Esercizi svolti sui limiti

Liceo “Carducci” Volterra - Prof. Francesco Daddi

Soluzione dei limiti della verifica del 17/01/2012 - 3

A Classico

− 8 x + 8 . Il limite si presenta nella forma indeterminata 0

0 . Fattorizzando numeratore e denominatore abbiamo

lim x→2+ −(x − 2) · (x − 1) 2 (x − 2)2 = limx→2+ −✘✘✘_{(x − 2) · (x − 1)}✘ 2 (x − 2)✁2 = lim x→2+ −(x − 1) 2 (x − 2) = −1 0+ = −∞ . Esercizio 4. _lim x→−3 √ x+ 4 − 1

x+ 3 . Il limite si presenta nella forma indeterminata 0

0 . Moltiplicando numeratore e denominatore per √x+ 4 + 1
si ottiene

lim x→−3 √ x+ 4 − 1 x+ 3 · √ x+ 4 + 1 √ x+ 4 + 1 = lim x→−3 x+ 4 − 1 (x + 3) · √x+ 4 + 1
= lim x→−3 ✘✘✘x+ 3 ✘✘✘_{(x + 3) ·}✘ √x+ 4 + 1
= lim x→−3 1 √ x+ 4 + 1 = 1 2 . Esercizio 5. _lim x→−5 √ x2− 2 x − 4 −√31 x2+ 3 x − 10

. Il limite si presenta nella forma indeterminata 0

0 . Moltiplicando numeratore e denominatore per√x2− 2 x − 4 +√31

 si ottiene lim x→−5 √ x2− 2 x − 4 −√31 x2+ 3 x − 10 · √ x2− 2 x − 4 +√31 √ x2− 2 x − 4 +√31 = lim x→−5 x2− 2 x − 4 − 31 (x2 + 3 x − 10) ·√x2− 2 x − 4 +√31  = lim x→−5 x2− 2 x − 35 (x2_{+ 3 x − 10) ·}√_x2_{− 2 x − 4 +}√₃₁ = lim x→−5 (x + 5)(x − 7) (x − 2)(x + 5) ·√x2− 2 x − 4 +√31  = lim x→−5 ✘✘✘_{(x + 5)(x − 7)}✘ (x − 2)✘✘✘_{(x + 5) ·}✘ √x2− 2 x − 4 +√31  = lim x→−5 x− 7 (x − 2) ·√x2− 2 x − 4 +√31  = −12 −7 · (2√31) = 6 7√31 . Esercizio 6. _lim x→+∞ x3− x2+ 3

x2− 4 x + 2 . Il limite si presenta nella forma indeterminata ∞ ∞ ; mettendo in evidenza x3 al numeratore e x2 al denominatore si ha lim x→+∞ x3  1 − 1_x+ 3 x3  x2  1 − 4_x+ 2 x2  =_x→+∞lim x· 1 −_x1 + 3 x3 1 −_x4 + 2 x2 = +∞ · 1 = +∞ . 1

Esercizio 7. _lim

x→−∞

√

9 x4_{+ 2}

x2− 6 x . Il limite si presenta nella forma indeterminata ∞

∞ ; mettendo in evidenza x4 dentro il radicale e x2 al denominatore si ha

lim x→−∞ s x4·  9 + 2 x4  x2·  1 − 6_x  = lim x→−∞ x2· r 9 + 2 x4 x2·  1 − 6_x  = lim x→−∞ x2· r 9 + 2 x4 x2·  1 − _x6  = √ 9 1 = 3 . Esercizio 8. _lim x→+∞ p 4 x2

+ 3 x − 6 − 2 x . Il limite si presenta nella forma indeterminata +∞ − ∞; moltiplicando per √ 4 x2 + 3 x − 6 + 2 x √ 4 x2_{+ 3 x − 6 + 2 x} si ottiene lim x→+∞ p 4 x2_{+ 3 x − 6 − 2 x}_· √ 4 x2_{+ 3 x − 6 + 2 x} √ 4 x2 + 3 x − 6 + 2 x = limx→+∞ 4 x2 + 3 x − 6 − 4 x2 √ 4 x2 + 3 x − 6 + 2 x = lim x→+∞ 3 x − 6 √ 4 x2_{+ 3 x − 6 + 2 x} = limx→+∞ x·  3 −6 x  s x2·  4 + 3 x − 6 x2  + 2 x = lim x→+∞ x·  3 − 6 x  |x| · r 4 +3 x− 6 x2 + 2 x = lim x→+∞ x·  3 −_x6  x· r 4 +3 x− 6 x2 + 2 x = lim x→+∞ ✚x·  3 −6_x  ✚x· r 4 +3 x − 6 x2 + 2 ! = lim x→+∞ 3 −6 x r 4 + 3 x − 6 x2 + 2 = 3 2 + 2 = 3 4 . Esercizio 9. _lim x→−∞ √ x2+ x + 6 − x √

x2+ x −√4 x2+ 8 x + 5 . Il numeratore tende a +∞, mentre al denominatore si ha la forma indeterminata +∞ − ∞. Mettendo in evidenza x2

nei radicali si ricava

lim x→−∞ s x2·  1 +1 x + 6 x2  − x s x2·  1 +1 x  − s x2·  4 + 8 x + 5 x2  = lim x→−∞ |x| · r 1 +1 x + 6 x2 − x |x| · r 1 + 1 x− |x| · r 4 + 8 x + 5 x2 = lim x→−∞ (−x) · r 1 + 1 x + 6 x2 − x (−x) · r 1 + 1 x − (−x) · r 4 + 8 x + 5 x2 = lim x→−∞ ✚x· − r 1 + 1 x + 6 x2 − 1 ! ✚x· − r 1 + 1 x + r 4 + 8 x + 5 x2 ! = lim x→−∞ − r 1 + 1 x + 6 x2 − 1 − r 1 + 1 x + r 4 +8 x + 5 x2 = −1 − 1 −1 + 2 = −2 . 2