I numeri complessi

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Lezione 5 - Nozioni di base sui numeri complessi

Unit`

a 5.2 I numeri complessi

Luca Salasnich

Dipartimento di Fisica e Astronomia “Galileo Galilei”, Universit`a di Padova

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Cenni storici sui numeri complessi

I numeri complessi sono una invenzione italiana. Furono introdotti nel 1545 da Girolamo Cardano come strumento ausiliario per determinare le soluzioni reali di alcune equazioni algebriche di terzo grado.1

In quel periodo, i numeri complessi furono usati anche da altri matematici italiani quali Scipione del Ferro, Raffele Bombelli, Niccolo Tartaglia e Ludovico Ferrari, per determinare le soluzioni reali non solo delle equazioni algebriche di terzo grado ma anche quelle di quarto grado. Come detto, inizialmente i numeri complessi non vennero considerati come veri numeri ma solo come artifici utili a risolvere equazioni. Nel XVIII secolo Abraham de Moivre e Leonard Eulero incominciarono a fornire ai numeri complessi una base teorica, finch`e questi assunsero piena cittadinanza nel mondo matematico con i lavori di Carl Friedrich Gauss.

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Definizione di numero complesso

L’insieme dei numeri complessi C `e definito come C =

n

z : z = x + i y , dove x , y ∈ R mentre i =√−1o . (1) Quindi un generico numero complesso z `e del tipo

z = x + i y , (2)

dove x ed y sono numeri reali mentre i non è un numero reale. Il numero intrinsecamente complesso i , detto unità immaginaria, è definito come

i =√−1 , (3)

cio`e la radice quadrata di −1, che ovviamente non `e un numero reale. Infatti non esiste nessun numero reale il cui quadrato si uguale a −1. I numeri reali x ed y del numero complesso z = x + iy sono detti rispettivamente parte reale e parte immaginaria del numero complesso z. A volte si scrive

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Propriet`

a dei numeri complessi (I)

L’insieme dei numero reali R `e un sottoinsieme dell’insieme dei numeri complessi C, cio`e

R ⊂ C . (5)

Infatti, se la parte immaginaria del numero complesso `e nulla, il numero complesso `e di fatto un numero reale.

Viceversa, se la parte reale del numero complesso `e nulla, il numero complesso non un numero reale e viene anche detto immaginario puro. Ad esempio,

z = i 3

`e un numero complesso immaginario puro, mentre z = 2

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Propriet`

a dei numeri complessi (II)

Per definizione, le propriet`a algebriche che vengono utilizzate nei numeri complessi sono le stesse dei numeri reali.

Perci`o, ad esempio,

x + i y = x + y i = i y + x = y i + x . (6) Una cosa molto importante da ricordare è che il quadrato della unità immaginaria i è uguale a −1, cioè

i2= −1 . (7)

Ovviamente ne segue che

i3= i2 i = (−1) i = −i . E similmente

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Propriet`

a dei numeri complessi (III)

Il complesso coniugato di un numero complesso z = x + iy `e indicato con z∗ (a volta anche con ¯z) ed `e definito come segue

z∗= x − iy . (8)

Quindi il complesso coniugato z∗ ha la stessa parte reale di z ma parte immaginaria con segno opposto.

Il modulo, o valore assoluto, di un numero complesso z = x + iy `e indicato con |z| ed `e definito come segue

|z| =px2_{+ y}2_. ₍₉₎

Quindi il modulo |z| `e sicuramente un numero reale non negativo. Ad esempio, dato il numero complesso z = 2 − 3i , il suo modulo risulta

|z| =p22_{+ (−3)}2₌√_{4 + 9 =}√_{13 .}

E’ facile dimostrare che per un generico numero complesso z valgono le seguenti uguaglianze

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Il piano di Gauss (I)

Come visto, il numero complesso z = x + iy `e caratterizzato da due numeri reali x ed y che determinano univocamente z.

Quindi `e possibile introdurre un piano cartesiano, detto piano di Gauss o piano complesso, tale che sull’asse orizzontale delle ascisse, detto asse reale, si pone x = Re[z] mentre sull’asse verticale delle ordinate, detto asse immaginario, si pone y = Im[z].

In questo modo, ogni punto P sul piano di Gauss `e individuato da due coordinate x ed y , cio`e

P = (x , y ) , (11)

dove x ed y sono ovviamente la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso z = x + iy .

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Il piano di Gauss (II)

Quindi ogni numero complesso z `e in corrispondenza biunivoca con un punto P del piano di Gauss. Formalmente si pu`o scrivere

z = x + iy ↔ P = (x , y ) (12)

Il significato geometrico del modulo |z| di un numero complesso z `e quindi evidente: |z| =px2_{+ y}2_{rappresenta la distanza del numero z}

dal numero complesso 0, che `e nell’origine degli assi del piano di Gauss, cio`e 0 ↔ (0, 0).