ESERCITAZIONE 2
Esercizio 1. Considera due insiemi non vuoti 𝐴 e 𝐵, e indica con 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵. Determina i seguenti insiemi a) (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶;
b) [(𝐵 ∩ 𝐶) ∪ ∅] ∩ (𝐶 ∩ 𝐴);
c) [(𝐵 ∩ 𝐶) ∪ (𝐴 ∩ ∅)] ∪ [(𝐵 ∩ ∅) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)].
Esercizio 2 (Matematica e Fisica). Su una pallina di massa 𝑚 = 50𝑔, inizialmente ferma nel punto 𝑥 = 0, agiscono (nella stessa direzione dell’asse orizzontale sulla quale è libera di muoversi senza attrito) due forze, dipendenti linearmente dallo spazio percorso, 𝐹 (𝑥) = e 𝐹 (𝑥) =
.
a) Supponendo che le forze siano applicate nello stesso verso dell’asse orizzontale, calcola in quale punto dell’asse la pallina ha un’accelerazione 𝑎 = 5𝑚/𝑠 .
b) Supponendo ora che la seconda forza sia applicata nello stesso verso dell’asse orizzontale e la prima nel verso opposto, calcola in quale punto dell’asse la pallina acquista un’accelerazione 𝑎 = 1,5𝑚/𝑠 . Esercizio 3. Al variare del parametro 𝑘 ∈ ℝ considera l’equazione
𝑘 𝑥 − 𝑘(𝑥 + 1) = −1. a) Discuti, al variare di 𝑘, la risolubilità dell’equazione.
b) Calcola per quali valori di 𝑘 l’equazione ha come soluzione 𝑥 = 1.
c) Calcola per quali valori di 𝑘 l’equazione ammette una soluzione negativa. Esercizio 4. Sia 𝑓(𝑥) la funzione definita da 𝑓(𝑥) =
.
a) Determinane il dominio e tracciane un grafico in un sistema di riferimento cartesiano 𝑂𝑥𝑦. Considera ora la funzione 𝑦 = 𝑔(𝑥) =
.
b) Che tipo di proporzionalità lega le variabili 𝑥 e 𝑦? Scrivi alcuni esempi (fisici o matematici) di grandezze legate da questo tipo di proporzionalità.
c) Traccia, nello stesso sistema di riferimento utilizzato nel punto a), un grafico approssimativo 𝑔. d) Determina algebricamente (e poi geometricamente, indicandola sul sistema) la soluzione della
disequazione 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥).
Esercizio 5. Considera un trapezio isoscele di base maggiore 𝐴𝐵, base minore 𝐷𝐶 e lati obliqui 𝐷𝐴 e 𝐶𝐵. a) Scrivi la definizione formale di questo quadrilatero e, senza dimostrarle, le proprietà fondamentali
delle diagonali indicando con 𝑂 il loro punto di intersezione.
b) Dimostra che le diagonali scompongono il trapezio in quattro triangoli a due a due congruenti. Traccia la retta parallela ad 𝐴𝐵 che passa da 𝑂 e indica con 𝐸 ed 𝐹, rispettivamente, i punti di intersezione della retta con 𝐷𝐴 e 𝐶𝐵.
c) Spiega, argomentando la tua risposta, perché è possibile affermare che il quadrilatero 𝐷𝐸𝐹𝐶 è un trapezio isoscele.
⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝑥(𝑥 + 2) 6𝑥 − 3 + (𝑥 + 1) 5 − 10𝑥 ≤ − 2(1 − 𝑥)(𝑥 + 1) 30𝑥 − 15 𝑥(𝑥 − 2) < (𝑥 − 1) + 𝑥 𝑥 − 𝑥 − 6 𝑥 − 3𝑥 + 2> 0
QUESTIONARIO
QUESITO 1. Stabilisci se i grafici seguenti possono essere quelli di una funzione e, in caso affermativo, determinane dominio e immagine.
QUESITO 2. Di due numeri interi 𝑛, 𝑚 (diversi tra loro) si sa che 𝑛 − 𝑚 è pari.
a) È sempre possibile affermare che 𝑛 − 𝑚 è pari? Argomenta e giustifica la tua risposta. b) È sempre possibile affermare che 𝑛 − 𝑚 è pari? Argomenta e giustifica la tua risposta. c) È sempre possibile affermare che 𝑛 + 𝑚 è pari? Argomenta e giustifica la tua risposta. QUESITO 3. Associa a ciascuna disequazione la relativa soluzione
(𝑥 + 2) ≥ 0 (𝑥 + 2) > 0 (𝑥 + 2) ≤ 0 (𝑥 + 2) < 0 (𝑥 + 2) ≥ 0
A) ∀𝑥 ∈ ℝ B) 𝑥 ≠ −2 C) 𝑥 < −2 D) 𝑥 ≥ −2 E) 𝑥 = −2 QUESITO 4. Calcola il MCD e il mcm dei seguenti polinomi
2𝑥 + 2𝑥𝑦 − 12𝑦 𝑥 − 4𝑥 𝑦 + 4𝑥𝑦 𝑥 𝑦 + 9𝑥 𝑦 + 27𝑥𝑦 + 27𝑦
QUESITO 5. Gli studenti iscritti al primo anno di una facoltà universitaria che prendono appunti direttamente in formato digitale sono 224. Tra questi, 123 hanno dichiarato di usare il computer portatile, e 149 di usare un tablet. Calcola, avvalendoti del linguaggio insiemistico, quanti sono gli studenti che usano sia il tablet e che il computer portatile.
QUESITO 6. Calcola
1 − 0, 5
1 + 0, 1 − 0,36
QUESITO 7. (Esame di maturità scientifica 2019) Considera l’equazione 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + ⋯ + 𝑥 + 𝑥 = 0 a) Verifica che 𝑥 = 0 è soluzione di tale equazione.
b) Dimostra che 𝑥 = 0 è l’unica soluzione di tale equazione.
QUESITO 8. A un concorso, 200 candidati hanno dovuto rispondere a 50 quesiti. Le risposte esatte hanno avuto la seguente distribuzione.
Rispose esatte 0 ≤ 𝑟 < 10 10 ≤ 𝑟 < 20 20 ≤ 𝑟 < 30 30 ≤ 𝑟 < 40 40 ≤ 𝑟 ≤ 50
N. candidati 8 25 34 95 38
