Problema2

(1)

1/ 4

www.matefilia.it

PNI 2008 SESSIONE SUPPLETIVA -

PROBLEMA 2

Si consideri la funzione:

𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐

1)

Si determinino a, b, c, in modo che il suo grafico 𝛾 passi per A(0,2), per B(π/6,0) ed abbia

in B tangente parallela alla retta 3√3𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0.

Il coefficiente angolare della retta è: 𝑚 = −3√3

2 𝑓′(𝑥) = 2𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑓′₍𝜋 6) = 2𝑎 ( 1 2) ( √3 2 ) + 𝑏 ( √3 2 ) = − 3√3 2 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑖: 𝑎 + 𝑏 = −3 Passaggio per A: 2 = 𝑐 Passaggio per B: 0 =1 4𝑎 + 1 2𝑏 + 𝑐, 𝑎 + 2𝑏 + 4𝑐 = 0 Quindi: { 𝑎 + 𝑏 = −3 2 = 𝑐 𝑎 + 2𝑏 + 4𝑐 = 0 ; { 𝑐 = 2 𝑎 + 𝑏 = −3 𝑎 + 2𝑏 = −8 ; { 𝑐 = 2 𝑎 + 𝑏 = −3 𝑏 = −5 ; { 𝑐 = 2 𝑎 = 2 𝑏 = −5

La funzione ha quindi la seguente equazione:

𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛2_{𝑥 − 5𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2}

2)

Si rappresenti graficamente la curva 𝛾 nell’intervallo 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝜋.

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 5𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝜋

Dominio: 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝜋 Simmetrie notevoli:

(2)

2/ 4

Intersezioni con gli assi cartesiani:

Se x= 0 , 𝑦 = 2. Se 𝑦 = 0, 2𝑠𝑒𝑛2_{𝑥 − 5𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2 = 0}_{, 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 2 (𝑚𝑎𝑖) 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑥 =}1 2 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑖 𝑥 = 𝜋 6, 𝑥 = 5 6𝜋

Segno della funzione:

𝑦 > 0 𝑠𝑒 2𝑠𝑒𝑛2_{𝑥 − 5𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2 > 0}_{⟹ 𝑠𝑒𝑥 <}1 2 𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑛𝑥 > 2 (𝑚𝑎𝑖) ⟹ 𝑠𝑒𝑥 <1 2 ∶ 0 < 𝑥 < 𝜋 6 𝑒 5 5𝜋 < 𝑥 < 2𝜋 Limiti:

La funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato.

Derivata prima:

𝑓′(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 5𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥ 0, 𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 5) > 0 ⟹ 𝑐𝑜𝑠𝑥 < 0: 𝜋

2 < 𝑥 < 3 2𝜋 In tali intervalli la funzione è crescente.

𝑥 =𝜋

2 punto di minimo relativo (e assoluto), con ordinata: 𝑓 ( 𝜋

2) = −1

𝑥 =3

2𝜋 punto di massimo relativo (e assoluto), con ordinata: 𝑓 ( 3 2𝜋) = 9 Derivata seconda: 𝑓′′_{(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 5) + 𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑐𝑜𝑠𝑥) = −2𝑠𝑒𝑛}2_{𝑥 + 5𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2 cos}2_{𝑥 =} = −4𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 5𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2 ≥ 0 𝑠𝑒 5−√57 8 ≤ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≤ √57+5 8 5−√57 8 ≅ −0.32 √57+5 8 ≅ 1.57 quindi 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≥ 5−√57 8 0 ≤ 𝑥 ≤ 3.47 𝑒 5.96 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋

In tali intervalli la concavità è verso l’alto, quindi abbiamo due flessi per 𝑥 = 3.47 𝑒 𝑥 = 5.96 con ordinata 4.73

(3)

3/ 4

3)

Si calcoli il valore dell’area di ciascuna delle due parti di piano compresa fra la retta y=2 e la curva stessa. Cerchiamo l’ascissa di C: {𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 5𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2 𝑦 = 2 ⟹ 2𝑠𝑒𝑛 2_{𝑥 − 5𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0 ⟹ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑥 =}5 2 Da 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 troviamo l’ascissa di C: 𝑥 = 𝜋

Le due aree si calcolano mediante i seguenti integrali: 𝑆1 = ∫ [2 − (2𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 5𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2) ]𝑑𝑥 𝜋 0 e 𝑆2 = ∫ [(2𝑠𝑒𝑛 2_{𝑥 − 5𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2) − 2 ]𝑑𝑥} 2𝜋 𝜋

(4)

4/ 4 𝑆₁ = ∫ [−2𝑠𝑒𝑛𝜋 2_{𝑥 + 5𝑠𝑒𝑛𝑥 ] 𝑑𝑥} 0 e 𝑆2 = ∫ [2𝑠𝑒𝑛 2_{𝑥 − 5𝑠𝑒𝑛𝑥 ]𝑑𝑥} 2𝜋 𝜋

Calcoliamo il seguente integrale indefinito:

∫(2𝑠𝑒𝑛2_{𝑥 − 5𝑠𝑒𝑛𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∫(1 − cos (2𝑥) − 5𝑠𝑒𝑛𝑥 ) 𝑑𝑥 = 𝑥 −}1 2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 5𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑘 Quindi: 𝑆₁ = ∫ [−2𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 5𝑠𝑒𝑛𝑥 ] 𝑑𝑥 𝜋 0 = [−𝑥 +1 2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) − 5𝑐𝑜𝑠𝑥]₀ 𝜋 = −𝜋 + 5 − (−5) = = (10 − 𝜋) 𝑢2_{≅ 6.86 𝑢}2 _{= 𝑆} 1 𝑆₂ = ∫ [2𝑠𝑒𝑛2_{𝑥 − 5𝑠𝑒𝑛𝑥 ]𝑑𝑥} 2𝜋 𝜋 = [𝑥 −1 2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 5𝑐𝑜𝑠𝑥]_𝜋 2𝜋 = 2𝜋 + 5 − (𝜋 − 5) = = (𝜋 + 10 ) 𝑢2 ≅ 13.14 𝑢2 = 𝑆2

4)

Tra tutte le primitive della funzione data, si determini quella il cui grafico passa per P(0,6) e si scriva l’equazione della retta ad esso tangente in detto punto.

La generica primitiva della funzione data è:

𝐹(𝑥) = ∫(2𝑠𝑒𝑛2_{𝑥 − 5𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = ∫(1 − cos(2𝑥) − 5𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2) 𝑑𝑥 =}

= 3𝑥 −1

2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 5𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑘.

Imponendo il passaggio per P(0,6) otteniamo:

6 = 5 + 𝑘 ⟹ 𝑘 = 1 . Quindi la primitiva passante per P ha equazione:

𝐹(𝑥) = 3𝑥 −1

2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 5𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 La tangente in P ha equazione:

𝑦 − 6 = 𝐹′(0)(𝑥 − 0) ⟹ 𝑦 − 6 = 2𝑥 ⟹ 𝑦 = 2𝑥 + 6

(notiamo che 𝐹′_{(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛}2_{𝑥 − 5𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2 ).}