Elementi di Analisi Numerica, Probabilit`a e Statistica,
modulo 2: Elementi di Probabilit`a e Statistica (3 cfu) Probabilit`a e Statistica (6 cfu) Scritto del 22 gennaio 2014. Primo Appello Id: A
Nome e Cognome: Esame da 3 6 cfu (barrare la casella
interessata)
Problema 1 (tutti)
Una busta contiene semi di una pianta che produce fiori bianchi nel 40% dei casi o rossi altrimenti. Qual `e la prob. che piantando 5 semi si abbiano
1. 2/30 3 piante a fiori rossi ?
2. 2/30 3 o pi`u piante a fiori bianchi ?
3. 3/30 Quanti semi bisogna piantare affinch´e la prob. di avere una o pi`u piante a fiori rossi sia maggiore del 80% ?
Problema 2 (tutti)
Due variabili aleatorie X e Y sono indipendenti ed identicamente distribuite con valor medio µ e varianza σ2noti. Sia Z = aX + bY e W = bX − aY con a + b = 1. Determinare
1. 1/30 il valor medio di Z e W ; 2. 2/30 la varianza di Z e W ;
3. 3/30 il valor medio del prodotto Z · W e quindi cov[Z, W ]. Cosa si pu`o dire sull’indipendenza di Z e W ? 4. 2/30 i valori di a e b che minimizzano contemporaneamente la varianza di Z e W .
Problema 3 (solo esame 6 cfu)
In una fabbrica si producono chiodi lunghi nominalmente 31.5 mm. Periodicamente vengono fatti dei controlli su campioni di chiodi per valutarne la lunghezza. In un campione vengono misurate le seguenti lunghezze (in mm) 29.6, 32.7, 29.0, 30.2, 30.7, 33.1, 27.7, 34.4, 31.5, 29.8, 31.0, 30.9, 28.9, 32.0, 29.8, 31.8, 28.1, 31.5, 30.2, 31.3. Si vuol testare se i dati del campione sono compatibili con le specifiche.
1. 1/30 Formulare l’ipotesi H0;
2. 3/30 Trovare il p-dei-dati.
3. 3/30 Trovare la regione di accettazione ad un livello di confidenza del 10% ed enunciare il risultato del test.
Problema 4 (solo esame 6 cfu)
Da una popolazione normale si estrae il seguente campione −4.73438, 1.27198, 0.92213, 1.28447, 4.38533, −3.80145, 2.64947, 5.6287, 0.0303748, 4.18381.
1. 2/30 Trovare, con almeno 4 cifre significative, media e varianza campionaria.
2. 3/30 Trovare, con almeno 4 cifre significative e con un livello di confidenza del 95% e del 99% gli intervalli di confidenza per la media della popolazione.
3. 3/30 Trovare, con almeno 4 cifre significative e con un livello di confidenza del 95% e del 99% gli intervalli di confidenza per la varianza della popolazione.
Scheda riassuntiva dei risultati ottenuti
Si ricorda che nella correzione dell’elaborato, si cercheranno e si valuteranno i procedimenti che portano ai risultati riportati in sintesi su questa scheda. Inoltre i procedimenti seguiti nell’elaborato devono essere descritti o
giustificati in modo sintetico, ma chiaro.
Problema 1 (tutti)
Una busta contiene semi di una pianta che produce fiori bianchi nel 40% dei casi o rossi altrimenti. Qual `e la prob. che piantando 5 semi si abbiano
1. 2/30 3 piante a fiori rossi ? Si tratta di uno schema binomiale. Se definisco successo S = “pianta a fiori rossi” allora P (S) = pR= 3/5 = 0.6. Se N sono i semi piantati allora
P (3S) = N 3 !
p3R(1 − pR)N −3
da cui si ottengono i valori numerici
P (3S) = 216/625 = 0.3456 N = 4 = 216/625 = 0.3456 N = 5 = 864/3125 = 0.27648 N = 6
2. 2/30 3 o pi`u piante a fiori bianchi ? Adesso definisco S= “ pianta a fiori bianchi”. P (S) = 2/5 = 0.4 = pB,
quindi P (3S+) = N X k=3 N k ! pkB(1 − pB)N −k= 1 − (1 − pB)N− N pB(1 − pB)N −1− N (N − 1) 2 p 2 B(1 − pB)N −2
da cui si ottengono i valori numerici
P (3S+) = 112/625 = 0.1792 N = 4 = 992/3125 = 0.3174 N = 5 = 1424/3125 = 04556 N = 6
3. 3/30 Quanti semi bisogna piantare affinch´e la prob. di avere una o pi`u piante a fiori rossi sia maggiore del 80% ? Riprendendo lo schema della domanda precedente si ha
P (1S+) = N X k=1 N k ! pkR(1 − pR)N −k= 1 − (1 − pR)N
pertanto il valore cercato di N soddisfa la condizione 1 − (1 − pR)N> 0.8 ⇒ N >
log(1 − 0.8) log(1 − pR)
≈ 1.756 Bisogna pertanto piantare 2 o pi`u semi.
Problema 2 (tutti)
Due variabili aleatorie X e Y sono indipendenti ed identicamente distribuite con valor medio µ e varianza σ2noti. Sia Z = aX + bY e W = bX − aY con a + b = 1. Determinare
1. 1/30 il valor medio di Z e W ; Risulta
E[Z] = a E[X] + b E[Y ] = a µ + b µ = (a + b)µ = µ Analogamente
E[W ] = b E[X] − a E[Y ] = b µ − a µ = (b − a)µ = (1 − 2a)µ 2. 2/30 la varianza di Z e W ; Risulta
Var[Z] = a2Var[X] + b2Var[Y ] = (a2+ b2)σ2 e similmente
3. 3/30 il valor medio del prodotto Z · W e quindi cov[Z, W ]. Cosa si pu`o dire sull’indipendenza di Z e W ? Sviluppando il prodotto risulta
Z W = ab(X2− Y2) + (b2− a2)XY perci`o
E[ZW ] = ab(E[X2] − E[Y2]) + (b − a)(b + a) E[XY ] = (b − a) E[X] E[Y ] = (b − a)µ2 Risulta pertanto cov[Z, W ] ≡ 0. Non si pu`o comunque concludere che Z e W siano indipendenti.
4. 2/30 i valori di a e b che minimizzano contemporaneamente la varianza di Z e W . Si tratta di minimizzare a2+ b2 con il vincolo a + b = 1. Dopo semplici passaggi risultano i valori a = b = 1/2.
Problema 3 (solo esame 6 cfu)
In una fabbrica si producono chiodi lunghi nominalmente 31.5 mm. Periodicamente vengono fatti dei controlli su campioni di chiodi per valutarne la lunghezza. In un campione vengono misurate le seguenti lunghezze (in mm) 29.6, 32.7, 29.0, 30.2, 30.7, 33.1, 27.7, 34.4, 31.5, 29.8, 31.0, 30.9, 28.9, 32.0, 29.8, 31.8, 28.1, 31.5, 30.2, 31.3. Si vuol testare se i dati del campione sono compatibili con le specifiche.
1. 1/30 Formulare l’ipotesi H0; I dati del campione sono distribuiti in modo gaussiano con media µ = 31.5 e
varianza incognita.
2. 3/30 Trovare il p-dei-dati. La statistica da usare `e
u =qX − µ¯ S2
N −1/N
∼ tN −1
che con i numeri in questione vale u0= −2.108631 ≈ −2.11 ( ¯X = 30.71, S192 = 2.80726). Il test `e bilatero e il
p-dei-dati `e la prob.
P (|u| > |u0|) = . . . = 2ˆ1 − F (2.11)˜ ≈ 0.05
dove F `e la funzione di ripartizione di una t di Student a 19 gradi di libert`a. Il valore numerico approssimato si trova dalle tavole. Precisamente il p-dei-dati vale 0.04848 (con R per esempio). L’ipotesi non si rigetta fino fino al livello di significativit`a del 5%.
3. 3/30 Trovare la regione di accettazione ad un livello di confidenza del 10% ed enunciare il risultato del test. Occorre risolvere
P (|u| > uα) = α uα= F −1
(1 − α/2) = F−1(0.95) = T−1(0.45) ≈ 1.73 Siccome |u0| > uαl’ipotesi si rigetta.
Problema 4 (solo esame 6 cfu)
Da una popolazione normale si estrae il seguente campione −4.73438, 1.27198, 0.92213, 1.28447, 4.38533, −3.80145, 2.64947, 5.6287, 0.0303748, 4.18381.
1. 2/30 Trovare, con almeno 4 cifre significative, media e varianza campionaria. X = 1.182043, N = 10,¯ S92= 11.3832
2. 3/30 Trovare, con almeno 4 cifre significative e con un livello di confidenza del 95% e del 99% gli intervalli di confidenza per la media della popolazione. Al 95% [−1.2315, +3.5956], al 99% [−2.2853, +4.6494]
3. 3/30 Trovare, con almeno 4 cifre significative e con un livello di confidenza del 95% e del 99% gli intervalli di confidenza per la varianza della popolazione. Al 95% [+5.3856, +37.939], al 99% [+4.3430, +59.051]
