Prove di esame del Corso di Analisi Matematica 2 a.a. 2012/2017

(1)

Analisi 2 Polo di Savona

Analisi Matematica 2

Prove d’Esame

A.A. 2012/2018

(2)

Analisi 2 Polo di Savona Prima Prova parziale 23/11/2011

Prima Prova parziale 23/11/2011

Si consideri la funzione

f (x, y) =

x − y3 |x| ≤ |y3_| 0 altrove

<A> Determinare il campo di definizione di f e l’insieme su cui f `e continua.

Determinare se f `e differenziabile in (1, 1) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangente al suo grafico in (1, 1).

<C> Determinare se f `e differenziabile in (0, 1) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangente al suo grafico in (0, 1).

<D> Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0).

<E> Determinare massimi e minimi assoluti di f su Q = [0, 1] × [0, 1]. <F> Calcolare R_Qf (x, y)dxdy

(3)

Analisi 2 Polo di Savona Seconda Prova parziale 17/12/2011

Seconda Prova parziale 17/12/2011

Si consideri

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ 1 − y , z ≤ 2 − y , x ≥ 1 , x ≤ 2 , y ≥ 0 , y ≤ 1}

<A> Calcolare il volume di V

Si considerino due variabili aleatorie indipendenti: ξ con distribuzione triangolare che restituisce numeri in [0, 2] ed ha moda 1/3 ed η uniforme su [1, 3]

Determinare la PDF di ξ , η e ξ + η <C> Calcolare media e varianza di ξ , η e ξ + η

(4)

Analisi 2 Polo di Savona Esame Gennaio 08/01/2013

Esame Gennaio 08/01/2013

Si consideri una linea di trasmissione dati su cui si verificano 5 errori di trasmissione al minuto. <A> Calcolare la probabilit`a che in un minuto si registrino 3 errori di trasmissione.

Calcolare la probabilit`a che in un mezz’ora si registrino 45 errori di trasmissione.

<C> Calcolare la probabilità che il primo errore a partire da un certo istante avvenga dopo un minuto. <D> Stimare n 6= 3 con la proprietà che: la probabilità che in un minuto si verifichino n errori è uguale alla

probabilit`a che in un minuto si verifichino 3 errori.

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f (x, y, z) = xy y − x2

<E> Disegnare le curve di livello di f <F> Studiare la continuit`a di f nell’origine

<G> Calcolare le derivate direzionali di f nell’origine. <H> Stabilire se f `e differenziabile nell’origine

(5)

Esame Gennaio 29/01/2013

Si consideri la funzione f (x, y, z) = 1 x2+ y2+ z2≥ 1 x2+ y2+ 1 x2+ y2+ z2< 1

<A> Determinare dove f `e definita e dove f `e continua. Calcolare le derivate parziali di f nel punto P = (0, 0, 1)

<C> Determinare, se esistono, massimi e minimi assoluti di f sul suo campo di definizione. <D> CalcolareR

V f (x, y, z)dxdydz essendo V la parte del cubo con due vertici coincidenti con i punti (0, 0, 0) e (1, 1, 1) esterna alla sfera di centro l’origine e raggio 1 .

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Un apparato, dopo la produzione, viene sottoposto a due controlli che indichiamo con I ed II per verificarne il funzionamento.

Nel caso in cui un apparato sia funzionante, il primo test rileva che e’ funzionante nel 99% dei casi mentre nel caso in cui un apparato sia difettoso (non funzionante), il primo test rileva che e’ difettoso nel 70% dei casi.

Nel caso in cui un apparato sia funzionante, il secondo test rileva che e’ funzionante nel 98% dei casi mentre nel caso in cui un apparato sia difettoso (non funzionante), il secondo test rileva che e’ difettoso nel 90% dei casi.

<E> Calcolare la probabilita’ che entrambi i test siano superati nel caso di un apparato funzionante <F> Calcolare la probabilita’ che entrambi i test siano superati nel caso di un apparato difettoso

Determinare condizioni aggiuntive che consentano di rispondere alle seguenti domande e rispondere. <G> Calcolare la probabilita’ che un apparato sia funzionante nel caso siano superati entrambi i test <H> Calcolare la probabilita’ che un apparato sia funzionante nel caso non siano superati entrambi i test

(6)

Analisi 2 Polo di Savona Esame Febbraio 19/02/2013

Esame Febbraio 19/02/2013

f (x, y) = min{(y − x)(y − x3), 0}

<A> Studiare continuità e derivabilità di f Studiare la differenziabilità di f

<C> calcolare massimi e minimi assoluti e relativi di f . <D> calcolareR_[0,1]×[0,1]f (x, y)dxdy.

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Si consideri la variabile aleatoria x che restituisce il punteggio ottenuto lanciando un dado a forma di tetraedro (4 facce) e la variabile aleatoria y che restituisce il punteggio ottenuto lanciando un dado a forma di esaedro (6 facce).

<E> Determinare la PDF di x e rappresentarla graficamente. <F> Determinare la PDF di y e rappresentarla graficamente. <G> Determinare la PDF di x + y e rappresentarla graficamente. <H> Determinare media varianza e moda di x + y.

(7)

Analisi 2 Polo di Savona Esame Giugno 11/06/2013

Esame Giugno 11/06/2013

Si consideri la funzione f (x, y) =    (x − 2)(y − 3) (x − 2)2_{+ (y − 3)}2 (x, y) 6= (2, 3) π (x, y) = (2, 3)

<A> Studiare continuità e derivabilità di f Studiare la differenziabilità di f

<C> calcolare massimi e minimi assoluti e relativi di f . <D> calcolareR

[0,1]×[0,1]f (x, y)dxdy.

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri la variabile aleatoria x che ha distribuzione triangolare nulla fuori dell’intervallo [2, 5] di moda 3

<E> Determinare la PDF di x e rappresentarla graficamente. <F> Calcolare media e varianza di x.

<G> Determinare la PDF di x2_. <H> Determinare la moda di x2_.

(8)

Esame Giugno 25/06/2013

f (x, y) = xy(x2+ y2)

<A> Calcolare massimi e minimi assoluti e relativi di f .

Calcolare massimi e minimi assoluti e relativi di f sul quadrato Q avente vertici in (0, 0). ed (1, 1)

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Sia B una variabile aleatoria discreta con densit`a binomiale di media 30 relativa ad N = 100 prove bernoulliane

<C> Determinare n < N tale che la probabilit`a che (B > n) sia pi`u piccola di 0.5 Sia ora G una variabile aleatoria geometrica con la stessa media di B

(9)

Analisi 2 Polo di Savona Esame Luglio 09/07/2013

Esame Luglio 09/07/2013

f (x, y) = xy + x2+ y2

<A> Calcolare massimi e minimi assoluti e relativi di f .

Calcolare massimi e minimi assoluti e relativi di f sulla parte del quadrato Q avente vertici in (0, 0) ed (2, 2) esterna al cerchio di centro l’origine e raggio 1.

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Sia T una variabile aleatoria con densit`a di probabilit`a (PDF) triangolare, distribuita su [0, 2] e di media 4/3

<C> Determinare la PDF di T

<D> Determinare la moda e la mediana di T <E> Determinare la PDF di 1/T

(10)

Analisi 2 Polo di Savona Esame Settembre 17/09/2013

Esame Settembre 17/09/2013

Si consideri la funzione f (x, y) = x y ≥√3_x y3 y <√3_x

<A> Studiare la continuit`a di f .

Determinare l’insieme in cui f `e parzialmente derivabile. <C> Determinare le derivate direzionali di f nell’origine.

<D> Calcolare massimi e minimi assoluti e relativi di f sul cerchio di centro l’origine e raggio 1.

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Un centro di soccorso stradale riceve mediamente 12 richieste di intervento in un giorno. <E> Calcolare la probabilit`a che riceva in un’ora al pi´u 2 richieste.

<F> Calcolare la probabilit`a che riceva in un’ora pervengano pi`u di 3 richieste.

(11)

Prima Prova parziale 04/11/2013

f (x, y) = |(y − sin(x))(y − cos(x))|

Determinare se f `e differenziabile in (1, 1) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangente al suo grafico in (1, 1).

<C> Determinare se f `e differenziabile in (π/4,√2/2) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangente al suo grafico in (π/4,√2/2).

<D> Calcolare le derivate direzionali di f in (π/4,√2/2).

<E> Determinare massimi e minimi assoluti di f su Q = {(x, y) : x ∈ [0, π], y ∈ [0, sin(x)]}. <F> Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (1, 1).

(12)

Seconda Prova parziale 01/12/2013

<A> Determinare il punto dell’iperbole

x2− y2_{= 1} avente minima distanza dal punto (0, 1)

Calcolare il volume del solido definito da

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 1

2(x + 1) , z ≥ p

(13)

Seconda Prova parziale 01/12/2013

<A> Determinare il punto dell’iperbole

x2− y2_{= 1} avente minima distanza dal punto (0, 1)

Calcolare il volume del solido definito da

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 1

2(x + 1) , z ≥ p

x2_{+ y}2_}

(14)

Analisi 2 Polo di Savona Terza Prova parziale 07/01/2014

Terza Prova parziale 07/01/2014

Si consideri la funzione f (x) =    a x4 x > 1 bx + c x ∈ [0, 1] 0 altrove

<A> Determinare a, b, c in modo che f sia la PDF di una variabile aleatoria ξ Determinare a, b, c in modo che la media di ξ sia1

<C> Determinare a, b, c in modo che la varianza di ξ sia 1 <D> Calcolare P (4 ≤ ξ ≤ 5)

(15)

Esame Gennaio 08/01/2014

Si consideri

V = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ min{1 −px2_{+ y}2_{, 1 −}p

(x − 1)2_{+ y}2_}

<A> Calcolare il volume di V .

Calcolare massimi e minimi assoluti e relativi di f (x, y, z) = x su V .

Due tiratori A e B sparano ad un bersaglio ed hanno, rispettivamente probabilit`a 1/4 ed 1/8 di colpire nel segno.

<C> Calcolare quanti tiri occorrono ad A per essere certo di colpire il bersaglio

<D> Calcolare quanti tiri occorrono ad B perch`e la probabilit`a di aver colpito il bersaglio almeno una volta sia superiore al 50%

<E> Calcolare n in modo che la probabilit`a che B colpisca il bersaglio in n + 10 tiri sia superiore alla probabilit`a che A colpisca il bersaglio in n tiri.

(16)

Esame Febbraio 18/02/2014

Si consideri f (x, y) = y2− x3_{+ x} e l’insieme G = {(x, y) ∈ R2 : f (x, y) = 0} <A> Disegnare, nel piano D.

Studiare l’esplicitabilit`a di f (x, y) = 0 rispetto ad y <C> Studiare l’esplicitabilit`a di f (x, y) = 0 rispetto ad x

Sia y = φ(x) la funzione che esplicita f (x, y) = 0 rispetto ad x in un intorno di (2,√2). <D> Calcolare φ0(x)

<E> Calcolare φ00(x)

Sia ξ una variabile aleatoria discreta con densità di probabilità geometrica associata ad una prova Bernoulliana con probabilità di successo p.

<F> Determinare l’espressione della funzione densità di probabilità (PDF) e della funzione densità di prob-abilità cumulativa (CDF) di ξ.

<G> Calcolare media e varianza di ξ

<H> Calcolare la probabilit`a di registrare almeno un successo al pi`u in 10 tentativi

(17)

Esame Giugno 10/06/2014

Si consideri l’insieme

A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2≤ z ≤ |x| + |y|}

<A> Disegnare la proiezione di A sul piano (x, y)

Calcolare il volume di A

<C> Determinare la minima e la massima distanza di un punto di A dall’origine

Un pezzo deve essere sottoposto a 3 successive lavorazioni L1, L2, L3 la cui durata ´e , rispettivamente compresa tra 1 e 2, 1 e 3 e 2 e 4 ed `e distribuita uniformemente.

<D> Calcolare la media e la varianza del tempo totale di lavorazione.

<E> Determinate la distribuzione di probabilit`a della variabile aleatoria che rappresenta la somma dei primi due tempi di lavorazione .

<F> Determinate la distribuzione di probabilit`a della variabile aleatoria che rappresenta il tempo totale di lavorazione.

(18)

Esame Giugno 24/06/2014

f (x, y) = E(arctan(y/x))

<A> Determinare il campo di definizione di f e rappresentarne gli insiemi di livello

Studiare continuit`a e derivabilit`a di f

<C> Studiare l’esistenza delle derivate direzionali di f nel punto (1, tan(1)), calcolandole ove esistano. Si consideri la funzione

f (x, y) = xy(x − y)(x + y)

<D> Determinare eventuali punti di minimo e di massimo relativi ed assoluti di f su R2

<E> Determinare eventuali punti di minimo e di massimo relativi ed assoluti di f sul cerchio di centro l’origine e raggio 1

Un tiratore spara a due distinti bersagli con probabilit`a p di colpire il primo e probabilit`a q di colpire il secondo.

<F> Per p = 1/3, calcolare la probabilit`a che il primo bersaglio sia colpito in 3 colpi

(19)

Esame Luglio 08/07/2014

Sia

V = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ 1 −px2_{+ y}2 _{, x}2_{+ y}2_{− x ≤ 0}}

<A> Calcolare il volume di V

Determinare massimi e minimi assoluti di f (x, y, z) = x2+ y2+ z2 sull’insieme D = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ 1 , x2+ y2− x ≤ 0}

Un tiratore dispone di due armi con cui spara ad un bersaglio.

Utilizzando la prima arma colpisce il bersaglio con probabilit`a p = 1/2 mentre utilizzando la seconda arma colpisce il bersaglio con probabilit`a q = 2/3

<C> Il tiratore sceglie a caso tra le due armi e colpisce il bersaglio al decimo colpo. Calcolare la probabilit`a che il tiratore abbia scelto la prima o la seconda arma.

<D> Il tiratore sceglie a caso tra le due armi e colpisce il bersaglio al k−esimo colpo. Calcolare la probabilit`a che il tiratore abbia scelto la prima o la seconda arma.

<E> Il tiratore sceglie un’arma a caso e spara al bersaglio. Calcolare la probabilit`a che il bersaglio sia colpito in al pi`u tre colpi.

<F> Il tiratore sceglie un’arma a caso e spara al bersaglio. Calcolare la probabilit`a che il bersaglio sia colpito in pi`u tre colpi.

(20)

Esame Settembre 16/09/2014

Sia f (x, y) = e2x−y x ∈ [0, 1], , x ≤ y ≤ x + 2 0 altrove <A> Calcolare Z R2 f (x, y)dxdy

Determinare massimi e minimi assoluti di f <C> Disegnare le curve di livello di f

<D> Calcolare le derivate direzionali di f nell’origine Siano f (t) = αe−t t ∈ [0, 2] 0 altrove g(t) = βet t ∈ [0, 1] 0 altrove

<E> Determinare α in modo che f sia la PDF di una variabile aleatoria ξ <F> Determinare β in modo che g sia la PDF di una variabile aleatoria η <G> Calcolare P (η > 1/2)

<H> Determinare la PDF di ξ + η Calcolare P (ξ + η > 1)

(21)

Prima Prova parziale 03/11/2014

f (x, y) =

x2+ y2 |x| + |y| ≤ 1 1 altrove

Determinare se f `e differenziabile in (1/2, 1/3) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangente al suo grafico in (1/2, 1/3).

<C> Determinare se f `e differenziabile in (1, 0) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangente al suo grafico in (1, 0).

<D> Calcolare le derivate direzionali di f in (1, 0).

<E> Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (1, 0). <F> Determinare massimi e minimi assoluti di f su R2.

(22)

Seconda Prova parziale 12/12/2014

D = {(x, z) ∈ R2 : x2+ z2≤ 1 , x2_{+ z}2_{− 2x ≤ 0}}

<A> Disegnare D ed il trasformato di D mediante il cambio di variabili x = ρ cos θ z = ρ sin θ Calcolare l’aerea di D. <C> Calcolare Z D xdxdz

Si consideri il volume V generato dalla rotazione di D attorno all’asse z <D> Calcolare il volume di V .

(23)

Terza Prova parziale 08/01/2015

Sia ξ una variabiile aleatoria binomiale relativa a n ripetizioni di una prova bernoulliana con probabilit`a di successo p e sia η una variabiile aleatoria binomiale relativa a m ripetizioni di una prova bernoulliana con probabilit`a di successo q

<A> Impostare il calcolo per determinare la PDF di ξ e di η Tenendo conto dell’identit`a di Vandermonde, che afferma che

n + m k = k X j=0 n j _m k − j Determinare, per p = q = 1/2, la PDF di ξ + η ed interpretare il risultato.

Si considerino tre scatole in cui sono contenuti dadi di colore diverso nelle quantit`a che seguono: - I scatola : 8 dadi Neri, 5 dadi Bianchi, 7 dadi Gialli

- II scatola : 13 dadi Neri, 7 dadi Bianchi, - III scatola : 5 dadi Neri, 10 dadi Bianchi;

<C> Si sceglie una scatola e si estrae un dado Bianco; calcolare la probabilit`a che sia stata scelta la scatola I, II, III

<D> Si sceglie una scatola e si estrae un dado Nero; calcolare la probabilit`a che sia stata scelta la scatola I, II, III

<E> Si sceglie una scatola e si estrae un dado Giallo; calcolare la probabilit`a che sia stata scelta la scatola I, II, III

(24)

Esame Gennaio 13/01/2015

Si consideri la funzione f (x, y) = y − x y ≥ x2 0 altrove <A> Studiare campo di definizione e continuit`a di f

Studiare derivabilit`a e differenziabilit`a di f <C> Calcolare le derivate direzionali di f in P0= (0, 1) <D> Calcolare le derivate direzionali di f in P0= (1, 1)

Sia ancora f (x, y) = y − x y ≥ x3 0 altrove e D = {(x, y) ∈ R2 : |x| + |y| ≤ 1}

<E> Determinare, se esistono, massimi e minimi assoluti di f su D <F> Calcolare

Z

D

f (x, y)dxdy

Si lanciano due monete per 100 volte e si vince quando per entrambe le monete esce testa. <G> Calcolare la probabilit`a di vincere 50 volte.

<H> Calcolare la probabilità di vincere almeno 50 volte. Calcolare la probabilità di vincere al più 50 volte.

(25)

Esame Gennaio 27/01/2015

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y ≤ z ≤ 1 − x2− y2}

<A> Disegnare le proiezioni di V sui piani coordinati

Calcolare il volume di V

(26)

Analisi 2 Polo di Savona Esame Gennaio 27/01/2015 Sia

S = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z = 1 − x2− y2}

<C> Determinare la minima e la massima distanza di S dall’origine.

(27)

Esame Febbraio 17/02/2015

f (x, y) = 2 ln(x2+ y2) − sin(xy)

<A> Studiare continuit`a e differenziabilit`a di f .

Restringendosi al primo quadrante, studiare il segno di f sulle circonferenze di centro l’origine e raggi 1 e√e (l’iperbole riportata in figura ha equazione xy = π/2 )

<C> Calcolare la derivata rispetto a ρ e rispetto a θ di

ϕ(ρ, θ) = f (ρ cos(θ), ρ sin(θ))

<D> Studiare il segno di _∂ρ∂ ϕ(ρ, θ) e _∂θ∂ ϕ(ρ, θ) nella parte del cerchio x2_{+ y}2 _{≤ e che si trova nel primo} quadrante.

(28)

<E> Usando i risultati ottenuti dimostrare che per ogni θ ∈ [0.π/2] la retta di equazioni parametriche x = ρ cos(θ) , y = ρ sin(θ) incontra una ed una sola volta l’insieme

{(x, y) ∈ R2 + : x

2_{+ y}2_{≤ e , f (x, y) = 0}} , e che pertanto e’ possibile definire una funzione ρ(θ) che lo rappresenta.

(29)

Analisi 2 Polo di Savona Esame Febbraio 17/02/2015 <F> Studiare il segno della funzione ρ(θ) e disegnare l’insieme {(x, y) ∈ R2+ : x2+ y2≤ e , f (x, y) = 0}

<G> Determinare la PDF del quadrato della variabile aleatoria la cui PDF `e:

ϕ(t) =

(_1/2a _{t ∈ [0, a]} 1/2b t ∈ [−b, 0) 0 altrove

(30)

Esame Giugno 16/06/2015

Si consideri la funzione f (x, y) = arctan y x e l’insieme D = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2− 2x ≤ 0 , x2_{+ y}2_{− 2y ≤ 0}} <A> Determinare massimi e minimi assoluti, estremo superiore ed inferiore di f su D Disegnare nel piano (ρ, θ) il trasformato di D

<C> Calcolare

Z

D

f (x, y)dxdy Si considerino le variabili aleatorie ξ e η definite da

   P (ξ = 1) = 1/2 P (ξ = 2) = 1/3 P (ξ = 3) = 1/6 ,      P (η = 1) = 1/4 P (η = 2) = 1/2 P (η = 3) = 1/8 P (η = 5) = 1/8 <D> Determinare la PDF della variabile aleatoria ξ + η:

Si sceglie una scatola rossa ed una scatola blu tra 6 scatole rosse e 8 scatole blu.

3 scatole blu contengono 1 gettone, 2 scatole blu contengono 2 gettoni, 1 scatola blu contiene 3 gettoni. 2 scatole rosse contengono 1 gettone, 4 scatole rosse contengono 2 gettoni, 1 scatola rossa contiene 3 gettoni, 1 scatola rossa contiene 5 gettoni.

(31)

Esame Giugno 30/06/2015

D = {(x, y, z) ∈ R3 : px2_{+ y}2_{≤ z ≤ 4 −}p

x2_{+ y}2_{≤ 2 , x}2_{+ y}2_{− 2y ≤ 0}}

<A> Calcolare il volume di D

Calcolare massimi e minimi assoluti di f (x, y, z) = z su D <C> Calcolare le derivate direzionali di f nel punto P0= (0, 0, 4)

Si considerino due tiratori T1 e T2 che sparano ad un bersaglio un colpo ciascuno ogni volta. La probabilit`a che un colpo del primo tiratore vada a segno `e 1/2 mentre

La probabilit`a che un colpo del secondo tiratore vada a segno `e 2/3

<D> Determinare la probabilità che il bersaglio sia colpito dall’uno o dall’altro tiratore <E> Determinare la probabilità che il bersaglio sia colpito al più in 3 colpi

<F> Determinare quanti colpi occorre prevedere di sparare per essere certi, al 99%, che il bersaglio venga colpito.

(32)

Esame Luglio 14/07/2015

Si consideri la funzione f (x) =p|y − 2x + 1|] e l’insieme D = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2− 2x ≤ 0} <A> Disegnare D le linee di livello di f

Calcolare massimi e minimi assoluti di f su D

<C> Calcolare le derivate direzionali di f nel punto (1/2, 0) <D> Calcolare

Z

D

f (x, y)dxdy

Si consideri un distributore automatico di bibite contenente bottiglie di Aranciata (A) , Limonata (L) e Acqua Tonica (T ) e si supponga che su 100 acquirenti i 50 scelgano T , 20 scelgano L ed i restanti scelgano A.

Si supponga inoltre che in un giorno ci si attende che 6000 acquirenti accedano al distributore.

<E> Determinare quante bottiglie A occorre mettere nel distributore affinch`e la probabilit`a che un acquirente non possa essere soddisfatto sia inferiore a 0.1

<F> Determinare quante bottiglie L occorre mettere nel distributore affinch`e la probabilit`a che un acquirente non possa essere soddisfatto sia inferiore a 0.1

(33)

Analisi 2 Polo di Savona Settembre 15/09/2015

Settembre 15/09/2015

D = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ 4 −px2_{+ y}2_{, x ∈ [0, 1]}}

<A> Calcolare il volume di D Calcolare il baricentro di D

<C> Calcolare le derivate direzionali di f (x, y, z) = max{4 −px2_{+ y}2_{− z, 0} nel punto (0, 0, 4)} <D> Calcolare, dove ´e definita, la forma quadratica hessiana dif (x, y, z) = 4 −px2_{+ y}2_{− z}

Si consideri una variabile aleatoria ξ con PDF uniforme su [2, 4] <E> Determinare la PDF di η =√ξ

<F> Calcolare media e varianza di η

(34)

Prima Prova parziale 03/11/2015

f (x, y) = |1 − x2− y2_|

<A> -[3] Determinare il campo di definizione di f e l’insieme su cui f `e continua.

-[3] Determinare se f `e differenziabile in (0, 1/2) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangente al suo grafico in (0, 1/2).

<C> - [4] Determinare se f `e differenziabile in (1, 0) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangente al suo grafico in (1, 0).

<D> -[6]Calcolare le derivate direzionali di f in (1, 0).

<E> - [5]Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (1, 0). <F> -[4] Determinare massimi e minimi assoluti di f su R2_.

(35)

Seconda Prova parziale 10/12/2015

Sia

A = {(x, y, z) ∈ R3 : 2 − 2x ≤ z ≤ 2 − x , z ≤ 2 − (x2+ y2)}

<A> -[15] Determinare il volume di A Sia B = {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2≤ 1 , 2 − 2x ≤ z ≤ 2 − x} -[9] Determinare il volume di B Sia C = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2− x ≥ 0 , : x2_{+ y}2_{− 2x ≤ 0}} <C> -[6] Calcolare Z C 2x − x2− y2_dxdy 35- PrAmT.TEX— [PrAmT16.TEX]

(36)

Terza Prova parziale 08/01/2016

Sia ξ una variabile aleatoria esponenziale di media λ ed η una variabile aleatoria esponenziale di media µ

<A> -[10] Determinare la PDF della variabile aleatoria x = ξ + η -[8] Determinare la media e la varianza di x

Si supponga di dover raggiungere la localit`a B partendo da A e passando per la localit`a C utilizzando un mezzo di trasporto che collega A con C che prevede 6 partenze da A ogni ora ed un secondo mezzo che collega C con B e prevede 3 partenze ogni ora.

<C> -[2] Calcolare quanto tempo in media si dovr`a aspettare il primo mezzo. <D> -[2] Calcolare quanto tempo in media si dovr`a aspettare il secondo mezzo.

<E> -[4] Calcolare quanto tempo in media si dovr`a aspettare complessivamente. <F> -[4] Calcolare la probabilit`a che l’attesa superi complessivamente 30 minuti.

(37)

Esame Gennaio 12/01/2016

f (x, y) = ln(x + y) x <A> Disegnare le curve di livello di f

Studiare il limite di f per (x, y) che tende a (0, 0). <C> Calcolare le derivate direzionali di f in P0= (1, 1) <D> Calcolare massimi e minimi assoluti di f

<E> Calcolare massimi e minimi assoluti di f in A = {(x, y) ∈ R2: 1 ≤ x ≤ e, 1 ≤ x + y ≤ e}

Si considerino la variabile aleatoria ξ con PDF triangolare su [0, 1] e moda 1 e la variabile aleatoria η con PDF triangolare su [0, 1] e moda 0

<F> Determinare la PDF di x = ξ + η <G> Calcolare media e varianza di x = ξ + η

Per completare un certo processo ´e necessario completare due distinte operazioni la cui durata ´e una variabile aleatoria con PDF triangolare triangolare su [01] e moda 1 (in ore) per la prima operazione e 0 per la seconda operazione

<H> Calcolare il tempo medio di completamento del processo

Calcolare la probabilit`a che il processo sia completato in meno di 30 minuti l

(38)

Esame Gennaio 26/01/2016

Si consideri

A = {(x, y, z) ∈ R3 : (x − 1)2+ y2≤ z ≤ 1 − x2_{− y}2_}

<A> Disegnare la proiezione di A sul piano z = 0

Calcolare il volume di A Sia

f (x, y, z) =x (x, y, z) ∈ A 0 (x, y, z) /∈ A

<C> Calcolare massimi e minimi assoluti di f su A <D> Calcolare le derivate direzionali di f in P0= (0, 0, 1)

Si considerino due variabili aleatorie indipendenti ξ ed η positive. <E> Determinare la PDF di x = ξη

<F> Calcolare la media di x = ξη

La vendita giornaliera di un certo prodotto `e data da una variabile aleatoria triangolare definita su [0, 10] di moda 7 (in pezzi) e il tempo che intercorre tra l’emissione del riordino e l’arrivo della merce e’ dato da una variabile aleatoria triangolare definita su [2, 5] con moda 3 (in giorni).

(39)

Esame Febbraio 16/02/2016

f (x) = ln(x − y) x <A> Disegnare le curve di livello di f

Studiare lim(x,y)→∞f (x, y) <C> Studiare lim(x,y)→(0,0)f (x, y)

Il tempo T impiegato per portare a termine un certo processo e’ stimato mediante una variabile aleatoria con distribuzione triangolare definita su [1, 5] con moda 2 (in giorni).

<D> Calcolare il tempo medio per portare a termine il processo.

<E> Determinare la probabilit`a di portare a termine il processo prima del tempo medio o dopo il tempo medio

Il tempo T impiegato per portare a termine un certo processo e’ condizionato dalla quantit`a di risorse R che viene destinata alla sua esecuzione ed `e noto che:

se R > α il processo verr`a portato a termine prima del tempo medio certamente se R ≤ α il processo verr`a portato a termine dopo il tempo medio certamente

<F> Sapendo che il processo è terminato in metà del tempo medio e che la probabilità che le risorse assegnate siano R > a è del 30% , calcolare la probabilità che siano state assegnate R ≤ a risorse al processo e la probabilità che siano state assegnate R > a risorse al processo.

(40)

Esame Giugno 14/06/2016

Si consideri la funzione f (x, y) =x y 2_{≤ (x(x + 1))}2 y y2> (x(x + 1))2

<A> Rappresentare nel piano le zone in cui f vale x e quelle in cui vale y

Studiare la continuit`a di f nell’origine. <C> Studiare la differenziabilit`a di f nell’origine. <D> Studiare massimi e minimi assoluti di f

<E> CalcolareR

Qf (x, y)dxdy dove Q `e il quadrato [0, 2] × [0, 2]

Per portare a termine la lavorazione di un pezzo `e necessario utilizzare due macchine M1 ed M2 in successione. La macchina Mi si guasta mediamente λi volte in un anno ed in presenza del guasto di una delle due macchine la lavorazione si arresta.

<F> Calcolare la probabilit`a che la lavorazione dei pezzi non si interrompa per almeno un tempo t0. <G> Determinare il tempo medio della prima interruzione.

Si supponga che λ2sia minore di λ1 e che si decida di affiancare ad M2 una macchina N2, con le stesse caratterisfiche, da far intervenire in caso di guasto.

(41)

Esame Giugno 28/06/2016

<A> Determinare i punti di minima e di massima distanza dall’origine dell’ellisse di equazioni x2

a2 + y2 b2 = 1

Determinare i punti di minima e di massima distanza dall’origine dell’ellissoide di equazioni x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1

Il tempo di percorrenza di un certo tratto di autostrada è dato da una variabile aleatoria con PDF triangolare ed è compreso tra 10 e 30 minuti con un tempo di percorrenza medio di 15 minuti nel caso di condizioni atmosferiche favorevoli, mentre è dato da una variabile aleatoria con PDF triangolare ed `

e compreso tra 20 e 45 minuti con un tempo di percorrenza medio di 25 minuti nel caso di condizioni atmosferiche sfavorevoli.

<C> Determinare la PDF della variabile aleatoria che restituisce il tempo di percorrenza in condizioni fa-vorevoli.

<D> Determinare la PDF della variabile aleatoria che restituisce il tempo di percorrenza in condizioni sfa-vorevoli.

<E> Supponendo che la probabilit`a che le condizioni atmosferiche siano favorevoli sia del 60%, determinare la PDF della variabile aleatoria che definisce il tempo di percorrenza.

(42)

Esame Luglio 12/07/2016

Si considerino i piani Π1di equazione z = ax e Π2 di equazione z = (−1/a)x , a > 0, e il cilindro C di equazione x2+ y2− x = 0

<A> Determinare il volume del solido delimitato dai due piani e dal cilindro al variare di a Determinare, al variare di a il massimo ed il minimo del volume trovato al punto precedente.

Si supponga di ripetere una scommessa all’infinito e sia p = 0.1 la propabilità di vincere la scommessa. Si supponga inoltre che il costo della scommessa è 1 e la vincita è V . Si gioca fino a che non si vince una volta.

<C> Determinare la probabilit`a di vincere la prima scommessa al tentativo n.

<D> Determinare la vincita netta ( Vincita - costo delle scommesse fatte) nel caso si vinca al tentativo n <E> Determinare la vincita media e trovare V in modo che la vincita media sia positiva.

(pu`o essere utile tenere conto che P+∞ n=1nq

n−1_{= 1/(1 − q)}2

(43)

Esame Settembre 13/09/2016

f (x, y) = |x − y|(y + x)

<A> Studiare continuit`a e differenziabilit`a di f Calcolare le derivate direzionali di f in (1, 1)

<C> Studiare massimi e minimi di f sulla circonferenza di centro l’origine e raggio 1 <D> Calcolare

Z

C

f (x, y)dxdy dove C `e il cerchio di centro l’origine e raggio 1

Consideriamo due dadi uno bianco ed uno nero e supponiamo che ogni faccia del dado bianco esca con probabilità 1/6 mentre la probabilità di ottenere un pari, lanciando il dado nero è il doppio di quella di ottenere un dispari.

<E> Determinare la probabilit`a di ottenere un pari o un dispari lanciando il dado nero.

<F> Si sceglie un dado (la scelta é equiprobabile) e lo si lancia; calcolare la probabilità che esca 2 <G> Si sceglie un dado (la scelta é equiprobabile) e lo si lancia; calcolare la probabilità che esca 1

<H> Si sceglie un dado (la scelta´e equiprobabile) e lo si lancia ottenendo 6. Calcolare la probabilit`a che si sia scelto il dado nero.

Si sceglie (la scelta´e equiprobabile) un dado e lo si lancia 3 volte ottenendo 6, 5, 4. Calcolare la probabilit`a che si sia scelto il dado nero.

(44)

Prima Prova parziale 10/11/2016

Si consideri la funzione f (x, y) = 2y3+ 6x2y + 3x2− 3y2 e la figura seguente + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − + + + + + + + + + + +++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + − − − − − + + − − − − − + + y = −1/2 y = 3/2 x = −1 x = 1 x2+ y2≤ y y =√3/2

2

in cui `e evidenziato il segno che f assume nei punti delle rette y = −1/2, y = 0, y = 3/2 , x = 1, x = −1 e sulla circonferenza di equazione x2+ y2− y = 0

La parte tratteggiata indica l’insieme in cui fx> 0 mentre la parte colorata indica l’insieme in cui fy < 0 <A> -[15] Disegnare l’insieme dei punti del piano tali che f (x, y) = 0

-[10] Verificare le affermazioni descritte nella figura che sono state usate per disegnare l’insieme dei punti del piano tali che f (x, y) = 0

<C> - [2] Determinare se f `e differenziabile in (1, 0) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangente al suo grafico in (1, 0).

<D> -[1] Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0).

<E> - [7] Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (0, 0).

(45)

Seconda Prova parziale 19/11/2016

y(t) = 2 Z +∞

−∞

e−x2+xtdx

<A> -[4] Calcolare la derivata ˙y(t) di y

-[4] Integrare per parti ˙y ed esprimere ˙y in funzione di y <C> -[4] Determinare y

<D> - [10] Calcolare il volume di

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 2 − (x2+ y2) , z ≥ x , z ≥ y}

<E> - [12] Calcolare il volume di

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 2 − (x2+ y2) ≤ 1 , z ≥ x , z ≥ y} <F> - [8] Calcolare l’area di D = {(x, y) ∈ R2 : ρ ≤ θ , : ρ ≤ π − θ} <G> - [8] Calcolare l’area di D = {(x, y) ∈ R2 : ρ ≤ θ , : ρ ≤ π − θ , ρ ≤ 1} <H> - [8] CalcolareR D 1 (√x2_+y2₎αdxdy dove D = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2≤ 1} - [8] CalcolareR D 1 (√x2_+y2₎αdxdy dove D = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2≥ 1} 45- PrAmT.TEX— [PrAmT17.TEX]

(46)

Terza Prova parziale 10/01/2017

Partendo da A si pu`o arrivare in B utilizzando un mezzo di trasporto.

- la frequenza media delle partenze `e una variabile aleatoria con PDF di Poisson di media 6 partenze all’ora.

- il tempo di percorrenza `e dato da una variabile aleatoria triangolare con moda 30 minuti nulla fuori dell’intervallo [28, 32]

<A> -[4] Calcolare il tempo medio di attesa del mezzo -[4] Calcolare il tempo medio di percorrenza.

<C> -[4] Determinare la PDF della variabile aleatoria T che restituisce il tempo di attesa del mezzo. <D> -[4] Determinare la PDF della variabile aleatoria τ che restituisce il tempo di percorrenza.

<E> -[4] Determinare la media del tempo totale necessario per spostarsi da A a B.. <F> -[4] Determinare la varianza del tempo totale necessario per spostarsi da A a B.. <G> -[4] Determinare la PDF del tempo totale necessario per spostarsi da A a B.

(47)

Esame Gennaio 10/01/2017

Sia f (x, y) =x 2_{+ |x|} _y2_{> |x|} x2+ y2 y2< |x|

<A> -[] Studiare la continuit`di f e prolungarla per continuità ove possibile. -[] Studiare la derivabilità e la differenziabilità di f

<C> -[] Calcolare le derivate direzionali di f nell’origine. <D> -[] Disegnare le curve di Livello di f

Un punto vendita necessita di disporre N pezzi di un articolo al giorno; Il tempo che intercorre tra il momento in cui riordina e l’arrivo dell’articolo `e T giorni.

Pertanto il numero minimo di articoli necessari ad assicurare che il punto vendita non sia sprovvisto `e N T .

Supponendo che N sia una variabile aleatoria triangolare di moda 5 e nulla fuori da [3, 7] e che T sia essa pure una variabile aleatoria triangolare di moda 5 giorni e nulla fuori da [4, 6]

<E> -[] Determinare il valore medio di N T <F> -[] Determinare la varianza di N T <G> -[] Determinare la PDF diN T

<H> -[] Determinare ν in modo che P (N T > ν) < .1 e dare una interpretazione del significato di ν

(48)

Esame Gennaio 24/01/2017

Sia f (x, y) = ( y |y| < e−x2 e−x2 |y| > e−x2

<C> -[] CalcolareR

Df (x, y)dxdy dove D = {(x, y) : |y| ≤ e −x2

} <D> -[] Disegnare le curve di livello di f

Un rettangolo ha i lati b ed h che sono definiti da due variabili aleatorie indipendenti uniformi su [1, 2] e [2, 3], rispettivamente.

Sia A la variabile aleatoria che definisce l’area del rettangolo. <E> -[] Determinare il valore medio di A

<F> -[] Determinare la varianza di A <G> -[] Determinare la PDF diA

(49)

Esame Febbraio 14/02/2017

Sia f (x, y) =x (|y| − x 2_{)(|x| − y}2_{) < 0} y (|y| − x2)(|x| − y2) > 0

<A> -[] Studiare la continuit`di f e prolungarla per continuit`a ove possibile. -[] Studiare le derivate direzionali di f nell’origine.

<C> -[] CalcolareR

Df (x, y)dxdy dove D = {(x, y) :∈ [0, 1] , y ∈ [0, 1]} <D> -[] Disegnare le curve di livello di f

Il raggio ρ di una circonferenza γ `e definito da una variabile aleatoria esponenziale di media 1/2. Sia ` la variabile aleatoria che definisce la lunghezza di γ ed A la variabile aleatoria che definisce l’area del cerchio delimitato da γ.

<E> -[] Determinare la PDF di`

<F> -[] Determinare media e varianza di ` <G> -[] Determinare la PDF di A

<H> -[] Determinare α in modo che P (A < α) < .1 .

(50)

Esame Giugno 13/06/2017

Sia

f (x, y) = y2/2 − y3/3 − x ln |x| − x

<A> -[] Studiare l’esistenza di soluzioni dell’equazione f (x, y) = 0 in un intorno di (1, 0) -[] Disegnare il luogo dei punti del piano tali che f (x, y) = 0 in un intorno di (1, 0)

<C> -[] Determinare massimi e minimi assoluti di f (x, y) = x+y+x2_{sul cubo di spigoli (1, 1, 1) e (−1, −1, −1)} Si consideri una variabile aleatoria triangolare ξ di moda c e non nulla su [a, b] con 0 < a < c -[] Determinare a, b, c in modo che P (ξ > c) < .1

(51)

Esame Giugno 27/06/2017

Sia

f (x, y) = xy

<A> -[] Determinare dove f `e definita e dove `e continua

-[] Studiare la continuità o la prolungabilità per continuità di f nell’origine. <C> -[] Stabilire se f è differenziabile nell’origine

<D> -[] Stabilire se f ammette derivate direzionali nell’origine e in caso affermativo calcolarle. Si considerino due variabili aleatorie indipendenti ξ ed η di densit`a uniforme su [0, 1] <E> -[] Calcolare P (ξ > 1/2, η < 1/2)

<F> -[] Calcolare P (0 < ξ < 1/3, 1/2 < η < 1) <G> -[] Calcolare P (ξ2_{+ η}2_{< 1)}

<H> -[] Calcolare P (ξ2_{+ η}2_<√₂₎

(52)

Esame Luglio 11/07/2017

Sia

f (x, y) = |xy(x2− y2)|

<A> -[] Determinare dove f è definita, dove è continua e dove è derivabile.

-[] Determinare massimi e minimi assoluti di f sul cerchio di centro (0, 0) e raggio 1 <C> -[] Stabilire se f `e differenziabile nell’origine

<D> -[] Stabilire se f ammette derivate direzionali nell’origine e in caso affermativo calcolarle.

Si consideri due variabili aleatorie indipendenti, ξ ed η , di densit`a triangolare su [0, 1] di moda 1 la prima e 0 la seconda

<E> -[] Calcolare P (ξ > 1/2, η < 1/2)

<F> -[] Calcolare P (0 < ξ < 1/3, 1/2 < η < 1) <G> -[] Calcolare P (ξ2_{+ η}2_{< 1)}

(53)

Esame Settembre 12/09/2017

Sia F (x, y, z, u) = x + y + z + u

<A> -[] Determinare. se esiste, il punto x, y, z, u soddisfacente l’uguaglianza f (x, y, z, u) = 0 che ha massima distanza dall’origine.

-[] Determinare. se esiste, il punto x, y, z, u soddisfacente l’uguaglianza f (x, y, z, u) = 0 che ha minima distanza dall’origine.

Si consideri una variabile aleatoria ξ avente densit`a di Poisson di media 10 <C> -[] Determinare la PDF di ξ

<D> -[] Calcolare p10= P (ξ < 10)

<E> -[] Trovare una approssimazione di p10

<F> -[] Stimare l’errore commesso nell’approssimazione del punto precedente

(54)

Prima Prova parziale 10/11/2017

f (x, y) = (x2+ y2) arctan(y/x)

<A> -[4] Determinare dove f `e definita e dove `e continua

-[6] Determinare dove f `e differenziabile

<C> -[4] Stabilire se f è prolungabile per continuità in qualche punto in cui non è definita.

<D> - [6] Stabilire se f `e prolungabile in modo che sia differenziabile nell’origine.

<E> -[3] Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0).

<F> -[3] Determinare la direzione di massima pendenza in (0, 0).

<G> - [2] Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (1, 1)

(55)

Seconda Prova parziale 30/11/2017

f (x, y) = (x2+ y2)2− 4xy2 e l’insieme dei punti

G = {(x, y) : f (x, y) = 0}

<A> -[3] Determinare i punti di G aventi massima ascissa.

-[3] Determinare i punti di G aventi massima ordinata.

<C> -[3] Determinare i punti di G aventi massima distanza dall’origine.

<D> -[2] Verificare che G `e contenuto del semipiano delle ascisse positive ed `e simmetrico rispetto all’asse x.

<E> - [1] Verificare che f (x, 0) ≥ 0 per ogni x reale.

<F> - [1] Verificare che lim y → +∞f (x, 0) = +∞ per ogni x reale.

<G> - [1] Verificare che f (x,√2x) ≤ 0 0 < x < 1 reale.

<H> - [3] Riportare sul grafico i risultati dei precedenti tre punti

x y

1 16/9

- [3] Calcolare fxe fy e indicare sul grafico l’insieme in cui fxQ 0 e fyQ 0

(56)

Analisi 2 Polo di Savona Seconda Prova parziale 30/11/2017 x y 1 16/9 x y 1 16/9 <J> - [10] Disegnare G x y 1 16/9

(57)

Terza Prova parziale 21/12/2017

<A> -[4] Calcolare il volume di

V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2+ y2+ z2≤ 4 , z ≥ 0} -[6] Calcolare il volume di V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2+ y2+ z2≤ 4 , 1 ≤ z ≤√3} <C> -[7] Calcolare il volume di V = {(x, y, z ∈ R3, 1 ≤ x2+ y2+ z2≤ 4 , 1/2 ≤ z ≤ √ 3 2 } <D> -[8] Calcolare il volume di V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2+ y2+ z2≤ 4 , 1/2 ≤ z ≤√3}

<E> -[4] Calcolare il volume di

V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2+ y2+ z2≤ 4 , √ 3 3 x ≤ y ≤ √ 3x , z ≥ 0} <F> -[6] Calcolare il volume di V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2+ y2+ z2≤ 4 , √ 3 3 p x2_{+ y}2_{≤ z ≤}√₃p_x2_{+ y}2_{, z ≥ 0}} <G> -[8] Calcolare il volume di V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2+ y2+ z2≤ 4 , √ 3 3 p x2_{+ y}2_{≤ z ≤}√₃p_x2_{+ y}2 _, √ 3 3 x ≤ y ≤ √ 3x} <H> -[12] Calcolare il volume di V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2+ y2+ z2≤ 4 , √ 3 3 p x2_{+ y}2_{≤ z ≤}√₃p_x2_{+ y}2_{, 1 ≤ z ≤}√_3} 57- PrAmT.TEX— [PrAmT18.TEX]

(58)

Analisi 2 Polo di Savona Quarta Prova parziale 08/01/2018

Quarta Prova parziale 08/01/2018

La taratura di uno strumento richiede un numero n di prove aleatorio distribuito triangolarmente su [1, 5] con moda 4 . Ciascuna prova richiede un tempo di esecuzione t anch’esso aleatorio distribuito triangolarmente su [1, 10] con moda 7

<A> -[5] Determinare media e varianza di n

-[5] Determinare media e varianza di t

<C> -[15] Determinare la distribuzione di Probabilit`a del tempo totale di Taratura T

(59)

Esame Gennaio 09/01/2018

Sia f (x, y) =      |x| + |y| |y| < 1 x4 0 |y| > 1 x4

<C> -[] CalcolareR

R2f (x, y)dxdy <D> -[] Disegnare le curve di livello di f

Un rettangolo ha i lati b ed h che sono definiti da due variabili aleatorie indipendenti uniformi su [1, 2] e [2, 3], rispettivamente.

Sia p la variabile aleatoria che definisce il perimetro del rettangolo. <E> -[] Determinare il valore medio di p

<F> -[] Determinare la varianza di p <G> -[] Determinare la PDF di p

<H> -[] Disegnare il grafico della PDF di p

-[] Determinare α in modo che P (p > α) < .1 .

(60)

Esame Gennaio 23/01/2018

Sia f (x, y) =x (|y| − x 2_{)(|x| − y}2_{) < 0} y (|y| − x2)(|x| − y2) > 0

<A> -[] Studiare la continuit`a di f e prolungarla per continuit`a ove possibile.

-[] Studiare le derivate direzionali di f nell’origine.

<C> -[] CalcolareR_Df (x, y)dxdy dove D = {(x, y) :∈ [0, 1] , y ∈ [0, 1]}

<D> -[] Disegnare le curve di livello di f

Il raggio ρ di una circonferenza γ `e definito da una variabile aleatoria esponenziale di media 1/2. Sia ` la variabile aleatoria che definisce la lunghezza di γ ed A la variabile aleatoria che definisce l’area del cerchio delimitato da γ.

<E> -[] Determinare la PDF di`

<F> -[] Determinare media e varianza di `

(61)

Esame Gennaio 23/01/2018

Sia

f (x, y) = y2− x3

<A> -[] Studiare l’esistenza di soluzioni dell’equazione f (x, y) = 0 in un intorno di (1, ±1) -[] Disegnare il luogo dei punti del piano tali che f (x, y) = 0

<C> -[] Disegnare le curve di livello di f

<D> -[] Determinare massimi e minimi assoluti di f (x, y) sul quadrato di vertici (1, 1) e (0, 0)

Si consideri una variabile aleatoria triangolare ξ la cui densità di probabilità è nulla fuori dell’intervallo [1, 2] e pari a φ(t) = k(x − 1)(x − 2) in [1, 2]

<E> -[] Determinare k .

<F> -[] Determinare la media di ξ. <G> -[] Determinare la varianza di ξ .

<H> -[] Determinare la distribuzione di probabilit`a di ξ2 -[] Calcolare media e varianza di ξ2

(62)

Esame Febbraio 13/02/2018

Sia

f (x, y) = log_x(y)

<A> -[] Determinare dove f `e definita e dove `e continua

-[] Studiare la prolungabilit`a per continuit`a di f nel punto (1, 1)

<C> -[]isegnare le curve di livello di f

x y

<D> -[] Determinare, se esiste, il piano tangente al grafico di f nel punto (e, e)

Si considerino due variabili aleatorie indipendenti ξ ed η di densit`a uniforme su [1, 2] e su [1, 3] rispet-tivamente

<E> -[] Calcolare media e varianza di ξ e di η

<F> -[] Calcolare la probabilit`a che ξ < 4/3 , condizionata al fatto che η < 1.5

<G> -[] Determinare la distribuzione di probabilit`a della variabile aleatoria α che restituisce l’area del ret-tangolo di lati ξ e η

(63)

Esame Giugno 12/06/2018

Sia

f (x, y) = max{(3 +√3)xy,√3y2+√3x2}

<A> -[] Studiare la continuit`a di f e prolungarla per continuit`a ove possibile.

-[] Studiare le derivate direzionali di f nell’origine.

<C> -[] CalcolareR

Df (x, y)dxdy dove D = {(x, y) : x

2_{+ y}2_{= 1}}

<D> -[] Disegnare le curve di livello di f

Una lastra quadrata `e ottenuta da una lastra pi`u grande mediante due tagli ciascuno dei quali determina la lunghezza di ` di ciascun lato.

` `e una variabile aleatoria uniforme di valor medio L ≥ 1 e varianza σ2_{= L}2 _{, con = 1/100} <E> -[] Determinare la PDF di `

<F> -[] Determinare la PDF della variabile aleatoria A che descrive l’area della lastra .

(64)

Esame Giugno 26/06/2018

Sia

A = {(x, y, z) ∈ R3: x2+ y2≤ 1, |z| ≤ x}

<A> -[] Studiare l’esistenza di punti di massima e minima distanza di A dall’origine.

-[] Calcolare il Volume di A

<C> -[] Studiare le derivate direzionali della funzione

F (x, y, z) =x (x, y, z) ∈ A y (x, y, z) /∈ A nel punto (1/2, 1/2, 0)

<D> -[] Studiare le derivate direzionali della funzione

F (x, y, z) =x (x, y, z) ∈ A y (x, y, z) /∈ A nel punto (1, 0, 0)

Due tiratori sparano ad un bersaglio con probabilit`a di colpire il bersaglio p1 e p2, rispettivamente, ad ogni colpo

<E> -[] Determinare la probabilit`a che entrambi colpiscano il bersaglio per la prima volta all’ n−esimo colpo.

<F> -[] Determinare la probabilit`a che nessuno dei due colpisca il bersaglio entro l’ n−esimo colpo.

<G> -[] Determinare la probabilit`a che il bersaglio sia colpito almeno una volta entro l’ n−esimo colpo da almeno uno dei due.

<H> -[] Determinare la probabilit`a che il bersaglio sia colpito almeno una volta entro l’ n−esimo colpo soltanto da uno dei due.

(65)

Esame Luglio 10/07/2018

Sia h ∈ N e

A = {(x, y) ∈ R2: x ≥ 1 , 0 ≤ y ≤ 1/xh}

<A> -[] Studiare l’esistenza e calcolare ove esista Z A xkdxdy al variare di k, h ∈ N. Sia h ∈ N e A = {(x, y) ∈ R2: 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1/xh}

-[] Studiare l’esistenza e calcolare ove esista Z

A xkdxdy

al variare di k, h ∈ N.

Si consideri la variabile aleatoria X che restituisce il prodotto dei punti ottenuti in un lancio di due dadi <C> -[] Determinare la PDF diX

<D> -[] Disegnare l’istogramma che definisce la PDF diX

<E> -[] Calcolare media e varianza di X

<F> -[] Calcolare la probabilit`a che il prodotto dei punti ottenuti in un lancio di due dadi sia 12 e la probabilit`a che il prodotto dei punti ottenuti in un lancio di due dadi sia 12 , condizionato al fatto che la somma dei punti sia dispari.

<G> -[] Calcolare la probabilit`a che la somma dei punti sia dispari sapendo che il prodotto dei punti ottenuti `e 12

(66)

Esame Settembre 11/09/2018

Si consideri una funzione R33 (x, y, z) 7→ f (x, y, z) ∈ R e il cambiamento di coordinate    x(ρ, θ, φ) = ρ cos(θ) y(ρ, θ, φ) = ρ sin(θ) z(ρ, θ, φ) = φ e la funzione R+× [0, 2π] × R 7→ f(x(ρ, θ, φ), (ρ, θ, φ), z(ρ, θ, φ)) = g(ρ, θ, φ) <A> -[] Calcolare _∂x∂ g(ρ, θ, φ) -[] Calcolare _∂x∂22g(ρ, θ, φ) <C> -[] Calcolare ∂2 ∂x2g(ρ, θ, φ) + ∂2 ∂y2g(ρ, θ, φ) + ∂2 ∂z2g(ρ, θ, φ)

Si consideri un gioco in cui la probabilit`a di vittoria `e p

<D> -[] Determinare il minimo numero di tentativi necessari per ottenere 10 successi.

<E> -[] Stimare, per p = 1/10, la probabilit`a che si ottengano 10 successi esattamente nel minimo numero di tentativi necessari.

<F> -[] Stimare, per p = 1/10, N in modo che la probabilit`a di ottenere almeno 10 successi in N tentativi sia superiore a .9.

(67)

Prima Prova parziale 10/11/2018

f (x, y) =min{(y − 1 + x

2_{)(y − x}2_{+ 1), 0}} _, _{|x| < 1} 0 , |x| ≥ 1

<A> -[4] Determinare dove f `e definita e dove `e continua

x y

-[6] Determinare dove f `e differenziabile

x y

<C> -[6] Calcolare le derivate direzionali di f in (1, 0).

<D> -[4] Determinare la direzione di massima pendenza in (1, 0). vspace2cm

<E> - [4] Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (1/2, 0)

<F> -[ 4] Scrivere la forma quadratica Hessiana dif nel punto (1/2, 0).

<G> - [6] Stabilire se f ammette massimi o minimi assoluti.

<H> -[ 6] Stabilire se f ammette massimi o minimi assoluti sulla circonferenza definita da x2+ y2= 1

(68)

Seconda Prova parziale 06/12/2018

Si consideri

D = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2− 2|x| ≤ 0 , x2_{+ y}2_{− 2|y| ≤ 0}}

<A> -[4] Disegnare nel piano D.

-[6] Calcolare l’area di D <C> -[4] Calcolare Z D xdxdy <D> -[6]Calcolare Z D 1 p x2_{+ y}2dxdy vspace2cm

(69)

<F> -[3] Disegnare la proiezione di V nel piano (z, y).

<G> -[3] Disegnare la proiezione di V nel piano (z, x).

(70)

Analisi 2 Polo di Savona Seconda Prova parziale 06/12/2018 <H> -[4] Calcolare il volume di V integrando per fili paralleli all’asse z

(71)

Terza Prova parziale 10/01/2019

Si consideri un treno che parte da una località A e giunge ad una località B passando per una località intermedia C e si indichino con testa, centro e coda la prima la seconda e la terza parte del treno ciascuna delle quali dispone di 60, 110 e 60 posti a sedere.

Nel percorso tra A e C salgono sul treno 200 passeggeri che scelgono, casualmente, di salire in una delle tre parti e li’ rimangono;

Ciascun passeggero sceglie di salire al Centro con probabilità 1/2 ,di salire in Coda con probabilità 1/4 e di salire in Testa con probabilità 1/4 .

<A> -[6] Qual’ è la probalilità che un passeggero che salga sul treno in località C trovi posto a sedere posto che abbia scelto di salire in Testa, in Centro o in Coda al treno?

-[7] Assumendo che il passeggero salito in C ha trovato posto a sedere , quale e’ la probabilit`a che sia salito in Testa , in Centro oppure in Coda al treno

Sia φ la P DF di una variabile aleatoria ξ che restituisce un valore compreso tra −1 e 1 soddisfacente le seguenti condizioni:

- il grafico di φ `e costituito di due archi di parabola che si annullano, rispettivamente in −1 ed in 1 . - il grafico di φ `e tangente all’asse dell ascisse in 0 ed in 2 .

- φ00(0) = 2a

- il grafico di φ `e una funzione continua. <C> -[4] Determinare φ

<D> -[1] Determinare la media di φ

<E> -[2] Determinare la moda di φ vspace2cm

Si dispone di due dadi a 6 facce uno bianco per il quale la probabilità di uscita di 1, 2, 3, 4, 5, 6 è equiprobabile ed uno nero per il quale l’uscita di un numero pari ha probabilità 1/9 e quella di un numero dispari 2/9

<F> -[3] Si sceglie un dado (con probabilità 1/3 per il bianco e 2/3 per il nero) e si lancia. Qual’è la probabilità di ottenere 5?

<G> -[4] Si sceglie un dado (con probabilità 1/3 per il bianco e 2/3 per il nero) , si lancia e si ottiene 3. Qual’è la probabilità che sia stato scelto il dado bianco?

Sia ξ la somma di due variabili aleatorie geometriche relative a prove bernoulliane con probabilit`a di successo p1 e p2, rispettivamente, e sia qi = 1 − pi per i = 1, 2

<H> -[9]Determinare la PDF di ξ

-[2]Determinare la media di ξ

<J> -[2]Determinare la varianza di ξ

(72)

Esame Gennaio 08/01/2019

Si consideri

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2≤ 1 + z2 _{, y}2_{+ z}2_{≤ 1}}

<A> -[3] Disegnare la proiezione di V sul piano (x, y)

(73)

<D> -[6] Calcolare il volume di V

vspace2cm

Si consideri un recipiente in cui, ogni minuto, entra una quantit`a aleatoria ξ ed esce una quantit`a aleatoria η di acqua .

La variabile aleatoria ξ `e distribuita uniformemente su [2, 4] mentre η `e distribuita uniformemente su [1, 5]

<E> -[6] Determinare la distribuzione di probabilit`a della variabile aleatoria ζ che rappresenta la variazione della quantit`a di acqua presente nel recipiente

<F> -[2] Determinare media e varianza di ζ

<G> -[3] Stabilire se `e pi`u probabile che, ad ogni minuto, l’acqua presente nel serbatoio aumenti o diminuisca.

<H> -[5] Stimare la probabilit`a che in un’ora il cambiamento della quantit`a di acqua presente nel recipiente sia minore di 10

.

(74)

Esame Gennaio 22/01/2019

Si consideri il solido V ottenuto dalla rotazione attorno all’asse z della parte del piano (y, z) definito da A = {(y, z) ∈ R2 : z2+ 4(y − 1)2≤ 4}

<A> -[] Disegnare A nel piano (y, z)

-[] Disegnare la proiezione di V sul piano (y, z)

<C> -[] Calcolare l’area di A <D> -[] Calcolare il volume di V

<E> -[] CalcolareR

V xdxdydz

<F> -[] Determinare le coordinate del baricentro di V vspace2cm

Un magazzino deve fornire η unit`a di un certo articolo ogni giorno e, per rifornirsi a sua volta , emette un ordine che viene consegnato dopo ξ giorni .

La variabile aleatoria ξ ha una distribuzione triangolare definita su [2, 5] con moda 3 mentre η `e dis-tribuita uniformemente su [10, 15]

<G> -[] Determinare la distribuzione di probabilit`a della variabile aleatoria ζ che rappresenta Il numero di unit`a che il magazzino prevede di fornire nel tempo che intercorre tra la data dell’ordine e la sua consegna.

<H> -[]Determinare il numero minimo di unit`a che devono essere disponibili in magazzino affinche’ la prob-abilit`a di non poter soddisfare le richieste sia inferiore al 0.01

(75)

Esame Febbraio 19/02/2019

Si consideri

V = {(x, y) ∈ R2 : px2_{+ y}2_{≤ arctan(y/x) , x}2_{+ y}2₋π 2y ≤ 0} <A> -[ ] Disegnare V nel piano (x, y)

x y -[] Calcolare l’area di V <C> -[] Calcolare Z D xdxdy <D> -[] Calcolare Z D 1 xdxdy vspace2cm

Si consideri una prova bernoulliana con possibili esiti Ei , i = 1, 2 ciascuno con proobabilit`a di accadi-mento pi

<E> -[] Determinare la PDF della variabile aleatoria ξ che restituisce il valore i in corrispondenza dell’uscita di Ei

<F> -[] Determinare la media della variabile aleatoria ξ .

<G> -[] Determinare la varianza della variabile aleatoria ξ ,

<H> -[] Determinare i valori pi in corrispondenza dei quali la media di ξ `e minima o massima.

-[] Determinare i valori pi in corrispondenza dei quali la varianza di ξ `e minima o massima.

(76)

Esame Giugno 11/06/2019

Si consideri la funzione f (x, y, z) = z − x2+ y2 e l’insieme S = {(x, y, z) ∈ R3 : k(x, y, z)k∞≤ 1} essendo , k(x, y, z)k∞= max{|x|, |y|, |z|}

<A> -[] Calcolare massimi e minimi assoluti di f su S

-[] Calcolare

Z

S

f (x, y, z)dxdydz

vspace2cm

Si consideri una linea di trasporto urbano organizzata in modo che, per una certa fermata, ci sia in media il passaggio di un mezzo ogni 5 minuti.

<C> -[] Calcolare la probabilit`a che per quella fermata passino 12 mezzi in un’ora.

<D> -[] Calcolare la probabilit`a che per quella fermata passino meno di 12 mezzi in un’ora.

<E> -[] Calcolare la probabilit`a di attendere in quella fermata il passaggio di un mezzo per pi`u di 10 minuti.

(77)

Esame Giugno 25/06/2019

f (x, y, z) =nx + y − z x, y, z ∈ [0, 1] 0 altrove

<A> -[] Determinare il campo di definizione di f e stabilire dove f `e continua.

-[] Calcolare massimi e minimi assoluti di f

<C> -[] Calcolare le derivate direzionali di f nel punto (x0, y0, z0) = (1, 1, 1)

<D> -[] Calcolare

Z

R3

f (x, y, z)dxdydz

vspace2cm

Si supponga di lanciare ripetutamente un dado a 4 facce contrasegnate con i numeri da 1 a 4 . <E> -[] Calcolare la probabilit`a di ottenere 2 per 3 volte, avendo lanciato il dato 5 volte.

<F> -[] Calcolare la probabilit`a di ottenere 2 almeno 60 volte, avendo lanciato il dato 100 volte.

<G> -[] Calcolare la probabilit`a che per ottenere 2 per 3 volte siano stati necessari 5 lanci.

<H> -[] Calcolare la probabilit`a che per ottenere 2 per 3 volte siano stati necessari tra i 3 e i 6 lanci.

(78)

Esame Luglio 09/07/2019

Si consideri la parte di spazio V ottenuta facendo ruotare , attorno all’asse z , la circonferenza giacente nel piano x = 0 , di raggio 1 , centrata in (0, 1, 1)

<A> -[] Calcolare il volume di V

-[] Calcolare il volume della intersezione di V con il cono definito da z ≥px2_{+ y}2

<C> -[] Calcolare il massimo assoluto di f (x, y, z) = z su V

<D> -[] Calcolare il massimo assoluto di f (x, y, z) = z sull’ intersezione di V con il cono definito da z ≥ p

x2_{+ y}2

vspace2cm

Sia ξ la variabile aleatoria uniforme su [−2, 1]. <E> -[] Calcolare la probabilit`a che |ξ| ≤ 1.

<F> -[] Determinare la PDF della variabile aleatoria η = ξ2

Sia η una variabile aleatoria uniforme su [−2, 1] indipendente da ξ. <G> -[] Determinare la PDF della variabile aleatoria η + ξ

(79)

Esame Settembre 10/09/2019

Si consideri

f (x, y) = y4+ x4− 10x2_{+ 9}

<A> -[] Disegnare nel piano l’insieme dei punti tali che f (x, y) = 0

-[] Studiare l’esplicitabilit`a di f (x, y) = 0

Sia φ la funzione che definisce y come funzione implicita di x mediante la f (x, y) = 0 in un intorno di (√5, 9)

<C> -[] Verificare l’esistenza e l’unicit`a di φ

<D> -[] Calcolare φ0(x)

<E> -[] Calcolare φ00(x)

vspace2cm

Sia ξ la variabile aleatoria uniforme su [−3, 1].

<F> -[] Determinare la PDF della variabile aleatoria η = ξ2_{+ 2ξ}

Sia η una variabile aleatoria uniforme su [−3, 1] indipendente da ξ. <G> -[] Calcolare la probabilit`a che ξ ≤ η