Controlli Digitali Controlli Digitali
Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica
CONTROLLORI PID
CONTROLLORI PID
Cristian Secchi Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.itIntroduzione
Introduzione
•
regolatore Proporzionale, Integrale, Derivativo –PID•
regolatori standard con tre azioni di controllocombinate:•
azione proporzionaleall'errore•
azione proporzionale all'integraledell'errore•
azione proporzionale alla derivatadell'errore•
standard industriale ed utilizzabile per moltissimi impianti•
implementabile con molte tecnologie•
elettriche (analogiche e digitali)•
meccaniche•
pneumatiche•
oleodinamicheMotivazioni del successo del PID
Motivazioni del successo del PID
•
Notevole efficacia nella regolazione di un’ampia gamma di
processi industriali
•
Tecniche di taratura semplici ed automatiche applicabili
anche quando
q
il modello dell'impianto è poco noto
p
p
•
Importanza e convenienza economica della
standardizzazione
•
Possono essere usati come elementi base di schemi di
controllo articolati (es.: controllo in cascata) portando
notevolissimi miglioramenti delle prestazioni
•
Consente di ottenere prestazioni accettabili anche con una
PID-- 3
Consente di ottenere prestazioni accettabili anche con una
scarsa conoscenza del modello del sistema
Cristian Secchi
I PID hanno successo perchè rappresentano una soluzione non facilmente superabile, in generale, nel rapporto efficacia/costo
Il controllore PID
Il controllore PID
•
se e(t) è il segnale di errore avremo
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + =
∫
t i d p e d T t e T t e K t u 0 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( & τ τcon K
pcostante proporzionale e con T
ie T
dconstanti di
tempo della parte integrale e derivativa
•
f.d.t. del controllore:
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
+
+T
K
s
U
G
(
)
(
)
1
1
⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝
+
+
=
=
s
T
s
T
K
s
E
s
G
i d p PID1
)
(
)
(
)
(
Significato delle tre azioni di controllo
Significato delle tre azioni di controllo
•
azione proporzionale:
•
maggiore è l'errore, maggiore è l'azione di controllo
•
azione integrale:
•
errore nullo a segnali di riferimento o disturbi costanti
•
errore nullo a segnali di riferimento o disturbi costanti
•
azione derivativa:
•
azione di controllo “preventiva”
•
anticipo di fase
•
i termini derivativo e/o integrale possono essere assenti
•
regolatori P
PID-- 5 Cristian Secchiregolatori P
•
regolatori PI
•
regolatori PD
F.d.t. del controllore PID
F.d.t. del controllore PID -
- Considerazioni
Considerazioni
•
abbiamo che•
la f.d.t. presenta•
due zeri a parte reale negativa•
un polo nell’origine•
il controllore PID risulta essere un sistema improprio, ovvero non fisicamente realizzabile•
la forma reale prevedecon N = 5 ¥ 20 per posizionare il polo all'esterno della banda di interesse. Il polo reale modifica un po' la posizione degli zeri. In
Regolatore
Regolatore P
P
•
regolatore P:
•
T
i= 1 e T
d= 0
•
usato per processi asintoticamente o semplicemente
stabili quando le prestazioni statiche non richiedano
q
p
l’inserimento di un polo nell’origine nel guadagno
d’anello
G(s) P R(s) E(s) Y(s) PID-- 7 Cristian SecchiRegolatore
Regolatore P
P -
- Esempio
Esempio
s s G τ + = 1 1 )
( Specifica: Portare a regime il sistema nel minor
tempo possibile
L d ll R di i
Il sistema chiuso in retroazione è del primo ordine
Luogo delle Radici è del primo ordine
Mediante un controllore proporzionale posso rendere il
tempo di assestamento del sistema piccolo quanto si vuole
1 =
τ
s K K K s G p p p cl + + + = 1 1 1 ) ( τ Attenzione al valore a regime!Regolatore PI
Regolatore PI
•
regolatore PI:
•
T
d= 0
•
Hanno un il polo nell'origine e lo zero in s = -1 / T
i•
molto diffusi a livello industriale in quanto consentono il
soddisfacimento delle specifiche statiche (consentono
di inserire un polo nell’origine nella funzione di
trasferimento d’anello) e sono di facile taratura per
semplici processi
PID-- 9 Cristian Secchi
semplici processi
•
Grazie allo zero è possibile anche rendere agire sul
tempo di assestamento del sistema controllato
Regolatore
Regolatore PI
PI -
- Esempio
Esempio
R(s) E(s) Y(s) s s G τ + = 1 1 )
( Specifica: Portare a regime il sistema nel minor
tempo possibile e con errore di posizione nullo
G(s) PI
R(s) E(s) Y(s)
Per soddisfare la specifica statica è necessario aggiungere un polo nell’origine al guadagno d’anello mediante il controllore
Regolatore
Regolatore PI
PI -
- Esempio
Esempio
Per nessun valore di Kp>0 il
tempo di assestamento sarà inferiore a T1 1 T T> 1 T T< Kp La presenza dello zero limita la
possibilità di spostare a sinistra il
polo nell’origine
τ
=1PID-- 11 Cristian Secchi
polo nell origine
Regolatore
Regolatore PI
PI -
- Esempio
Esempio
Per nessun valore di Kp>0 il
tempo di assestamento sarà inferiore a T1 1 T T> 1 T T<
La presenza dello zero limita la possibilità di spostare a sinistra
uno dei due poli
Per guadagni bassi il sistema ha un alto tempo di assestamento. Per evitare oscillazioni nel transitorio il guadagno deve essere scelto Per evitare oscillazioni nel transitorio il guadagno deve essere scelto
Regolatore
Regolatore PI
PI -
- Esempio
Esempio
Se la conoscenza del modello è sufficientemente accurata, si può usare lo zero del PI per
cancellare il polo del plant
I t l d il i t hi i
In tal modo il sistema chiuso in retroazione diventa un sistema del primo ordine la cui dinamica
può essere resa veloce a piacimento all’aumentare di Kp 1 =
τ
PID-- 13 Cristian Secchi All’aumentare di Kp, diminuisce il tempo di assestamento e la risposta non ha oscillazioni Kp 1τ
Casi particolari (3)
Casi particolari (3)
•
regolatore PD:
•
T
i= 1
•
Hanno lo zero in s = - 1 / T
ded il polo reale fuori banda
(all'infinito nel caso ideale)
(all infinito nel caso ideale)
•
usato quando non vi siano problemi di instabilità o di
prestazioni statiche, ma sia
necessario allargare la
banda passante
Regolatore
Regolatore PD
PD -
- Esempio
Esempio
) 1 ( 1 ) ( s s s G τ +
= Specifica: Portare a regime il sistema nel minor
tempo possibile e con errore di posizione nullo
La specifica statica è soddisfatta grazie al polo nell’origine di G(s) La specifica statica è soddisfatta grazie al polo nell origine di G(s)
1 T T> 1 T T<
La struttura del plant è tale per cui non è possibile, mediante un regolatore proporzionale, ottenere un tempo di assestamento inferiore a T1 PID-- 15 Cristian Secchi inferiore a T1
Regolatore
Regolatore PD
PD -
- Esempio
Esempio
G(s) PDR(s) E(s) Y(s)
C li T ?
Scegliendo N abbastanza grande è possibile portare il punto di emergenza a sinistra
quanto si vuole e, di il i i t
Come scegliere Td? conseguenza, il minimo tempo
di assestamento ottenibile piccolo quanto si vuole
Kp
1 =
Regolatore PID
Regolatore PID
•
regolatore PID completo:
•
1 polo nell'origine e due zeri
•
zeri reali se T
i≥ 4T
d•
zeri coincidenti (in s = 1/ 2 T ) se T = 4 T
•
zeri coincidenti (in s = -1/ 2 T
d) se T
i= 4 T
d•
nella realtà è necessario introdurre un secondo polo in
alta frequenza a pulsazione maggiore di quella degli
zeri per rendere il sistema fisicamente realizzabile
•
E’ utilizzato quando è necessario cancellare più di un
polo e imporre un errore di posizione nullo
PID-- 17 Cristian Secchi
Regolatore
Regolatore PID
PID -
- Esempio
Esempio
2 2 2 2 9 . 0 ) ( n n s s s G n ω δω ω + +
= Specifica: Portare a regime il sistema nel minor
tempo possibile, con errore di posizione nullo e senza sovraelongazioni
E’ necessario inserire un polo nell’origine per soddisfare le
specifiche statiche
Per evitare che la risposta abbia una sovraelongazione, g , occorre che il sistema chiuso in retroazione non abbia poli
Regolatore
Regolatore PID
PID -
- Esempio
Esempio
Scegliendo Tde Tiin modo che gli zeri del
PID cancellino i poli del controllore e N grande abbastanza è possibile soddisfare
le specifiche di controllo
Sistema non controllato Sistema controllato con PID
10 3 . 0 = δ PID-- 19 Cristian Secchi 10 = n ω Kp
Taratura
Taratura automatica
automatica dei
dei Parametri
Parametri
•
Per la taratura “razionale” dei PID si fa riferimento al modello del sistema da controllare e si usano, ad esempio, le tecniche basate sul luogo delle radici viste finora.•
La costruzione di un modello del plant a partire dalle leggi fisiche che•
La costruzione di un modello del plant a partire dalle leggi fisiche che lo governano può richiedere un impegno sproporzionato rispetto alle esigenze di progetto•
In questi casi esistono delle strategie per tarare i parametri del PID a partire da prove sul campo effettuate sul plant•
Esistono svariati metodi, alcuni dei quali già implementati su alcuni controllori industriali commercializzati su larga scalaTaratura
Taratura automatica
automatica dei
dei Parametri
Parametri
Considereremo metodi di taratura automatica ad anello aperto
Tali metodi valgono per i plant stabili la cui risposta al gradino non è Tali metodi valgono per i plant stabili la cui risposta al gradino non è oscillante. Ciò può essere testato sul campo semplicemente eccitando il
plant con un gradino.
E’ poi necessario approssimare il plant come un sistema del primo ordine con ritardo
PID-- 21 Cristian Secchi
Esistono tabelle che consentono di determinare i parametri del PID utilizzando i parametri del sistema approssimato
Taratura
Taratura automatica
automatica dei
dei Parametri
Parametri
Una volta testato che il plant risponde a un gradino in ingresso senza oscillazioni, è necessario approssimarne il modello con un sistema del primo
ordine con ritardo del tipo
Esistono svariati metodi per ottenere Ga(s) a partire dalla risposta al gradino del plant. Verrà illustrato il metodo delle aree.
s a e s K s G θ τ − + = 1 ) (
Taratura
Taratura automatica
automatica dei
dei Parametri
Parametri
Si considera la risposta del plant a un gradino di ampiezza Ay
A y K= y S1 = +θ τ S2 Guadagno statico Costante di tempo S1 y eS2 = τ PID-- 23 Cristian Secchi τ θ + y y S ) ( 1 τ θ= − RitardoTaratura
Taratura automatica
automatica dei
dei Parametri
Parametri
L’algoritmo da seguire per trovare il modello approssimato è:1. Eccitare il sistema con un gradino di ampiezza A e graficare la risposta 2. Ottenere il guadagno statico K mediante
2. Ottenere il guadagno statico K mediante
3. Trovare, anche in via approssimata, l’area S1 4. Ottenere l’ascissa τ+θ mediante
e tracciare una retta verticale passante per τ+θ
5 T h i i i l’ S2 A y K= y S1 = +θ τ
5. Trovare, anche in via approssimata, l’area S2
6. Ottenere la costante di tempo τ e il ritardo θ mediante
y y S y eS / ) ( 1 2 τ θ τ − = =
Taratura
Taratura automatica
automatica dei
dei Parametri
Parametri
Una volta approssimato il plant comes a e s K s G θ τ − + = 1 ) (
esistono due categorie principali di criteri per la taratura automatica dei parametri:
a) quelli che utilizzano alcuni punti caratteristici della risposta y(t) al gradino per imporre l’andamento transitorio desiderato. Si impone ad esempio il rapporto di smorzamento r tra due picchi successivi della risposta y(t);
PID-- 25 Cristian Secchi
p y( );
Taratura
Taratura automatica
automatica dei
dei Parametri
Parametri
b) criteri di tipo integrale che utilizzano come indice di costo funzioni integrali della variabile errore e(t). Di particolare interesse sono i seguenti indici:
∫
∞ = 0 2 ) ( dtt eISE Integral Square Error
∫
∞ = 0 ) ( dtt eIAE Integral Absolute Error
∫
∞ = 0 ) ( dtt e tTaratura
Taratura automatica
automatica dei
dei Parametri
Parametri
Esistono alcune tabelle per il tuning dei parametri dei regolatori PID. Nella seguente tabella sono riportate indicazioni per fare il tuning corrispondente ad un rapporto di smorzamento r = 0.25 secondo i criteri della categoria (a).
PID-- 27 Cristian Secchi
Taratura
Taratura automatica
automatica dei
dei Parametri
Parametri
Al fine di tarare un PID con i metodi della categoria (a), basta scegliere il tipo di controllore da implementare e dedurre i parametri dalle relazioni in tabella
1 ) (s = G G s e s ) ( 46 . 1 = − ) 1 2 ( ) 1 )( 1 5 . 0 ( ) ( 2 + + + s s s s G s s Ga 34 . 3 1 ) ( + =
Si desideri implementare un PID mediante le regole di Ziegler- Nichols corrispondenti a un rapporto di smorzamento r=0.25
Dalle tabelle si ricava
22
.
0
/
87
.
0
/
74
.
2
=
=
=
iτ
dτ
pT
T
KK
1
.
0
27
.
1
74
.
2
=
=
=
i d pT
T
K
Taratura
Taratura automatica
automatica dei
dei Parametri
Parametri
Risposta al gradino del sistema descritto da G(s) controllato con un PID tarato mediante il metodo
di Ziegler-Nichols usando il modello approssimato
PID-- 29 Cristian Secchi
Taratura
Taratura automatica
automatica dei
dei Parametri
Parametri
Nelle seguenti tabelle sono riportate indicazioni per fare il tuning secondo i criteri di ottimizzazione dell’errore della categoria (b).
N l di tili di it i i t li il t i l i t b ll f i
Nel caso di utilizzo di criteri integrali per il tuning, la prima tabella fornisce dei parametri che ottimizzano le prestazioni nel caso di variazioni nel plant da controllare mentre la seconda tabella fornisce dei parametri che ottimizzano le prestazioni nel caso di variazioni del setpoint di riferimento.
Taratura
Taratura automatica
automatica dei
dei Parametri
Parametri
Variazioni di Carico
Criterio Controllore Azione A B
IAE P P 0.902 -0.985 ISE P P 1.141 -0.917 ITAE P P 0.490 -1.084 IAE PI P 0.984 -0.986 IAE PI P 0.984 0.986 I 0.608 -0.707 ISE P 1.305 -0.959 I 0.492 -0.739 ITAE P 0.859 -0.977 I 0.674 -0.680 IAE P 1.435 -0.921 I 0.878 -0.749 PID-- 31 Cristian Secchi D 0.482 1.137 ISE P 1.495 -0.945 I 1.101 -0.771 D 0.560 1.006 ITAE P 1.357 -0.947 I 0.842 -0.738 D 0.381 0.995
Taratura
Taratura
Taratura automatica
automatica dei
dei Parametri
Parametri
Nel caso di criteri integrali, una volta che si siano scelti il criterio (IAE,ISE o ITAE), il tipo di controllore (P, PI o PID) e l’azione di controllo (P, I o D), dalla tabella si individuano due parametri A e B che sostituiti nella relazione
B A Y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =
τ
θ
forniscono un valore Y che deve essere interpretato come Y = KKpnel
caso di azione proporzionale (P), come Y = τ/Tinel caso di azione
integrale (I), e come Y = Td/τ nel caso di azione derivativa (D).
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =
τ
θ
B A Y (oppure ) PID-- 33 Cristian Secchi g ( ), d/ ( )Taratura
Taratura automatica
automatica dei
dei Parametri
Parametri
Si consideri il sistema dell’esempio precedente che può essere approssimato con e s G s ) ( 46 . 1 = − s s Ga 34 . 3 1 ) ( + =si desidera progettare un controllore PI per variazioni di setpoint utilizzando il criterio integrale ITAE
Dalla tabella si ricava che
96 . 0 165 . 0 03 . 1 24 . 1 586 . 0 916 . 0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − τ θ τ τ θ i p T KK
Taratura
Taratura automatica
automatica dei
dei Parametri
Parametri
Risposta al gradino del sistema descritto daG(s)
sistema descritto da G(s)
controllato con un PID tarato mediante il metodo di ottimizzazione dell’errore usando il modello approssimato PID-- 35 Cristian Secchi
Realizzazioni
Realizzazioni dei
dei Regolatori
Regolatori PID
PID
G(s) P R(s) E(s) Y(s) I -+ + + + U(s) Schema “classico” del PID D
In presenza di un gradino sul segnale di riferimento R(s), l’uscita del derivatore, di conseguenza, la variabile di controllo U(s) è di tipo impulsivo
Brusche variazioni del controllo possono essere indesiderate in quanto possono portare a una saturazione o a un deterioramento degli attuatori.
Realizzazioni
Realizzazioni dei
dei Regolatori
Regolatori PID
PID
G(s) P R(s) E(s) Y(s) I -+ + + U(s) + + PID con derivazione dell’uscita D
Y(s) è l’uscita di un sistema che solitamente ha le caratteristiche di un filtro passa basso e le sue variazioni istantanee (e quindi la sua derivata) sono contenute. Pertanto l’uscita del termine derivativo non ha andamenti impulsivi
PID-- 37 Cristian Secchi
Inoltre, quando R(s) è costante lo schema PID con derivazione sull’uscita si comporta come lo schema PID classico.
Realizzazioni
Realizzazioni dei
dei Regolatori
Regolatori PID
PID
2 ) 1 ( 1 ) ( + = s s G Kp=2 Td =0.25 Ti=2
u(t) PID classico
r(t) y(t) PID classico
y(t) PID con derivata sull’uscita
u(t) PID con derivata sull’uscita Calo di prestazioni ma azione di controllo senza picchi
Gestione
Gestione dei
dei ritardi
ritardi
G(s) PID R(s) E(s) s Yp(s)
e
−θ + -) (s Gp ) ( ) (t = ty −θ yp Y(s) U(s)Un altro punto importante da considerare nell’uso dei regolatori PID è la presenza di ritardi significativi nel processo da controllare. Si noti che nella sintesi di controllori a struttura libera si può tener conto di tali ritardi comprendendoli intrinsecamente nella legge di controllo, mentre ciò non è possibile nel caso dei controllori a struttura fissa come il PID.
PID-- 39 Cristian Secchi
Il ritardo nell’anello di retroazione deteriora notevolmente le prestazioni e può addirittura rendere instabile il sistema
Gestione
Gestione dei
dei ritardi
ritardi
Se fosse possibile retroazionare y(t) anzichè yp(t), tramite il PID sarebbe possibile controllare l’andamento di y(t) controllanda G(s). Dopodichè l’uscita yp(t) avrebbe lo stesso andamento di y(t), soltanto ritardato diθ s.
Schema Desiderato Schema Desiderato G(s) PID R(s) Yp(s) E(s) s
e
−θ + -) (s Gp Y(s) U(s)Non è possibile accedere fisicamente alla variabile y(t) perchè l’uscita del plant è yp(t) ma se si conosce il modello del plant (cioè G(s) e θ) è possibile utilizzare lo schema basato sul Predittore di Smith per risolvere i problemi legati al ritardo
Gestione
Gestione dei
dei ritardi
ritardi
G(s) PID R(s) E(s) Yp(s) s
e
−θ + -Y(s) U(s) P(s) + Schema a predittore P(s) + di Smith)
(
)
1
(
)
(
s
e
G
s
P
=
−
−θs Z(s))
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
G
U
G
U
G
U
Y
Z
−θs −θs PID-- 41 Cristian Secchi)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
s
G
s
e
U
s
e
G
s
U
s
G
s
U
s
Y
s
Z
=
θs+
−
θs=
=
Gestione
Gestione dei
dei ritardi
ritardi
Utilizzando il predittore di Smith lo schema di controllo diventa equivalente a
G(s) PID R(s) E(s) Yp(s) s
e
−θ + -Y(s) U(s)Il ritardo non entra più nel loop di controllo ed è possibile disegnare un PID in modo che y(t) (e, di conseguenza, yp(t)) abbia le caratteristiche desiderate
Si annulla la retroazione dall’uscita ritardata inserendo un anello interno in Si annulla la retroazione dall uscita ritardata inserendo un anello interno in cui compare un modello del processo comprensivo del ritardo supposto noto. Si preleva la variabile non ritardata, resa disponibile dal modello, per chiudere la retroazione. In tal modo si cancella il ritardo nel loop di
Gestione
Gestione dei
dei ritardi
ritardi
Nel caso in cui il modello del sistema non sia preciso e la conoscenza del ritardo sia approssimativa, non si ottiene una cancellazione perfetta dell’uscita ritardata. Tuttavia, l’azione del predittore di Smith è ancora utile in quanto mitiga l’effetto del ritardo nel loop di retroazione. ut e qua to t ga e etto de ta do e oop d et oa o e
Per poter utilizzare il predittore di Smith è NECESSARIO che il ritardo sia costante.
PID-- 43 Cristian Secchi
Gestione
Gestione dei
dei ritardi
ritardi -
- Esempio
Esempio
2 2 . 1 ) 1 ( ) ( + = − s e s G s p =2 =0.25 =2 i d p T T K PID Uscita Uscita con uno schema a predittore di Smith
Uscita con uno Uscita con uno schema a predittore
di Smith con una conoscenza imprecisa del ritardo
Dispositivi
Dispositivi anti
anti-
-saturazioni
saturazioni (anti
(anti-
-windup)
windup)
L’uscita del regolatore è applicata a dispositivi di attuazione che nella realtà presentano saturazioni.È opportuno evitare che, nel caso in cui la variabile di controllo saturi, il È opportuno evitare che, nel caso in cui la variabile di controllo saturi, il regolatore continui ad integrare l’errore, fenomeno detto windup.
In tal caso infatti l’integratore può assumere valori molto elevati e richiedere molto tempo per tornare a valori normali.
Un intervento può essere quello di bloccare la sommatoria dell’azione integrale allorché l’uscita raggiunge il valore limite, oppure quello di attivare
l’azione integrale solo quando l’errore è piccolo
PID-- 45 Cristian Secchi
l azione integrale solo quando l errore è piccolo.
Nel caso in cui sia disponibile un modello (anche algebrico) dell’attuatore, si possono utilizzare vari schemi di anti-windup. Verrà
illustrato il metodo dell’integrazione condizionata.
Dispositivi
Dispositivi anti
anti-
-saturazioni
saturazioni (anti
(anti-
-windup)
windup)
Nel caso in cui sia disponibile un modello (anche algebrico)dell’attuatore, si possono utilizzare vari schemi di anti-windup. Verrà illustrato il metodo dell’integrazione condizionata.
In questa tecnica l’ingresso del termine integrale viene azzerato nel caso in cui es(t) = v(t) − u(t) non sia nullo
Se chiamiamo ei(t) l’ingresso del termine integrale, allora l’integrazione condizionata si
⎩
⎨
⎧
≠
=
=
(
)
(
)
(
)
)
(
t
e
t
se
v
t
u
t
e
iDispositivi
Dispositivi anti
anti-
-saturazioni
saturazioni (anti
(anti-
-windup)
windup)
Lo schema di antisaturazione con integrazione condizionata è il seguente:PID-- 47 Cristian Secchi
Quando il valore imposto dall’attuatore è diverso da quello richiesto dal controllore l’ingresso del termine integrale viene posto a zero.
Dispositivi
Dispositivi anti
anti-
-saturazioni
saturazioni (anti
(anti-
-windup)
windup)
Nel caso in cui non sia possibile misurare l’uscita dell’attuatore si costruisce un modello statico che tenga conto della saturazione dell’attuatore e si utilizza l’uscita del modello statico per decidere se imporre a zero l’ingresso del termine integrale.Esempio
Esempio
)
1
(
1
)
(
+
=
s
s
s
G
p Kp =2 Td =0.25 Ti =2 PID Attuatore ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≤ ≤ − − ≤ − = 5 . 0 ) ( 5 . 0 5 . 0 ) ( 5 . 0 ) ( 5 . 0 ) ( 5 . 0 ) ( t v se t v se t v t v se t u G(s) PID R(s) + V(s) -Y(s) E(s) U(s) PID-- 49 Cristian SecchiEsempio
Esempio
Uscita Azione integrale
PID senza integrazione condizionata
Quando l’integratore è in saturazione, il sistema evolve come se non fosse in retroazione. Cio peggiora le prestazioni. Inoltre l’integratore
Esempio
Esempio
Uscita Azione integrale
PID con integrazione condizionata
PID-- 51 Cristian Secchi
L’integrazione condizionata mantiene l’azione integrale sempre in un campo di valori utile per il controllo migliorando le prestazioni.
PID
PID Digitale
Digitale
Per implementare un PID su un sistema di elaborazione digitale è necessario ottenerne un equivalente discreto
Esistono svariati metodi per discretizzare un controllore tempo continuo. Verrà illustrata una delle discretizzazioni più utilizzate per i PID
)
(
1
)
(
)
(
)
(
1
1
1
)
(
E
s
s
N
T
s
T
K
s
E
s
T
K
s
E
K
s
E
s
T
s
N
T
s
T
K
s
U
d d p i p p i d d p+
+
+
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
=
P I DN
N
⎠
⎝
PID
PID Digitale
Digitale
Azione Proporzionale ) ( ) (t K e t up = p up(kT)=Kpe(kT) Azione Integrale Azione Integrale
∫
= t i p i e d T K t u 0 ) ( ) ( τ τ ) (t K du ) ( ) ) 1 (( ) ( kT e T K T T k u kT u i p i i − − = ) ( ) ) 1 (( ) (kT k T +KpT kT PID-- 53 Cristian Secchi ) ( ) ( t e T K dt t du i p i = ( ) (( 1) ) e(kT) T T k u kT u i p i i = − +PID
PID Digitale
Digitale
Azione Derivativa dt t de T K dt t du N T t u p d d d d ) ( ) ( ) ( + = T T k e kT e T K T T k u kT u N T kT u p d d d d d ) ) 1 (( ) ( ) ) 1 (( ) ( ) ( + − − = − − T T k e kT e T NT NT K T k u T NT T kT u d d p d d d d ) ) 1 (( ) ( ) ) 1 (( ) ( − − + + − + = T T NT T NT+ d + d ) ( ) ( ) ( ) (kT u kT u kT u kT u = + + PID
PID
PID Digitale
Digitale –
– Pseudocodice
Pseudocodice
Inizializzazione Eseguita una sola volta all’accensione del regolatore Codice di Controllo
Codice di Calcolo Ricorsivo
del regolatore Eseguita ad ogni periodo di
campionamento
PID-- 55 Cristian Secchi
PID
PID Digitale
Digitale –
– Pseudocodice
Pseudocodice
Inizializzazione %Assegnamento e calcolo dei coefficienti costanti a1=KpT/Ti
b1=Td/(NT+Td) b2=KNb1
%inizializzazione dello stato
%si suppone che ysp sia in una memoria interna al regolatore Lettura di ysp e acquisizione e conversione A/D di y
eold=ysp-y ui=u0+Kceold
ud=0
%u0 corrisponde al valore attuale della variabile di controllo %supposto disponibile
PID
PID Digitale
Digitale
-
- Pseudocodice
Pseudocodice
Pseudocodice ricorsivo1. Attesa attivazione del clock (clock interrupt) 2. Acquisizione e conversione A/D di ysp e y
3 e=y y
3. e=ysp-y 4. ui=ui+a1e
5. ud=b1ud+b2(e-eold) 6. u=Kpe+ui+ud
7. Emissione di u e conversione D/A 8. eold=e
9. Ritorno a 1
PID-- 57 Cristian Secchi
PID
PID Digitale
Digitale -
- Osservazioni
Osservazioni
•
Il progetto di un PID digitale è tipicamente un progetto per discretizzazione. E’ quindi fondamentale:•
Scegliere il periodo di campionamento in base alle specifiche ad anello chiuso•
Aggiungere la dinamica (eventualmente approssimata) del•
Aggiungere la dinamica (eventualmente approssimata) delricostruttore alla dinamica del plant da controllare prima di fare il tuning dei parametri
•
Per la taratura automatica dei parametri si procede come segue•
Si Sceglie il periodo di campionamento in base alle specifiche adanello chiuso
•
Si approssima il plant con un sistema del primo ordine con ritardo. Si θ t l it dSia θ tale ritardo
•
Si aggiunge un ritardo T/2 a θ in modo da considerare la dinamica del ricostruttore di ordine 0.Controlli Digitali Controlli Digitali
Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica