

aplicar�se

també

el teorema de

_Kinoshita,

Lee i

_Nauenberg

_i,

per

tant,

el confinament no es

veura

mai _per resultats

_{per_}

torbatius.

_Altrament,

no

_apareix

clara la

connexió

entre

-aquesta aproxima ció

i la idea

més

tradicional

d'un

acoblament creixent a

_{llargues distancies.}

Així

_doncs,

si

_ningú

ha

_aconseguit

_explicar

un sol es

tat

_lligat

amb els

únics

elements de

_QCD,

d'on

_prové

la nos

tra

_confian9a?

La

cromodinamica

té

com a _camp de _gauge els camps que

porten

un nou nombre

quantic:

el color. La nece

ssitat

teorica

de

l'existencia

del color es _posa a la llum

primerament

en el

_problema

de

l'existencia

d'una

estadística

anóma

La _per als

_quarks.

_{Experimentalment,}

jf°-:)o.2t

o

T

(

e + e

---�

hadrons)/

v

_(e

+e ---�

_t"

+

r-

-)

compten

els graus de llibertat

_i,

_per

_tant,

reflecteixen la necessitat del co

loro

D'altra

_banda,

les inter8ccions fortes

_requereixen

-­

d'una

manera natural un nombre

_{quantic específico}

Si la in

teracció

es

realitzés

_mitjan9ant

unes

partícules

vectorials

acoblades al

_s3bor,

les interaccions febles serien

també

-­

fortes.

_Finalment,

81

_lagrangia

de

_{QCD respecta}

totes les simetries ben

_conegudes

de les interaccions fortes S81lSe afe

gir-ne

de noves.

a i.t.

sigui

l' existencia

de llibertat e

_sinp

tótí.ca, Era

ja

conegut

que

més

en.lla

de la zona de

ressonancies

hadr-ón

_í.que

s les inte

raccions

_adopten

un

_comportament

més

i

més

suau.

_{Aparent_}

ment,

les interaccions fortes decreixen amb

_l'energia.

L'an

tic model de

_partons

_(I'evidencia

més

definitiva en favor

-del _quarko

₎

donava c_ornpte de

l'observ2..t

e s caLamerrt en el

lí

mi t de

_Bj

orken.

QCD

recupera aquest

comportament;

va

més

-enlla,

pero,

pronosticant

desviacions

_{logarítmiques}

_{-compa_}

tibIes amb les dades

_{experimentals-}

_respecte

el

_comportament

d'escalament.

L'evidencia

de llibertat

_asimptotica

en les col.lisions

_{proi'undament}

_inelastiques

és

certament una bona prova que les interaccions fortes

s6n

descrites per una teo

ria no abeliana de _gauge. Una

qüesti6

oberta a

_QCD

és

a

_quin

moment _comenQa el

_regim

de llibertat

_asimptotica.

Pot

_QCD

_explicar

les

ressonancies

a ba ixa

_energia?

Dei

xant de banda models

_{fenomenologics,}

dos

s6n

els camins oberts _per a un enteniment de

l'espectre

a baixa

_energia,

induit

_pel

_lagrangia

de

_QCD

_(un

_espectre

que avui entenem

més bé

i veiem molt

més

variat _que no

pensavem).

Les teo

ries de _gauge en una xarxa

són,

sens

_dubte,

l'única

forma co

neguda d'efectuar qualsevol calcal m�s

enlla

de teoria de

pertorbacions.

Les

_dificultats,

tant

_teoriques

com materials

trobades

s6n

_{considerables,}

_pero,

avui en

_dia,

hom ha

_{aconse_}

guit

d'explicar

magnitud

típicament

hadroniques

amb uns

errors

_acceptables.

La

_qüesti6

_{és, pero,}

_{lluny d'estar}

total

ment

_explicada;

tant

d'un

_punt

de vista

_practic

_per les li mitacions de les xarxes actualment accessibles com _per la

-interpretaci6

del _pas al continuo

L'altre

_mecanisme,

pres de J.a

física

deIs

_60,

és

la -­

utilització

de les

_regles

de suma

(tecnica

introduida

_pel

-grup de

l'ITEP).

A

diferencia

del

calcnl

en una

_xarx3,

el

metode

no

és

autosuficient. Si hom vol retenir contribu

cions

_(essencials)

no

_{pertorbatives,}

_aquestes

venen

_{parame_}

tritzAdes _per una

serie

de valors

_esperats

en el buit

només

a trobar _{que per}

_comparaci6

amb

_l'experiment

_(o

bé

a obtsnir

iv

El

_lagrangia

de

_QCD

ha demostrat una

extraordinaria

ri quesa de solucions a nivell

semi-classic.

_Monopols,

instan

tons,

merons,

vortexs,

•••

són

els elements de la fauna

d'a

quest món.

El coneixement

_d'aquestes

estructures

_teoriques

extraordinariament

interessants va aixecar _gran

_expectació.

Potser

_{l'explicació}

del confinament

_podia

_raure,

_després

de

tot,

just

a

l'extrem

_oposat

de teoria de

_{pertorbacions.}

-­

Passat un

_temps,

la

impressió

_{general és}

molt

_diferent;

_cap

d'aquestes

estructures sembla

_proveir

un mecanisme _per a

l'explicació

de la fase de

_PCAC,

encara _que hom ha trobat resultats

_{interessants,}

com _p. ex. la

solució

de

't

Hooft al

_problema

_UA(l).

Altres intents han estat

_dirigits

a solu cionar

_QCD

en _menys dimensions.

't

Hooft ha

_{provat l'exiten}

cia de confinament en

_{l+l,dimensions,}

pero,

com diu

_{Zichi_}

chi,"només

poden

haver

_spaghetti

en

_quatre

dimensions".

L'es

tructura,

no cal

_{dir-ho, pot}

ser totalment diferente

En--1+1 dimensions

també QED

confina.

Si, malgrat

les actuals

_{deficiencies,és}

_innegable

la

quantitat d'evidencia

en favor de

_QCD;

d'altra

_banda,

la Cro

modinamica

ha

_suposat,

_juntament

amb la teoria

_{electro-debil,}

un formidable

_repte

teoric

_dirigit

vers un millor enteniment de les subtilitats de les teories de _camps. En

_particular,

els mecanismes de la

renormalització.

En el nostre

_llenguat

ge renormalitzar una teoria _suposa trobar un mecanisme adient

per a subtreure

sistematicament

les

_divergencies

_{ultra-viole_}

tes _que

_apareixen

en el

calcul

de

_qualsevol

_quantitat.

Pero

renormalitzar

_{és, també,}

fer el contacte amb el

món

_físic;

do

nar

_significat

als

_parametres

de la teoria.

RBtornant

un xic a

l'inici,

val la _pena

_assenyalar

el fet que els creadors de

l'Electrodinamica

Quantica

no creien en

ella,

car _{pensaven que} era internament inconsistente

_QED

_pr�

senta les mateixes dificultats que les ben

conegudes

de

l'e

lectro-magnetisme

classic

tractant electrons

_puntuals.

Amb dues teories tenen

_{auto-energies}

_divergents.

La

diferencia

-la millora si voleu-

és

que a on

l'electrodinamica

classica

v

hi

té

una

_singularitat

logarítmica

en el

_regulador

de la in

tegral.

Altres _sorpreses

més

_agradables

foren que els processos calculats en

l'aproximació

de Born

(efecte

Compton,Bremsstrah_

lung,

•••

)

presentaven

un excel.lent acord amb

l'experiencia

si hom

_negligia

les correccions

_(divergents)

radiatives. Se

guint

aquest

camí,

els

exits

_persistiren

amb la

introducció

de la teoria de Fermi de la

radioactivit�t

beta i la teoria de Yukawa de les forces nuclears. Encara que en el moment de

ser formulada la teoria de

Fermi, degut

a

_{imperfeccions}

_{expe_}

rimentals,

l'acord només

era

_parcial,

la teoria descriu _{per_}

fectament les

_experiencies

de

_{desintegració}

beta.

Tot i

_així,

en la

_primitiva

teoria de _camps la

_presencia

de

_divergencies

era entesa fins a

_principi

_{deIs anys} �O com

evidencia palpable d'inconsistencia

interna. Com a

_resposta,

hi havia certament latent un

anim

de canvi deIs fonaments

fí

sics de les

_TQC,

_o, al _menys,

_{d'algun.d'ells.}

_Així,

p.

·ex.

quan es

_tingueren

les indicacions

_primeres

de

_{l'enorme poder}

de

_{penetra ció}

deIs

_{raigs cosmics}

hom va _pensar en un

_esfon�

drament de

_QED

a

_{energies iguals}

o menors de les deIs

_raigs.

Més

tard

_Heisenberg

_assenyala

la

diferencia

entre teories com

l'Electrodinamica

i la teoria de Fermi de les interaccions

febles en la _que la constant

d'acoblament té

dimensions

d'u

na

potencia

_positiva

de

_longitud,

tot i esmentant la

_possibi

litat de la necessitat

d'introduir

una

_"longitud

fonamental"

que,

d'alguna

forma,

hauria de

_proveir

un cut-off a les teo

ries de _camps. Clarament quan

Heisenberg

va escriure els _pa pers sobre la matriu S tenia in mente un formalisme alter

natiu a _{les teories}

_lagrangianes

_permetent-li

d'introduir

la

dita

_longitud

fonamental

_típica

de cada teoria

_(una

idea _que certament en un context diferent

_és,

_curiosament,

_certa).

La

renormalització

_{pertorbativa,}

ordre a

_ordre,

_que

té

les seves arreis en els treballs de Dirac sobre la renorma

lització

de la

_carrega

en els _anys

30

_i,

més

_modernament,

vi

tematicament

en el

_{periode 1945-52.}

Hom va veure dos

_tipus

de teories.

Només

en

_aquelles

que avui coneixem per

renorm�

litzables o

super-renormalitzables

totes les

divergencies

poden

expressar-se en un nombre finit de

_quantitats.

El _prQ

cés d'isolar

aquestes

divergencies

i

_afegir

els contra-ter

mes necessaris _per a mantenir el

_significat

físic

deIs

_{para_}

metres

és

renormalitzar.

És

possible

que la nostra

exigencia

de renormalitzabi litat en el criteri que li venim donant

sigui

massa

_exigent,

pero,

tot i que hom ha fet intents de resumar

series

de dia grames

divergents, etc.,

avui per avui

és

una demanda afer

a

_qualsevol

teoria

_aspirant

a contenir un

mínim

de

_significat

físico

En la

_practica

aixo

vol dir que estan

prohibides

les

constants

d'acoblament

amb dimensions de

_potencies

_positives

d'una

_longitud

i tots els

_propagadors

_per a

p2

_gran

s'han

de

_comportar

com

(p2)-1

_{per bosons} i

(p2)-V2

_per a fermions.

QED

satisfa

tots

_aquests

_requisists

i

és

la _prova

més

_{pal_}

pable

que, a

_despit

de les inicials

suspicacies,

esta

lliu re de contradiccions internes.

_L'espectre

de dades a les que

QED dóna satisfacció

amb exactitud

impressionant

és

-­

extraordinari

_{(efecte Lamb,}

estructura fina del

_positronium,

estructura

_hiperfina

de

_l'hidrogen,

•••

).

La

demostració

de la renormalitzabilitat i unitarietat de les teories no abelianes de _gauge fou donada en

_1971.

-­

Un

_ajut

_important

fou la

introducció

deIs fantasmes de Fadd

eev i

_Popov

_per a remoure els _graus de llibertat no

físics.

En totes

_aquestes

_qüestions

ha estat decisiu

l'ús

deIs

me

todes funcionals

_{primerament emprats}

per

Schwinger

i

_{poste_}

riorment

_{desenvolupats}

per

Feynrnan.

El _programa de

renormalització

d'una

teoria

_quantica

de _camps rau en

l'observació

_que re-definint _camps i

para_

metres ordre _per ordre hom absorbeix totes les

_divergencies

en un nombre determinat de

_quantitats.

Si

bé

hom

esta

for

�at

en

_{aquesta re-definició}

per

l'eliminació

de les diver

gencies,

hom

_reté,

_certament,

una arbitrarietat en les

_parts

finites. El

_conjunt

_(infinit)

de les diferents re-defini cions finites constitueix el _grup de

renormalització.

vii

L'ús

_primer

_d'aquest

grup de

renormalitzaci6

va ser

fet _per Gell-Mann i Low i

també

Peterman i

_{Stückelberg.}

Al calcular la

renormalitzaci6

de la

_carrega

en

_QED

varen _{veu_} re _que un canvi en

l'escala

d'energies

era

_compensat

_per un

canvi en la

_carrega

renormalitzada.

_{Aixo porta}

a una

_{equa_}

ci6

diferencial per al

propagador

del

fot6,

valida

a

_{qual_}

sevol ordre en teoria de

_{pertorbacions.}

El

_comportament

d'aquest

propagador

(en

general,

de

_{qualsevol funci6}

de

Green)

a altes

_energies

era

_conegut

si hom coneixia els zeros

d'una

certa

funci6

(la

funci6

de Gell-Mann i

_Low).

Més

tard

Bogolubov,

Shirkov i Osviannikov varen estendre el formalis

me.

En la seva forma

_original

_l'equaci6

del _grup de

_{renor_}

malitzaci6

a la Gell-Mann i Low conservava un

_significat

més

aviat

fosco

La

_ra6

fonamental era _que a

l'única

_{teoria de}

camps que hom

disposava

_aleshores,

QED,

hi ha una

prescripci6

clara de

_{renormalitzaci6;}

la

renormalitzaci6

a la _capa

_{ma_}

ssica. Per a

més

complicaci6,

si hom introduia un terme de

massa en el

_{lagrangi�,.}

_{trencant,per tant,}

la

invariancia

d'es

cala que

s'exhibeix

classicament,

era

precís

_afegir

un

_{ter_}

me contenint una

inserci6

de massa.

_Aquesta

inserci6

d'acord

amb el teorema de

_Weinberg

no

és

relevant a altes

_energies.

QED,

a

_més,

_presenta

un acoblament fort a molt altes

_energies.

En el

m6n

_hadronic,

la

realitzaci6

_{d'experiencies}

a

energies

creixents,

singularment

pr-ocessos aem

_l=-Lep

t

ónf.ca

i

electroproducci6,

portaren

a un

_primer

_pla

l'interes

_per

l'estructura

i

_comportament

de les teories de _camps en col�

lisions

_profundament

_{inelastiques.}

A finals deIs _anys 60

queda

hen establert

l'escalament

de

_Bjorken

en

experiencies

d'electroproducci6.

Eventualment,

qualsevulia

teoria _que

intentés

_explicar

les interaccions fortes havia de donar

compte

del decreixement de la

interacci6

a molt curtes dis

tancies.

El

_{quasi-oblidat}

_grup de

renormalitzaci6

semblava ales hores una eina

_apropiada

_per a

l'atac

al

_problema.

Una teo

viii

ria de _camps renormalitzable

_mitjanQant

subtraccions en un

punt

arbitrari no

_pot

ser invariants sota canvis

d'escala.

La

raó és

ben

_sabuda;

hom ha

_{d'introduir alguna magnitud}

di

mensional,

fins i tot en

regularització

_dimensional.

D'a

questa

manera Callan i

_Symanzik

varen donar una

formulació

correcta a la

_{depend�ncia}

en

l'escala

d'energies.

_Aquesta

formulació

_s'expressa

en

_equacions

diferencials _{que governen}

el

_comportament

_asimptotic

de la teoria.

_Aquesta

és

l'a

proximació

més

estesa al _grup de

renormalització.

Des

d'un

_punt

de vista

més

_general,

la filosofia que

-esta

al darrera del _grup de

renormalització

és d'extraordina

ri

_contingut

fisic

i la

transcend�ncia

va

més

enlla

de les

TQC.

Quantitat

de sistemes

fisics

com _p. ex. un

_aliatge

binari o un sistema

d'spins

_prop

d'una

transició

de fase de

segon ordre

són

invariants sota un canvi

d'escala

si hom fa

les coses

"apropiadament",

re-escalant

també

la

interacció.

Són

sistemes

_fisics,

en

_definitiva,

_independents

del

_{compor_}

tament a curtes

distancies

de la teoria

que

els descriu. A

les teories de _camps

_l'exigencia

de renormalitzabilitat

_{im_}

plica

la

_{independencia}

en les

_quantitats

observables del

domini

_{ultra-violeta,}

és

a

_dir,

de les curtes

distancies.

L'introductor

_principal

en molts camps de les

_tecniques

del

grup de

renormalització

ha estat Wilson. A

l'estudi

de les teories de _gauge en una xarxa

té

lloc una curiosa inter-rela

ció

entre

_conceptes

fins fa _poc tan

_separats

com la

física

d'altes energies

i la

mec�nica

estadistica.

Les

_tecniques

del _grup de

renormalització

són

_{completa_}

ment

_generals

_per a

_qualsevol

teoria de _camps.

_Quan

hom in

tenta,

a la llum de les

_equacions

de

_{Callan-Symanzik,}

si

l'ob

servat

escalament

s'obtenia

de les teories de _camps, hom

troba

(1973)

que totes les

teories,

tret de la notable

excepció

de

les teories no abelianes de gauge sense trencament

_espontani

de

_simetria,

_presentaven

una zona

d'altes

_energies

no accessi

ble

_{pertorbativament.}

Les

_excepcions,

com

_QCD,

tenen lliber

tat

_asimptotica.

El

_comportament

a altes

_energies

ve

_{gover_}

ix

malització

_permet

efectivament de trobar el tan observat

-escalament i les les desviacions

_{logarítmiques}

_provinents,

en

última

instancia,

del trencament de la

invariancia

d'es

cala.

Malgrat

l'increment

_qualitatiu

i

_quantitatiu

dels

_{nos_}

tres coneixements sobre

l'estructura

i

_propiet�ts

de

_QCD,

no

cal dir que resten nombroses

qüestions

obertes.

_L'objectiu

de tots els

_esforQos

_és,

en

últim

_terme,

obtenir

informació

a baixes

_energies

del

_lagrangia

de

_QCD.

Tots els

_problemes

que hem fet esment

persisteixen tenaQment.

A

energies

per

sota

d'uns

pocs GeV la llibertat

asimptotica

desapareix.

-­

Com trobar aleshores resultats de la teoria? Al

créixer

la

constant

d'acoblament

al baixar del domini de col.lisions a

alta

_energia,

com obtenir

prediccions

en una

serie

_{pertor_}

bativa amb una constant

d'acoblament

_{gran que,} a

_més,

_depen

de

_l'esquema

de

renormalització?

Hi han moltes altres dificultats dins el marc de la

QCD pertorbativa;

elecció

de

_l'esquema

de

_{renormalització,}

carregues

efectives, operadors

no locals i

_operadors

com

postos,

funcions del grup de

renormalització

a ordres su

periors,

parametrització

de

_divergencies

_infra-roges,

llur

equació

tipus

grup de

renormalització,

sumabilitat de la

serie,

•.• per dir-ne

només

unes

quantes

de les llacunes

-­

existents. La

_major

_part

_d'aquests

_punts

són

d'interes

_{ge_}

neral en teories de camps.

Aquesta

Tesi

_pretén

estudiar

_alguns

deIs dits

_punts.

En un _camp tan

estes

i en

rapid

_{desenvolupament}

com ho

és

el de les teories de _gauge, un treball

_{d'aquestes caracte_}

rístiques

no

_pot

sinó

_consistir,

creiem,

en una

serie d'ar

x

tructura

_d'aquesta

Memoria.

_Segurament

_l'exposició

i

_{or_}

denació

s'en

resenteix

_d'aquest

_origen,

raó

_per la _que hom demana la

_indulgencia

del lector. El curt

_temps

_{pa_}

ssat

també

ha deixat sentir la seva

_petxada.

_Així,

la

part

11 en la _que hom estudia la

definició

d'una

constant efectiva

d'acoblament

invariant _gauge -una

_qüestió

_intens�

ment discutida a la literatura en el moment de la seva _{pu_}

b1icació-

ha

_{perdut part}

del seu

interes,

amb _prou feines

uns mesos

després.

Una servitud inevitable.

La

_{part original}

de la

_present

Tesi ha estat recolli da en els articles

_següents:

"A

_{Unique Coupling}

Constant in

_QCD"

, D.

Espriu

i R.

Tarrach,

Physics

Letters

_102B,

₁₆₃

₍₁₉₈₁₎

"Effective

_Coupling

Constant in

_Quantum

_{Chromodyna_}

mies';

D.

_Espriu,

P. Pascual i R.

_Tarrach,

of

_Physics

G

_1,

₁₅₉₁

₍₁₉₈₁₎

"On

_{Prescription Dependence}

of

Renormalization­

group

Functions",

D.

Espriu

i

R.

Tarrach,

The

_{Phy_}

sieal Review D

_25,

₁₀₇₃

₍₁₉₈₂₎

"Renormalization of the Axial

_Anomaly

_Operators",

D.

_Espriu

i R.

_Tarrach,

Zeitschrift für

_Physik

C­

Particles and Fields

_(aceeptat)

Journal

L'apartat

1 vol servir de recull de resultats neeessa

ris i de recordatori de

notació.

A

més

de la

_{part 11,}

_ja

dita,

hom estudia a la

seeeió

111 la

dependencia

en la

_pre�

cripció

de les funcions del _grup de

renormalitzaeió.

k

l'última

_part,

_IV,

la

més

_estesa,

hom ha

_volgut

estudiar la

So,

what

_happened

to the old _theory that I fell in love with as a

_youth?

_Well,

I would _say it's

_b�

come an old

_lady,

that has very little attractive

-left in her and the young today will not have their

nearts _pound when

_they

look at her _anymore.

_But,­

we can _say the best we can _{for any old woman,} that she has been a _{very good} mother and she has

_given

-birth to sorne _{very good} children.

I.l El

_lrlgr8ngia

de

_QCD

N¡

«atD

=

-: 1(.�/lrl

r

_r(.¡

l!el

+

j

[.

�

�XI

tf¡0I'I,,1'

�(l{XJ

J=1

-1(

-L

mj

�

()(

)

(/lit;"

(X)

-h

{d"

W(.,/

(gauge

f'Lx

i.ng

term)

(1)

-IAI

_,.

1'1

(

-(J

tf

_Ix/liD

lf

IX

JI

fantasmes de

Faddeev-Popov)

l'

(lb

i

(2)

8mb

(3)

JQ(./)

és

invariant sota les transformacions infinite simals

_{uniparametriquesl}

W

{�I {Al

{A/

---+

W¡c

+ w

_{D�

_r

J

J4

1/'

�

f)(,f-iJw

T?J

ti'

-/AI

V

(Al

!:!...;;

r

_'IV.

C.I

(1+)

lf

� + �

,..

q

(al

�

_!f

{Al

-..!

_�

w

Cf

("

f

erc"

Z

Ahe

les matrius

T(R)

s6n els

_generadors

de

_l'algebra

de SU

₍₃₎

e

(5)

t

t'"¡

.

f

T

_be

= - I

abe

(rep. adjunta)

₍₆₎

1.2

(r8p.

fonamental)

(1)

: matrius de Gell-Nann

Els casimirs associats s6n

N1._,

lN

(2)

(T

_{·/�,.IT·�r=}

4.{�1

¡�r

=

{TA/be

{TAJcd

=

(ll&l

d'J

=

N

d"J

(

per a

SU(N) ).

1.2 Simetries

_globals

El

_lagrangia

de

_QCD

és

invariant sota les transforma

-cions

_{uniparametriques}

lj'(XI

�

_e'tf

t-n:

I

"'C't}

e:

ci:

(3)

1

és

la matriu identitat

_{Nf-dimensional.}

El

_corresponent

-­

corrent de Noether

és:

. J

�

_1( �

1j.

(X

I

=

L?-

'f¡

_{tIa,

'Pi

{x

/

₍₄₎

«:1 ,::1

amb una

carrega

_associada,

el nombre

barionic,

que

és,

per

tant,

conservat.

(5)

A

_{més, (1.1)}

és

inveriant sota tr�nsformacions inde -­

pendents

per a cada un deIs sabors

i

=

_1,

.. "

I.3

Per a cada

_j

existeix un _grup essociat

_U.(l),

_grup que

�s

una

simetria

_global

del

_lagrangia.

c(QCD

��,

com a

_{conseqüen_}

CiE,_, invariant sota

_Uup(l)

x

Udown(l)

x ••. El

signifieat

físic

_d'equesta

simetria

_{global �s}

clar: les interaccions -­

fortes conserven

_separadament

els sabors.

D'existir

a

m�s

degeneració

en dues masses

(

_p. ex.

I!lu =

md

),

hi ha una simetria

_global

sota

_SUu

_d(2).

Si la

,

degenera ció s'est�n

a totes les _masses, la simetria

�s

_BU(Nf)

(1)

(índex

A no sumat

)

juntament

amb la simetria

_global

_(2.3).

En el

límit

_ffij

::: O

apareix

una nova simetria

ti'

�

f:�p

{-i

9

Ilt1

Ós-

T

tAo

I

₍

'P

{A-l

.

�

'f

�

_ex,

(-;

e

Ir

1

J

(2)

Els

_{corresponents}

corrents de Noether s6�

(

suprimint-hi

-­

l'índex

de

_color)

v.1A-1_

IV

's

T.�IrJ

lui

J4

- 1

l'

'}

T

•

{Al

-i

tAoI

IV

J

A,.

=

r

t/A

ir-

_T;¡

T

J;

::>

r;�

(r-

if¡

(3)

(

corrent axial

_barionic)

Les

_carregues

associades

Q

fA-!

=

f

á'x

Q

;'"

=

I

J'x

(ir

:.

J

J)x

{/tI

�

li,

tI

A

0''''

,

_ti'¡

I;J

s

Jo li,tl

1.4-[

Q

(�II

Q

lBI]

'1

� BC

«)

= I

_Q

[¡J)lA-1

ISI]

_ .

f.A�C

ta �

,qs

- I

Qr

[

....,

I�I

�

l&l7

_ .

t'"

tcl

q r I

qs-

_J

- I

�

(1)

r.1

IA-J_

f

{al

{Ir,;

\.lL.

=

Z

Q

_

(1)

/.J

'":

1

(I!J

{Ir}

ú/¡

'f�

=

Z

'( .,.

fXs

(2)

La simetria

_global

de

_QCD

en el

límit

sense

masses

és:

(3)

Com es tradueixen a

l'espectre

_de

_partícules

observa_

des

_aquestes

simetries?

_Qualsevol

simetria

_pot

relitzar­

se a la natura de dues formes diferents.

1)

A la

_Wigner-Weyl.

El buit

és

annihilat

_pels

_gener�

dors del _grup de simetria

₍

_{� /0)::1}

₍₎

_).

El teo

rema de

Coleman2

_garanteix

aleshores _que els estats

físics

s'ordenen

_seguint

les

_{representacions}

irredui bIes del _grupo Si fos

_aquesta

la

realització

que la natura ha escollit hi haurien

_multiplets

doblats amb

totes les mateixes

_{caracter!stiques}

₍

dins deIs

lí

mits del trencament de

_{(3) ).}

2)

A la

Goldstone-Nambú.

El teorema de

Goldstone3

és

ara el que estableix que per a cada

_generador

sota el

_qual

el buit no

s'annihila

_3pareix

un

.:nesó

de ma

ssa nula i

spin

zero.

Capritxosament (?)

la natura no ha triat _cap de les dues

possibilitats.

D'una

banda no veiem doblets de

paritat

amb

les mateixes

característiques

((0-,0+), (l�l-), (12+,12-)

•••

).

Altrament,si

bé

podem

assignar

l'octet

0- als mesons

de Goldstone

_provinents

de

Q5(A)

no hi han candidats _per a

I.5

(Ir)

�

l0>

=

o

(A-)

Q;-

to»

1=

O

(1)

Existeix un

_multiplet

de mesons de Goldstone

_{pseudo-escalars}

i un

_conjunt

de

_{multiplets massius,}

amb masses

_degenerades.

Per

_suposa�

la simetria

_quiral

no

�s

una simetria

_exacta;

els mesons de Goldstone

_adquireixen

una massa 1 es trenca la

degeneraci6

dins de cada mul

_tiplet.

Com

_mu

'V

md

...v

O,

el

-grup

d'isospin

sí

és

bona simetria.

El

_problema,

com

és

_sabut,

es

_presenta

amb

UA(l).

No coneixem cap nova simetria de la

_natura,

_cap nou nombre

quan

tic. Si la simetria

_s'implementa

a la

Nambú-Goldstone

_{apa_}

reixera

una nova

partícula

_lleugera,

_{pseudo-escalar,}

•••

pot

ser la

??

No.

_Weinberg

ha demostrat _que

m,

�

'(Ñ

M7r

'

per a

SU(N).

J5

lA

hom _sap

no

_pot

ésser

un corrent conservat. En realitat -­

(

Cfr. secc. IV

)

_que

_aquest

corrent

_presenta

una

divergencia

anomala

(2)

(

en

absencia

de masses

)

Pot definir-se a

_partir

de

(2)

un corrent _que satisfaci

-_--f

�r

J�

=

O

I

yf=

S'

(3)

.. pero ble.

-1'

I!"

és

_dependent

del _gauge i _per tant no

és

observa

Tot i

així

la

_c3rrega

associada

f'

- _o

�

_S" =

ti

X

Is-

Ix

I

_(4-)

rN'�'"

""...�... ... . ,.,." .. "...

,�

', �

I

( ., , , ' . ' ,'" 1

�

UHllj¡_;.i_(_::....;,� .•� "_.:"'.)},¡�d·":,�;, i

1.6

no

depen

del

gauge�.

_Aquest

resultat

_ja

era

_conegut

_per a

les teories no

abelianp's5.

Arnés

(1)

Q5

�s,

doncs,

una

_carrega

conservada lnvarian� _gauge;

aixo

vol dir observable.

A la QCD existeix un invariant

_topologic,

l'índex

de

Pontryaguin

(2)

que

pot

recorrer

tots els valors

enters6•

Si

_q'¡'

O el buit de.

QCD

té

una estructura

(G

vaco

),

_apareixent

ins

tantons. En

_aquest

cas

_ja

no

és

certa la

_{independencia}

d'e L gauge de

Q5.

El trencament de

UA(l)

esta,

en

_definitiva,

in

timament

_lligat

a la

_presencia

d'instantons.

1.3

Tensor

_{Energia-1mpuls}

. En

absencia

de masses hi ha encara una nova simetria

r

11&/

'J

'

a

(1.1).

Per _pures raons

_{dimensionals,}

si

_(�

...

p"

es

una

funció

de Green

_{D-dimensional;}

a nivell

classic

o�

-1>

J

r'O'¡lPw"

)Po/

=

O

o

bé,

a

l'espai

de

posicions

f

l'

_.,

l'

/1)1

(

f)

+

_z:

Xi

_se»

I'

fXi,

... I

XII

J

-O

1="

'/,/

(3)

(�)

A nivell del

_lagrangia

la

invariancia

sota canvi

d'es

cala es tradueix en la simetria sota

(

�i

son

generica_

ment els _camps

)

�

_¡

�

i

J;

Pi

(

t

X

/

I

Ji

=

d,',.,

p.

l.7

o, infinitesimalment ,

(1)

(2)

El corrent de Noether associat

és

el corrent de dilatacions

:Jri(

.

A

D/4

=

L

l

_i

J;

�

_X).

T

r

i

�

_{/�� �;I}

=

¿

TT/,A

di �i

+

_x)..

T,..A

i

és

el tensor

_{energia-impuls}

canonic

(3)

TrA

=

E

7r;f

&.\�i

-f

pAo("

,

(4-)

Noteu que si el

lagrangia

no

satisfa

(2),

sinó

_que, de

gut

a _la

_{presencia d'un}

terme

_massic,

(5)

aleshores

(6)

La

_carrega

_associada,

b

=

¡&/1_x

Do

(�f)

, actua com el

ge_

nerador de les transformacions

d'escala

(7)

El tensor

energia-impuls

(4-)

no

és, pero,

invariant -­

gauge, ni

tampoc

simetric

en els seus

índexs.

_Malgrat

tot

aixo

hi ha una certa arbitrarietat en la seva

definició8-11•

,

Es

_possible

_definir,

sempre a nivell

_classic,

un nou tensor

""'"

T.8

i)

Sigui

invariant _gauge.

ti) Sigui

sim�tric.

tRl've

donat _par

M

A,_.y=

EJ tensor de moment

_angular

₍

orbi

(1)

i les

_carregues

co r-r-e_aponerrts son conser-vad.es,

""

Ü11

iii)

Sigui

conservat,

_J,..

&

r=

_O

cia de ma s s e s,

Ol'p

=

O

.

iv)

Es

_verifiqui,

_igual

_{que per} a

z

r

=

/

d

3

X

e

o

f

_{¡X, t}

_}

T/4V

,

(2)

,

Es encara

_possible

una

redefinicióll,

f)

/A"

, tal que

�

_ePv

D

=

x.,

₍₃₎

i continui satisfent

_i)-iv).

Per

_tant,

(4)

Deixem de costat

_qüestions

com la finitud

d'e.quest ten_

sor _o, fins i

_tot,

1E( seva e

_zpr-eas.í

ó

exp

l.Lc

í, ta , En el

_{pro_}

c�s

de

renormalització

la

invariancia

sota canvis

d'escala

es

_perd.

Fins i tot en unR teoria sense masses

_apareix

una

ascala

_d'energies

que li

�s

pr�pia

(

transmutació

dimensio

nal

_).

La

_{diverg�ncia}

del corrent de dilatacions -la

_traca

del tensor

_{en8rgia-impuls-}

és

aLe shor-es d Lstinta _{de zero.}

I.L+-

Renorm'::31it0sció

de fune,ions ce Green

Per a una ulterior

renormalitzRci6 �s

necessari

_{regula_}

ritzar les

_{integr¡-¡Js}

_divergentE

que

apareix,,::'l

en

_qualsevol

c�lcul

a

_partir

d'un

cert ordre. El

m�tode

universalment

--1.9

gauge

�s

la

regularitzaci6

dimsnsional12,13.

En

D

=

t¡.,.Zé

_{dimensions 21s}

carnps i

_par-áme

tr e s de -­

(1.1)

adquireixen

una dimensiona�itat

o

O

[Wr]

=

Mr-I

[¡

]

--+2.

-M

2

-[

't'

1

-

M

t::J

_2.

_{['" 1}

-

M

-

--º--1

�

(1)

[

C(

₁

MZ.

_[

tt

]

--

M

Una

_{vegace regu18ritzada}

amb € la teoria ha de �enormalit

zar-se. El

_procediment

de

renormalització implica

_{realit_}

zar totes les subtraccions

_independents

deIs moments

_nec�

ss�cies

_per a fer finita

_qualsevol

funci6

de Green.

Que

ai

xo és

_possible

a tots els ordres no

és

un fet trivial.

QCD

_{�s, pero,}

una teoría de _camps renormalitzable

ssible _{trobar sempre la dita}

_subtracció.

. ,

1 es _{po_}

En teoria de

_{pertorbacions}

el _programa oe renormalitza

ci6

passa per

subtreure

les

diverg�ncies

deIs

diagrames

-que

8PGreixen

en el

cá

Lcu l

d'una

_quarrt

i.tat

_clonada;

de mane ra _que es �atisfaci ordre _per ordre una certa

condici6

de

renorrnalitzaci6

(

sempre

compatible

8mb

l'ordre més

baix

₎

El'. _genereI i-;ot din grama

cODté

subd

í

agcanes di

_ve.cgsnt

a,

g

�s

un

_subdiagrama

de G si

és

un

_subconjunt

de

v�rtexs

de

G Hmb totes les

l{nies

que e�s uneixen directamente A ca

�

da

_diagraua

_propi

G aas ociec una f'arn i.Li.a J- de tots eI,s

subdiagrames

propis

i connexes. Si el _gra�

_superficial

de

diverg�(l.ci3.,

_w(AJ

_W(gJ<

()

118

éF

_, el

_rlie.grHmn

�s

con

-,7er-gsI!.t.

Si

_wl9J

_<

O

JI

d

€7

,

J =/:-

(;

'L

cul

ó) �

O

tot;r�s

les

_{divergenci.ep}

8S tr-obcu <2n -l11

_)olino:rL1

de _grélJ

W{&/

en

eLs morscnts externs i ] es It1;::3Se�;.

'It}

Cónsiderem

una

funci6

propiA.

f7

_{,representada}

_per un

_diagrama

G. Direm

R"

a

aquell

integrand

Al

qual

-1.10

hom ha fet les addicions de tots els contra-termes de tots

els

_{subdiagrames divergents.}

'I'anmetei.x_,

Rr

sera

l'in

tegrand

que fa finita la

integral.

Si

r

no

té

diver

gencia

primitiva

It"

=

�r

Finalment

_I"

és

l'inte

g�and

obtingut

a

_partir

de les

_regles

de

_Feynman.

_En

el ca s _que

ur]

6}?

_O

_, la

_diferencia

entre

Jí,..

i

Rr

ha

d'eliminar-se

amb

_l'ajut

de la

_pertinent

sub

tracci6.

En el formalisme

BPHZ14

la

renormalitzAci6

es fa

mitjanQant

tantes

_subtraccions

en la

_funci6,

_primera

deri

vada,

.•• corn

sigui

necessari per a satisfer les condicions

de

renormalitzaci6.

Genericament

_�

sera

la

serie

Taylor

en el

_punt

₍

euclidia

per a una teoria sense

masses)

que fem la

substracci6

fins

l'ordre

necessario

Per tant

-}\,.

=

(1-

1;,1 J�r

(1)

D'haver-hi

subdiagrames

divergents,

parts

de

_{renorma_}

litzaci6,

hom ha de

subtreure

les noves

divergencies.

El

procediment

general queda

explicitat

en la

f6rmula

de recur

rencia

de

_Bogoliubov

so _

�r=

1{'

+

L

/

r/lft

..

Jsl!I/Tr.

R.�I

(2)

16i,···.

rs

(

-1,.

11

_ó�.

;

r

:

_parts

de

renormalitzaci6

Hom agrupa les

_parts

de

renormalitzaci6

en boscoso Un bosc de

_tipus

U de

_parts

de

renormalitzaci6

d'un

_diagr.§.

ma G

és

una familia de

parts

de

renormalitzac16

de G els

membres de la

_qual

satisfan

I.ll

Un bosc

_tipus

V

satisfa

els mateixos

_requisists

_que

els de

_tipus

_U,

_per�,

a

m�s,

no

cont�

el

_diagrama

total

G.

La

solució

de la

f6rmuls

de

_recurrencia

_de

_Bogoliubov

s'er�res�a,

en termes de boscos U i V

(l.a)

(l.b)

s'ent�n

que actua

priuerament

la

substracció

en el -­

diagrama

interior.

És

clar _que si 0 no

�s

_{superficialment}

divergent

els boscos U i V _{coincideixen.}

Encara que en el _programa BPHZ no hi ha necessitat de

regular

les

_integrals

i

�s

extremadament

útil

_per a demos

.

-trar certes

_{propietats generals,}

a-

l'hora

de la

_practica,

per a

_qualsevol

calcul

�s

_{imprescindible}

la

_{regularització}

de les

_divergencies

i la

renormalització

_{multiplicativa}

or

dinaria.

En definitiva

(2)

L1

_r

:

independent

dels moments.

En

_particul9.r,

els camps i

parametres

de la teoria vin dran afectats

d'una

renormalització.

Donat que la teoria

�s

renormalitzable no hi hauran

m�s

divergencies

_primitives

,

que

parametres

i camps a renormalitzar en el

_1-9.grangia.

Es

possible, aleshores,

afegint

els contra-termes

_escaients,

incloure en el

Iagrangia

la

renormalitzHció

de la teoria.

1.12

(1)

Les

_{corresponents}

constants de

renormalitzaci6

s6n:

'V ""

Z¿F

=

1

-Az

2'3

=

1

-/:1)

...,

-'-If

-

1

-/).11'

21

=

1

-.ft.1

-23

=

1-

.13

Ze¡

=

-{

-1>.'1

(2)

YH

Z1'IN

=

1

-�1

Zr

=

1-

Al'

Z,

=

1-

ll,

Camps

i

_parametres

_despullats

de la teoria:

W/41

D _

Zfz

W

lA/

3DYM

=

-Y¿

,..

-3YM

�

_r.;

ZJt�

,

'fIAJ

o =

ZJ'1

Vi

.., ,...

l

_Z-I

Z

_1/2.

_,

3,

-'f0

I/Z

1 _.3

$VM

=

21.� 1/'

,.

F -

-YZ

-I

-Zlr

₂₃

_'114

Z

_lF

_,

o =

ZIt

l¿;'

mj

(3)

".

I

t

z,

_Z��

_�z.

'De

--I ₄ -I ₌

Z,

_23'tN

¡-a,

El mecanisme de

renormalització

ha de satisfer la iden titat

d'Slavnov-Taylor15

I.13

21'1'"

Z

_J'I11

-,..,

Z"

---1:1 ...,

Z,J

Zf"

::---Z

_{f .,,.,}

(1)

Els _camps i

_parametres

_despullats

formen un

lagrangi�

formalment

identic

al

_primitiu

₍

en

_particular,

les

_{matei_}

xes

_regles

de

Feynman).

En termes de les constants de

renormalització

una

funció

de Green renormalitzada

s'obtin

dr�

(2)

G

_,;1T

, i

Q

són

el nombre de

gluons,

fantasmes de

-­

Faddeev-Popov

i

_quarks

_externs,

_{respectivament.}

La

funció

renormalitzada

contindr�

uns

dependencia

en la

condició

de

renormalització

_escollida,

simbolitzada _per

,.

Una

revisió

deIs esquemes de

renormalització pot

veure's

a ref.16.

I.5

Grup

de

Renormalització

Renorffi.91itzant en diferents _esquemes, R i

R'

r(lpf

.. ·

P"J

=

ZlRJ

ro

{P

•• ••

PIl!

rltdp,

...

PH

J

=

Z

tR,'

J

1:

[,�

.. ,

p,.,J

(3)

Si

rf(1

{Pi

...

p"l

=

Z

{R',R/

rfl.

('f

...

,,,/

Z/R')

'Z iR.

J

(4)

(5)

En

_general

les

z/re}

_I

Z

11.'/

s6:l

_divergents,

pero

ZfR'

�J

,

relacio:lant

dos termes finits

�s

convergent.

-,

,

Obviament les

Z.s

han de satisfer les

_propietats

de

I.l'+

Z

ie',

�

J

=

Z

{(¿u,R')

Z.

tn', R)

Z_'(�I,�J

=

Z

11<,

R.'/

Z

IR,RJ:::

1

(1)

En _esquemes com el de

Weinberg17,

W _; el de

't

Hooft18,

_MS;

o el de

Bard2en19,

_MS;

l'estructura

és

més

_amplia,

de -­

grup. En

aquests

esquemes el

producte

de dues

Z�

també

és

una

Z

.

Considerem

ara

(13.2).

En una forma

_general

Donat _que

r"

és

_independent

de

_l'

[

�

i

De �

�

1..

'JI;

,".

d

J4

g

]

.

r

;1p

+

r

_dp

_�

..,.

T

IIti

r¡¡

';;';¡

+

f;r;

"Ji

rlf!

000

PII,

�

_,4,lftj.

_,.¡

=

i

,.

�

r

_1"00

p"

_{," ,4.,}

M,.

.1'1

(3)

A

₍₃₎

_apareixen

unes funcions universals

_{-independents}

de la

funci6

de Green _que es considera.

Concretament

Át

(

P

t«,

lli,

Al

_(4.a)

P7F=

�

¿Mí

--

Oi

{�/J(/',a.J

('+.b)

---Mi

_dp

-d�

-d

(�,)tilttl

(4.c)

p-¡¡=

amb

Xi

=

_"';/

fA.

La f'uncí.ó

p

és

la

funci6

de Callan­

Symanzik8•

Després,'t

Hooft18

i

Weinberg17

varen extendre

el formalisme a la forma

_presento

Els

_origens

del _grup

., � �

lt'

t·

20,21

I.l5

A

_(1�.3)

_{apareixeran també}

(l.a)

(l.b)

(l.e)

De la renormalitzabilitat de la teoria se

_segueix

que les funcions

(l�.�)

i

(15.1)

s6n

finites. A

més,

en

els esquemes

_W,

_MS,

MS

s6n

independents

de les masses

(

referent a la

_dependencia

del

_parametre

de _gauge

Cfr.

secc.

III).

Per descontat a

l'esquema

f

hi ha una de

pendencia

no trivial en

_Xii

a •

per a

Un

analisi

dimensional condueix a la

_següent

_equació

r:

[A

h

+

Z.

Mi

a:;

+

_r

,,�

-D

]

r

_{{A'v·J.fll/�/4,"'j}

_,/,,1

,

=0

De

₍₂₎

i

_(14.3),

amb

t

=

(11

A

[_2.

+

_1).1(

l.

+d

l..

-

">[

1+á;]X;

1.

+D-ÓI'Jr{e�

....

lP'¡If(,.,Mi,f4

₍₃₎

Bt

1"

'1<

#14

f

I

_JX;

=0

(2)

a _{on, per} a funcions de Green

_completes

(�)

La

solució

_general

de

₍₃₎

és:

t

r

_le

t

_P

₁ . � e t

f

JI, �I

a,

x,

I

1')

=

e't,

I

t

D

-{

Jt'

tr

{

ti"

_(t�

1(

l/J.

o

r

I

_{PI··' P NI"i;}

_14,

Xi

,

r

I

(5)