Compito 17 6 2016 soluz

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Università degli Studi dell’Aquila - Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile e Ambientale Fisica Generale 2 - Prova scritta d’esame del 17 Giugno 2016 ore 15:00

Nome e Cognome: ………..…… No. di matricola: …….…....…CFU……… Si ricorda che le soluzioni dei problemi del compito vanno consegnate utilizzando un UNICO foglio protocollo.

Problema 1 (10 punti):

Un cilindro infinito di raggio R e carico con densità uniforme ρ ha, al suo interno, una cavità sferica di raggio R/2 il cui centro giace sull’asse del cilindro. Si consideri il piano equatoriale della sfera perpendicolare all’asse del cilindro e si calcolino:

a) il campo elettrico nel punto P a distanza d dal centro della sfera (3 punti)

b) l’espressione del campo elettrico in funzione della distanza dall’asse (4 punti)

c) la velocità che deve avere una particella di massa m e carica q lanciata da una distanza d1,

per arrivare con velocità nulla sul bordo del cilindro. (3 punti)

Dati del problema: R=10cm, ρ= 0.1 C/m3_{,

d=7cm,
m=
1.5x10}-‐6_{g,
q=
2mC,
d}₁_{=
3m}

Problema 2 (10 punti):

L’interruttore S nel circuito in figura è chiuso da molto tempo e il condensatore è carico.

a) Si calcoli la corrente di regime in ciascuna resistenza. (punti 2)

b) Si trovi la carica qMAX sul condensatore. (punti 3)

c) Nell’istante t = 0 l’interruttore viene aperto. Si scriva in funzione del tempo la corrente che circola in R2

(punti 3)

d) si trovi l’intervallo di tempo necessario perché la carica sul condensatore si riduca ad 1/5 del valore iniziale. (punti 2)

Dati del problema: V = 9 V; R1 = 12 kΩ; R2 = 15 kΩ; R3 = 3 kΩ; C = 10 µF

Problema 3 (10 punti)

Un’asta metallica di lunghezza L si muove su due binari conduttori (chiusi elettricamente ad un estremo) con velocità costante v. L’asta si muove in un campo magnetico non uniforme prodotto da un ﬁlo rettilineo a distanza a (dall’estremo del circuito) percorso da una corrente stazionaria I. L’asta ed i binari hanno una resistenza totale R e l’asta si trova inizialmente a distanza a dal filo. Trascurando l’induttanza del circuito formato da asta e binari, determinare:

a) il verso ed il valore della corrente nell’asta in funzione del tempo e all’istante Δt (4 punti); b) l’energia dissipata dalla resistenza del circuito nel tempo Δt (3 punti);

c) l’espressione della forza necessaria a mantenere l’asta con moto uniforme in funzione del tempo e all’istante particolare Δt (3 punti). L’attrito è trascurabile.

Dati: L = 80 cm, v = 2.5 m/s, a = 5 cm, I = 1.5 A, R = 3 Ω, Δt = 30 s.

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Soluzioni Problema 1

a) Possiamo pensare il sistema come composto da un cilindro pieno ed una sfera con densità di carica ρs=-‐ρ. Il campo in ogni punto potrà essere calcolato come la sovrapposizione dei due

contributi Es ed Ec, che nel piano equatoriale della sfera sono diretti entrambi radialmente.

Nel punto P quindi avremo: ! ! = !_! ! + !_! ! = _!!!!

!!!+ !" !!! con ! = −! ! !! ! ! ! che quindi per r=d vale: E(P) = 4.9x108_Vm.

b) Per il campo in tutto lo spazio usiamo lo stesso metodo.

Il campo di una distribuzione cilindrica di carica può essere calcolato con il teorema di Gauss. Internamente al cilindro: !! ! =_!!!"

! mentre la distribuzione sferica darà un contributo:

!_! ! =_!!!" ! Quindi, per 0 < r < R/2: ! ! = !! ! + !! ! = − !" 3!_! + !" 2!_! = !" 6!_! per R/2 < r < R ! ! = _!!!! !!!+ !" !!! = − ! ! !! ! ! ! + _!!!" ! = ! !! ! !− !! !"!! per r > R : ! ! = ! 4!!_!!!+ !!! 2!_!!= ! 2!_!! !!− !! 12! c) Con la conservazione dell’energia totale possiamo affermare che:

!

!!!

!_{+ !" !}

! = !"(!) da cui: ! = !! ! ! !!(!_! ! ) E’ necessario quindi calcolare il valore

della differenza di potenziale elettrico tra i punti R e d1.

! ! − ! !_! = ! 2!_!! !!− !! 12! !! ! !" = !!! 2!_!! ln !_! ! − ! 12 1 !− 1 !_! = 1.9 ∙ 10!! La velocità sarà quindi pari a: v= 7.1x 105_m/s

Problema 2

a) Con l’interruttore chiuso a regime !! = 0 !! = !! =_! !

!!!! = 0.33 m! b) qMAX = !"_!!! !!!!= 50 !" c) ! = −!"_!" = !!"# ! !!!!! ! !_{! !!!!!}! d) !_!"#!!! !!!!!! ₌!!"# ! , ! = −0.180 ln ! != 0.289 ! Problema 3

Per calcolare la corrente che scorre nel circuito formato da asta e binari, si può utilizzare la legge di Faraday-‐Neumann-‐Lenz. Ricordando che il campo generato da un filo rettilineo a distanza x è ! = !!! 2!", il flusso di B concatenato con il circuito è pari a:

Φ ! = !!! 2!"! !" ! ! =!!!" 2! log ! !

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Notando che ! = ! + !" e applicando la legge di F-‐N-‐L, si ricava l’espressione della f.e.m. indotta in funzione del tempo:

!_! = −!Φ ! !" = − !_!!" 2! ! != − !_!!" 2! ! ! + !"

da cui il modulo della corrente indotta, che scorre in verso antiorario: !(!) =!! ! = !_!!" 2!" ! ! + !"

All’istante particolare Δt essa vale i(Δt) = 2.7 × 10-‐9_A.

L’energia dissipata dalla resistenza del circuito può essere calcolata come: ! = !!(!)!_{!" =}1 ! !! ! !_!!"# 2! ! _!" ! + !" ! !! !

Per risolvere l’integrale si può operare la sostituzione ! = ! + !" e !" = ! !": !" ! + !" ! !! ! = !" ! !! !!!!! ! = 1 ! 1 !− 1 ! + !∆!

da cui, sostituendo i valori numerici, si ottiene W = -‐9.6 × 10-‐13_J.

La forza necessaria a mantenere l’asta in moto uniforme è calcolabile dalla II legge di Laplace: ! = ! !"×! = !!!" 2!" ! !! !_!! 2!"= 1 ! !_!!" 2! ! _! ! + !∆! !

La forza esterna, di verso concorde a v, deve pertanto diminuire di intensità inversamente al quadrato del tempo. all’istante particolare Δt essa vale F(Δt) =8.5 ×10-‐18_N.