Aspetti della teoria delle foliazioni olomorfe e quasi-complesse

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(1)` degli Studi di Pisa Universita ` di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Facolta. Corso di Laurea in Matematica. Tesi di Laurea 24 febbraio 2005. Aspetti della teoria delle foliazioni complesse e quasi-complesse Candidato Alberto Celotto celotto @ sns.it. Relatore Prof. Giuseppe Tomassini Scuola Normale Superiore di Pisa. Controrelatore Prof. Marco Abate Università di Pisa. tomassini @ sns.it. abate @ dm.unipi.it. Anno Accademico 2003/2004.

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(3) Indice 1 Foliazioni su Variet` a Differenziabili 1.1 Definizioni fondamentali. . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Foliazioni e decomposizione di M in sottovarietà. 1.3 Foliazioni tramite submersioni locali. . . . . . . . 1.4 Strutture trasverse . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Il teorema di Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Orientabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Topologia delle foglie . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Fibrati foliati e loro gruppo di olonomia . . . . . 1.9 Olonomia di una foglia . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Teoremi di stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Foliazioni Complesse e Olomorfe 2.1 Foliazioni su varietà complesse . . . . . . . . 2.2 Integrabilità nel caso regolare . . . . . . . . 2.3 Foliazioni olomorfe singolari . . . . . . . . . 2.4 Alcuni esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Integrabilità nel caso singolare . . . . . . . . 2.6 Sulla topologia delle foglie. . . . . . . . . . . 2.7 Un risultato sulla realizzabilità dell’olonomia 2.8 Stabilità globale nel caso kaehleriano. . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lineare. . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. 3 Foliazioni Olomorfe su Variet` a Complesse Compatte 3.1 Richiami sulle varietà omogenee . . . . . . . . . . . . . 3.2 Foliazioni olomorfe sui tori complessi . . . . . . . . . . 3.3 Flag manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Il caso delle varietà omogenee kaehleriane compatte . . 3.5 Il caso compatto omogeneo generale . . . . . . . . . . . 3.6 Varietà di Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Flussi lineari su Cn e foliazioni olomorfe su varietà di diagonali Mf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hopf . . .. . . . . . . . . . .. 7 7 9 11 13 14 16 16 20 24 29. . . . . . . . .. 33 33 36 38 41 45 48 53 57. . . . . . .. 59 59 62 65 66 69 70. . 71.

(4) 3.8. La struttura di π(T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78. 4 Foliazioni Complesse su Variet` a Non Compatte 4.1 Bidischi generalizzati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Un teorema di uniformizzazione locale per foliazioni olomorfe trasverse al bordo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Varietà strettamente paraboliche e foliazioni di Monge-Ampère. 4.4 Un teorema di uniformizzazione globale per foliazioni di MongeAmpère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Foliazioni Quasi-Complesse e Spazi Twistoriali 5.1 Strutture QC e foliazioni quasi-complesse: definizioni. 5.2 Fibrati principali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Connessione, curvatura ed equazioni di struttura. . . 5.4 Lo spazio twistoriale classico Z(M, g). . . . . . . . . 5.5 Lo spazio twistoriale generalizzato F(n) (M, g). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Condizioni per l’involutività di D ⊕ Z. . . . . . . . . 5.7 Il tensore di Nijenhuis di J lungo le foglie di D ⊕ Z . 5.8 Sezioni di F(n) (M, g) e foliazioni complesse su M . . . 5.9 Altre generalizzazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 79 79 81 90 94. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 101 . 101 . 103 . 105 . 110. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 114 117 120 122 125.

(5) Introduzione La tesi prende in esame vari aspetti della teoria delle foliazioni olomorfe (regolari o singolari) e quasi-complesse, con l’intento di fornire un quadro dei risultati a nostro avviso pi` u significativi ottenuti negli anni recenti. Una parte introduttiva (cfr. capitolo 1) è dedicata alle nozioni basilari della teoria delle foliazioni sulle varietà differenziabili reali. Una foliazione k-dimensionsle F sulla varietà M è una decomposizione di M in sottovarietà immerse, localmente modellata come la decomposizione di Rn in sottospazi affini k-dimensionali paralleli x + Rk , x ∈ Rn−k . Ogni elemento di tale decomposizione si dice una foglia di F. Successivamente si introduce il concetto di rapppresentazione di olonomia di una foglia L di F: si tratta di una rappresentazione del gruppo fondamentale, di L in un suo punto, nel gruppo dei germi dei diffeomorfismi di una sezione locale trasversa (alla foglia) in se stessa. L’immagine di tale rappresentazione si dice il gruppo di olonomia della foglia, e fornisce informazioni su come le altre foglie si ‘‘avvolgono” attorno ad L. L’importanza della nozione di olonomia si rivela nel teorema di stabilità di Reeb: se F ha una foglia L compatta con gruppo di olonomia finito (risp. con gruppo fondamentale finito), allora esiste un intorno tubulare di L in M , unione di foglie, tale che ogni foglia contenuta in esso sia compatta e abbia gruppo di olonomia (risp. gruppo fondamentale) finito. Il capitolo 2 tratta delle foliazioni su varietà analitiche complesse. Le strutture interessanti in questo contesto sono le foliazioni complesse (aventi cioè ‘‘foglie complesse”) e in particolare quelle olomorfe. Sovente una varietà complessa non possiede foliazioni olomorfe regolari (ad esempio lo spazio proiettivo CPn ), ma ammette molte foliazioni singolari. Pertanto vengono introdotti i concetti fondamentali della teoria delle foliazioni singolari, tra cui la nozione di integrabilità. La teoria generale viene rivisitata nel contesto delle foliazioni olomorfe. In particolare vengono presentati i seguenti risultati: • Un risultato sulla topologia delle foglie in foliazioni olomorfe di codi3.

(6) mensione 1 su varietà olomorfe compatte: F possiede un numero finito di foglie chiuse, a meno che non possegga un integrale primo meromorfo, e in tal caso tutte le foglie sono chiuse. (cfr. [Ghys]). • Un teorema sulla realizzabilità del gruppo di olonomia lineare di foglie algebriche di foliazioni olomorfe di dimensione 1 su varietà proiettive. (cfr. [Pereira-Sad]). • Per quanto riguarda il problema della stabilità in ambito olomorfo, un teorema di Pereira (cfr. [Pereira]) che fornisce un risultato positivo piuttosto forte sulle foliazioni su varietà kaehleriane compatte: se c’è una foglia compatta con olonomia finita, allora tutte le foglie sono compatte con olonomia finita. Lo studio delle foliazioni olomorfe (non singolari) sulle varietà complesse compatte ha ricevuto negli ultimi anni un contributo essenziale da parte di Ghys e Brunella. A Ghys si deve infatti la classificazione delle foliazioni olomorfe di codimensione 1 sulle varietà complesse omogenee compatte (cfr. [Ghys]), a Brunella quella delle foliazioni olomorfe di codimensione 1 sulle superfici complesse compatte (cfr. [Br1]). Nella tesi (cfr. capitolo 3), per quanto riguarda le varietà compatte omogenee, prenderemo in considerazione il caso dei tori complessi e delle varietà kaehleriane compatte omogenee. Nella parte finale del capitolo 3, si considera una classe di varietà complesse compatte non kaehleriane, le variet` a di Hopf diagonali, e si fornisce un risultato sul comportamento per perturbazioni delle foliazioni olomorfe di dimensione 1 su di esse, definite dal flusso di un campo vettoriale lineare X(z) = A · z su Cn . (Cfr. [Mall 1]). Per quanto riguarda le varietà non compatte, nel capitolo 4 si considera il problema della classificaione delle foliazioni olomorfe singolari trasverse al bordo di certi domini olomorficamente convessi di C2 , detti “ bidischi generalizzati”. Il risultato è il seguente: ogni siffatta foliazione viene localmente uniformizzata alla “ foliazione lineare iperbolica” di C2 definita da zdw + λwdz = 0. Successivamente, si considera il caso di una varietà strettamente parabolica, i.e. una varietà complessa con una funzione plurisubarmonica esaustiva τ tale che il suo logaritmo u := logτ soddisfi l’equazione di Monge-Ampère (ddc u)n = 0. Il sistema ddc u = 0 definisce su M una foliazione con foglie complesse di dimensione 1 detta foliazione di Monge-Ampère. L’ultima parte del capito4.

(7) lo 7 è dedicata al teorema di “ uniformizzazione” di D.Burns: ogni varietà strettamente parabolica è biolomorfa alla palla B(0, R) ⊆ Cn (dove eventualmente R = +∞), tramite un biolomorfismo che porta la sua foliazione di Monge-Ampère nella foliazione definita da τ = |z|2 . Data una varietà riemanniana di dimensione pari, un problema naturale è quello di determinare se esistano strutture complesse compatibili con la metrica; si tratta tuttavia di un problema molto difficile da attaccare già nel caso della sfera 6-dimensionale. Un punto di vista pi` u flessibile è quello delle strutture quasi -complesse (sqc). In questo contesto sono stati introdotti (cfr. [Atiyah]) gli spazi twistoriali e gli spazi twistoriali generalizzati. Si tratta di fibrati su un’assegnata varietà riemanniana (M, g), con fibre complesse. Nella tesi si considerano i seguenti spazi: π. • Lo spazio twistoriale “ classico” Z(M, g) → (M, g), dove M è una varietà riemanniana di dimensione 2n. La fibra π −1 (x) in un punto x ∈ M costituisce l’insieme delle strutture quasi-complesse su Tx M gx -ortogonali e positivamente orientate. π. • Lo spazio twistoriale generalizzato F(n) (M, g) → (M, g), dove dimR M = 2n + k. La fibra π −1 (x) è l’insieme dei sottospazi 2n-dimensionali Dx ⊆ Tx M muniti di una struttura complessa Jx su Dx che sia gx -ortogonale e positivamente orientata. π. • Lo spazio twistoriale generalizzato E(k) (M, g) → (M, g), la cui fibra sopra x ∈ M è l’insieme delle terne (Dx , Jx , Jx0 ), dove Dx ⊆ Tx M è un 2k-sottospazio, Jx è una struttura complessa ortogonale positivamente orientata su Dx , e Jx0 è un’analoga struttura complessa sul complemento gx -ortogonale (Dx )⊥ . Dallo studio della geometria di tali spazi, in particolare della presenza di sqc canoniche o, pi` u in generale, di foliazioni quasi-complesse, si spera di ottenere in certi casi informazioni sull’insieme delle sqc su M (cfr. [de Bart], [Bryant]). Nella tesi, dopo aver mostrato che le fibre di Z(M, g) sono sottovarietà complesse, e che F(n) (M, g) possiede una distribuzione quasi-complessa canonica, si caratterizza l’integrabilità di tale distribuzione (cfr. [MiglioriniTomassini]) in termini di una condizione che coinvolge la curvatura di (M, g). Si fornisce ([Migliorini-Tomassini]) una caratterizzazione delle sezioni olomorfe di F(n) (M, g). Si mostra inoltre che E(k) (M, g) possiede una coppia di distribuzioni quasi-complesse canoniche. 5.

(8) Desidero ringraziare il Prof. Giuseppe Tomassini per i suoi consigli la sua grande disponibilità nel seguirmi in questa tesi, e il Prof. Adriano Tomassini per un’utile discussione sull’ultimo capitolo.. 6.

(9) Capitolo 1 Foliazioni su Variet` a Differenziabili Questo capitolo costituisce un’introduzione ai concetti basilari della teoria delle foliazioni nell’ambito delle varietà differenziabili.. 1.1. Definizioni fondamentali.. Sia M una varietà differenziabile di dimensione n; quando non specificato diversamente, tutte le varietà saranno sempre considerate connesse, di Hausdorff, a base numerabile, e senza bordo. Nel seguito indicheremo con T M il fibrato tangente ad M e con T (M ) lo spazio delle sue sezioni differenziabili. Si denoterà poi con E • (M ) l’anello (graduato) delle forme differenziali reali di classe C ∞ su M , e con Diff r (M ) il gruppo dei diffeomorfismi di classe C r di M . Vogliamo formalizzare l’idea di una decomposizione di M in unione disgiunta di sottovarietà immerse di dimensione k dette “ foglie”, tale che il passaggio da una foglia a quelle vicine avvenga in modo regolare. Un modo per farlo è imporre che tale decomposizione sia localmente modellata sulla “ foliazione per sottospazi k-dimensionali affini” di Rn , {x + Rk }x∈Rn−k . Definizione 1.1.1 Sia M una n-variet` a differenziabile di classe C ∞ . Un atlante foliato F su M di dimensione k e di classe C (r,s) è un atlante di classe C s , 1 ≤ s ≤ r ≤ ∞, tale che: 1. F sia C s -compatibile con la struttura di M . ◦. ◦. 2. Per ogni carta (U, ϕ) ∈ F, si abbia ϕ(U ) = U 0 × U 00 ⊆ Rn (con “ ⊆” ◦. ◦. intendiamo “ aperto in”), con U 0 ⊆ Rk , U 00 ⊆ Rq , q = n − k, U 0 , U 00 dischi aperti. 7.

(10) 3. Se (Uα , ϕα ), (Uβ , ϕβ ) ∈ F e Uα ∩ Uβ 6= Ø, il cambiamento di coordinate ϕβ ◦ ϕ−1 α : ϕα (Uα ∩ Uβ ) → ϕβ (Uα ∩ Uβ ) sia della forma ϕβ ◦ ϕ−1 α (x, y) = (h1 (x, y), h2 (y)) ,. (1.1). con h1 di classe C r in x. Le carte (U, ϕ) di F si dicono carte foliate. Due atlanti foliati F 0 ed F 00 si dicono compatibili se F 0 ∪ F 00 è ancora un atlante foliato di M . Gli interi r ed s si dicono rispettivamente l’ordine di regolarit` a delle foglie e di regolarità trasversa di F. Se r = s, dicamo F è di classe C r . Gli insiemi ϕ−1 (U 0 × {c}), c ∈ U 00 , si dicono le placche di F, e gli insiemi ϕ−1 ({c} × U 00 ), c ∈ U 0 , sono le sezioni locali trasverse ad F. La compatibilità è chiaramente una relazione di equivalenza. Definizione 1.1.2 Una foliazione di dimensione k e di classe C (r,s) su M è una classe [F] di compatibilit` a di atlanti foliati con le suddette propriet` a. La coppia (M, [F]) è detta una varietà foliata. Si identificherà una foliazione con un suo particolare atlante rappresentativo, di solito massimale. Inoltre per semplicità, la classe di regolarità C (r,s) sarà sottointesa nel seguito, e anche la dimensione delle foliazioni. Se si preferisce, si può intendere sempre r = s, oppure addirittura r = s = ∞. La definizione (1.1.1) è di carattere locale; quello che ora vogliamo definire è il concetto globale di “ foglia”. Sia (M, F) una varietà foliata; si dice una catena di placche una qualsiasi successione finita di placche di F, {P1 , . . . , Ph } tale che Pi ∩ Pi+1 6= Ø∀i = 1, . . . , k − 1. Consideriamo su M la relazione di equivalenza ∼ per cui p ∼ q se e solo se esiste una catena di placche che comincia in p e termina in q, i.e. p ∈ P1 , q ∈ Ph . Si tratta di una relazione di equivalenza; che ∼ non dipenda dal particolare atlante rappresentativo di F verrà provato in seguito. Definizione 1.1.3 Una foglia di F è una classe di equivalenza di M/ ∼. Con M/F designamo l’insieme delle foglie di F. Ogni foglia è chiaramente connessa per archi. E’ facile provare che la naturale proiezione al quoziente πF : M → M/F è una mappa aperta, e che πF non è in generale una mappa chiusa (cfr. [Camacho]). Sia F di classe C (r,s) . Su ogni foglia L ∈ M/F si può definire una struttura di varietà differenziabile di classe C r , indotta dalle carte di F. Precisamente, dato p ∈ L, sia (U, ϕ) una carta foliata in p, con ϕ(U ) = U 0 × U 00 ⊆ Rn , come 8.

(11) nella definizione (1.1.1). Sia P la placca di U che contiene p, e scriviamo ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ); una carta di L in p è per definizione data da (P, ϕ1 |P ). Si dimostra facilmente che {(P, ϕ1 |P )}P,ϕ è un atlante di classe C r per L, in virt` u della regolarità di h1 nella definizione (1.1.1). Osservazione 1.1.1 La topologia che risulta cos`ı definita su L non coincide in generale con quella indotta da M , ma è pi` u fine, in quanto ogni aperto relativo di L è unione di aperti intrinseci (placche) di L, e in generale non è vero il viceversa. Denotiamo con a. MF =. L. L∈M/F. la varietà (non necessariamente connessa a base numerabile) unione disgiunta delle foglie di F, ognuna con la topologia intrinseca. Conseguenza quasi immediata di quanto detto sopra è la seguente: Proposizione 1.1.1 Sia F una foliazione di dimensione k e classe C (r,s) su M . Ogni foglia L ∈ M/F ammette una struttura di k-variet` a C r tale che ogni aperto coordinato sia una placca di F, e la mappa ι : L # M , ι(p) = p, sia un’immersione C r iniettiva. Inoltre, ι è un embedding se e solo se L è una sottovarietà di M . La mappa indotta dall’identit` a MF → M è un’immersione iniettiva.. 1.2. Foliazioni e decomposizione di M in sottovariet` a.. Una foliazione può essere definita anche tramite una decomposizione globale di M in sottovarietà C r localmente disposte come le placche di un atlante foliato. La nozione che ne risulta è equivalente alla definizione (1.1.2). Definizione 1.2.1 Data una decomposizione L = {Lλ }λ∈Λ di M in unione disgiunta di sottovarietà immerse connesse (per archi), di dimensione k e di classe C r , diciamo che L è una pre-foliazione di M se esiste un atlante foliato U = {Uα }α∈A tale che ∀α ∈ A, ∀λ ∈ Λ, Lλ ∩ Uα sia un’unione di placche di Uα . In tal caso U ed L si dicono associati. Per dimostrare che questa nozione di “ foliazione” è equivalente a quella data sopra, introduciamo gli “ atlanti regolari”. Definizione 1.2.2 Un atlante foliato U = {(Uα , ϕα )}α∈A di classe C r è detto regolare se: 9.

(12) 1. ∀α ∈ A, Uα ⊂⊂ Wα , dove (Wα , ψα ) è una carta foliata di un altro atlante compatibile con U. 2. Il ricoprimento {Uα }α∈A è localmente finito. 3. Se (Uα , ϕα ), (Uβ , ϕβ ) ∈ U, allora la parte interna di ogni placca chiusa P ⊆ U α incontra al pi` u una placca in U β . Con semplici argomenti di topologia generale si dimostra che ogni atlante foliato U ammette un raffinamento compatibile regolare. Si ha il Lemma 1.2.1 S ia U un atlante foliato regolare. Allora U induce un’ unica pre-foliazione LU associata ad U. Dimostrazione. Si ponga LU := M/ ∼, dove ∼ è la relazione di equivalenza già introdotta in (1.1.3). Risulta chiaro che valgono i seguenti fatti: 1. Ogni L ∈ LU è unione di placche; 2. L è localmente una varietà immersa (infatti le placche di U possono incontrarsi solo in aperti relativi); 3. I sottoinsiemi aperti delle placche P ⊆ L formano una base per una topologia localmente euclidea su L, rispetto alla quale L è connessa. 4. L è di Hausdorff. La cosa non ovvia per un atlante qualsiasi è che di fatto ogni L ∈ LU soddisfi il “ secondo assioma di numerabilità”: qui si sfrutta l’ipotesi che U sia regolare. Si dimostra infatti che l’insieme delle U-placche in L è al pi` u numerabile, per la locale finitezza di U, e per il fatto che ogni placca di una carta ne incontra al pi` u un’altra di un’altra carta. Dunque, dato U atlante foliato, viene indotta una pre-foliazione LU = M/ ∼ associata ad U. Inoltre si vede facilmente che ogni altra pre-foliazione associata ad LU coincide con LU . La funzione Ψ : U 7→ (l’unica LU associata ad U) è dunque ben definita. Ciò che vogliamo far vedere è che Ψ è costante sulle classi di compatibilità di atlanti foliati, e induce una corrispondenza iniettiva (e surgettiva) Ψ : F = [U] 7→ LF := LU . Premettiamo un utile 10.

(13) Lemma 1.2.2 (Cfr. [Candel-Conlon]). Sia U un atlante C r su M che verifichi tutte le proprietà della (1.1.1) tranne la (3.). Le affermazioni che seguono sono allora equivalenti: 1. U è un atlante foliato, i.e. verifica (3.). 2. Se P e Q sono placche di U, P ∩ Q è un aperto sia in P che in Q. Si ha la Proposizione 1.2.1 Siano U, V atlanti foliati su M , con U associato ad una pre-foliazione L di M . Allora U e V sono compatibili se e solo se anche V è associato ad L. Dimostrazione. Se anche V è associato ad L, ogni L ∈ L è unione di Vplacche e di U-placche. Nella topologia intrinseca di L, queste placche sono aperte, quindi si intesecano in aperti; inoltre, essendo essendo ogni placca connessa, l’intersezione di due placche è non vuota se e solo se sono contenute nella stessa foglia. Ne segue che U ∪ V è un atlante foliato secondo la (2.) del Lemma (1.2.2). Viceversa, se U è associato ad L, e V è compatibile con U, sia Q una placca di V; sia poi L ∈ L, w ∈ L ∩ Q, P ⊆ L una U-placca con w ∈ P . Allora P ∩ Q è un intorno aperto di w in Q, e P ∩ Q ⊆ L ∩ Q; dunque l ∩ Q è aperto in Q e, al variare di L, si ha che Q è unione disgiunta di aperti, ciascuno dei quali è intersezione di Q con una L ∈ L. Poiché Q è connesso, L ∩ Q = Q. Dunque una V-placca di Q è contenuta in una certa L ∈ L, e questo dimostra che V è associato ad L. Possiamo riassumere quanto detto in questo paragrafo nel seguente Teorema 1.2.1 Ogni foliazione F di classe C r e dimensione k individua un’ unica decomposizione di M , LF = M/F = {Lλ }λ∈Λ , in unione disgiunta di sottovarietà immerse, della stessa dimensione e della stessa regolarit` a di F, dette le foglie di F. Tale decomposizione è una pre-foliazione associata ad un qualsiasi atlante rappresentativo di F. Viceversa, data una pre-foliazione L associata ad un atlante foliato U, la foliazione F := [U] ha per foglie gli elementi di L ed è l’unica con questa propriet` a.. 1.3. Foliazioni tramite submersioni locali.. Sia M una n-varietà differenziabile. Diamo la seguente 11.

(14) Definizione 1.3.1 Un atlante trasverso su M è una collezione di coppie ◦. {(Uα , yα )}α∈A , dove Uα ⊆ M ed yα : Uα → Rq sono submersioni C r , tale che: 1. {Uα }λ∈A sia un ricoprimento di M ; 2. ∀α, β ∈ A, se Uα ∩ Uβ 6= Ø, esista un diffeomorfismo γαβ : yα (Uα ∩ Uβ ) → yβ (Uα ∩ Uβ ) di classe C r tale che su Uα ∩ Uβ valga uβ = γαβ ◦ yβ . Le yα si dicono submersioni (o mappe) caratteristiche, e il dato γ = {γαβ }α,β∈A si dice un cociclo di olonomia. Osservazione 1.3.1 Un cociclo di olonomia γ = {γαβ } verifica chiaramente le seguenti proprietà, dette “ propriet` a di cociclo”: 1. su yδ (Uα ∩ Uβ ∩ Uδ ) vale γαδ = γαβ ◦ γδβ ; 2. in particolare, si ha γαα = id; 3. γαβ = (γβα )−1 . Proposizione 1.3.1 Una foliazione F ha un suo naturale atlante trasverso. Viceversa, un atlante trasverso induce univocamente una foliazione. Dimostrazione. Consideriamo le coppie (Uα , yα ), dove le (Uα , ϕα ) sono carte foliate e ϕα = (xα , yα ). In questo caso γαβ = yα ◦ yβ−1 (dove con yα−1 intendiamo una sezione di yα : Uα → yα (Uα ) ⊆ Rq ) risulta un cociclo di olonomia. Viceversa, sia {(Uα , yα )} un atlante trasverso. Essendo yα : Uα → Rq una submersione, il teorema delle funzioni implicite garantisce che, dato p ∈ Ui , ◦. ◦. i = α, β, esistano V 0 ⊆ Rk , V 00 ⊆ Rq tali che V 00 ⊆ yi (Ui ), ed esistano ϕ : V → V 0 × V 00 , con V ⊆ Ui , tali che yα ◦ ϕ−1 : V 0 × V 00 → V 0 sia la proiezione sulla seconda coordinata. L’insieme delle carte della forma (V, ϕ) costituisce un atlanta foliato su M . Infatti: se (Vα , ϕα ), (Vβ , ϕβ ) hanno la forma suddetta, con Vα ∩ Vβ 6= Ø, ponendo ϕα ◦ ϕ−1 β (x, y) := (h1 (x, y), h2 (x, y)), si ha h2 (x, y) = γαβ (y), che dipende solo da y.. 12.

(15) 1.4. Strutture trasverse. Sia (M, F) una varietà foliata, e sia γ = {γαβ } il cociclo di olonomia di F. Supponiamo che S sia una qualche struttura geometrica su un aperto Ω di Rq contenente i domini e le immagini di γαβ per ogni αβ, e sia G ⊆ Diff r (Ω) il gruppo degli automorfismi di S. Definizione 1.4.1 Se ogni γαβ ∈ γ è la restrizione a dom(γαβ ) di un elemento di G, si dice che il cociclo γ è una G-struttura trasversa per la variet` a foliata (M, F). Esempio 1.4.1 Sia S una metrica riemanniana su Ω ⊆ Rq e G = Iso(Ω) il gruppo delle isometrie di Ω. Una variet` a foliata (M, F) che ammetta una Iso(Ω)-struttura trasversa si dice (trasversalmente) riemanniana. Esempio 1.4.2 Sia S un’orientazione di Ω, G = Diff +(Ω) il gruppo dei diffeomorfismi che conservano l’orientazione. Una variet` a foliata (M, F) che + ammetta una Diff (Ω)-sruttura trasversa si dice trasversalmente orientabile. Siano N , M , A ⊆ M varietà differenziabili. Ricordiamo che una mappa g : N → M di classe C r si dice trasversa (o trasversale) ad A, e si scrive g t A, se, per ogni p ∈ N , si ha dgp (Tp N ) + Tg(p) A = Tg(p) M. se g(p) ∈ A.. Definizione 1.4.2 Siano N una variet` a ed (M, F) una variet` a foliata. Un’applicazione g : N → M si dice trasversa ad F, e si scrive g t F, se, per ogni p ∈ N , si ha dgp (Tp N ) + Tg(p) (F) = Tg(p) M, dove con Tx F intendiamo il tangente Tx Lx alla foglia Lx di F passante per x ∈ M. Si ha g t F se e solo se g t L per ogni L ∈ M/F. Si ha poi Proposizione 1.4.1 (Cfr. [Camacho]). Sia F una foliazione C r su M , e sia g : N → M di classe C r . Le seguenti propriet` a sono allora equivalenti: 1. g t F. 2. Per ogni submsrsione caratteristica (U, y) di F, la composizione y ◦ g : g −1 (U ) → Rq è essa stessa una submersione. 13.

(16) Proposizione 1.4.2 (Cfr. [Camacho]) Sia F una foliazione C r su M e sia g : N → M un’applicazione C r con g t F. Allora esiste un’unica foliazione g ∗ (F) di classe C r su N , della stessa codimensione di F, tale che lesue foglie siano precisamente le componenti connesse degli insiemi g −1 (L), L ∈ M/F. In particolare, se g : N → M è una submersione, g ∗ (F) è ben definita per ogni foliazione F su M ed è detta il pullback di F rispetto a g.. 1.5. Il teorema di Frobenius. Ricordiamo che una distribuzione di k-piani (o una kdistribuzione) di classe C ∞ è un sottofibrato E ⊆ T M di rango k e di classe C ∞ . Indichiamo la fibra di E sopra il punto x ∈ M con Ex = E ∩ Tx M . Definizione 1.5.1 Data una foliazione F su M , di dimensione k e classe C ∞ , il suo fibrato tangente T F è la k-distribuzione [ TF = Tx Lx ⊆ T M, x∈M. dove, al solito, Lx denota la foglia di F per x. Una k-distribuzione E su M si dice involutiva se lo spazio delle sue sezioni Γ(E) di classe C ∞ è una sottoalgebra di Lie di T (M ), dove T (M ) := Γ(T M ). Sia x ∈ M . Una sottovariet` a integrale di E passante per x è una sottovarietà immersa N ⊆ M di dimensione k tale che x ∈ N ed Ey = Ty N ∀y ∈ N . Una distribuzione E si dice completamente integrabile se per ogni punto di M passa una sottovarietà integrale di E. L’annullatore di E è l’ideale graduato I • (E) =. ∞ M. I p (E) ⊆ E • (M ). p=0. dato da:

(17) I p (E) := ω ∈ E p (M )

(18) ω(v1 , . . . , vp ) = 0. ∀v1 , . . . , vp ∈ Γ(E) .. Vale il seguente importante Teorema 1.5.1 (Frobenius) (Cfr. [Candel-Conlon]) Sia E una k-distribuzione di classe C ∞ su M . Sono allora equivalenti: 1. E è completamente integrabile. 14.

(19) 2. I • (E) è un ideale differenziale graduato, i.e. d(I • (E)) ⊆ I • (E), dove d denota il differenziale esterno su E • (M ). 3. d(I 1 (E)) ⊆ I 2 (E). 4. E è involutiva. 5. Esiste un atlante foliato, di classe C ∞ e di dimensione n − k, su M tale che ogni placca sia una sottovariet` a integrale di E. Come conseguenza, per quanto detto sopra, si ha il Corollario 1.5.1 Una k-distribuzione E su M di classe C ∞ è completamente integrabile se e solo se si ha E = T F per una opportuna foliazione F di classe C ∞ e dimensione k su M . Quindi una foliazione C ∞ potrebbe essere definita come una k-distribuzione completamente integrabile, oppure involutiva, su M . Un’altra caratterizzazione di completa integrabilità è fornita dalla ◦. Proposizione 1.5.1 Siano ω 1 , . . . , ω q 1-forme differenziali su U ⊆ M linearmente indipendenti in ogni punto. Allora le seguenti propriet` a sono equivalenti. 1. La (n − q)-distribuzione su U q \. ker(ω j ). (1.2). j=1. è completamente integrabile. 2. Si ha dω j ∧ ω 1 ∧ . . . ∧ ω q = 0. (1.3). su U per j = 1, . . . , q. Pertanto una k-foliazione su M può essere definita assegnando un ricoprimento aperto {Uα } di M , e, per ogni α, una (n − k)-upla di 1-forme differenziali n−k 1 ω(α) , . . . , ω(α) linearmente indipendenti su Uα tali che verifichino la (1.3) per q = n − k, e che, per ogni α, β per cui Uα ∩ Uβ 6= Ø, esistano n(n − k) funzioni i gj,(α,β) ∈ C ∞ (Uα ∩ Uβ ) tali che i gj,(α,β) ∈ C ∞ ( Uα ∩ Uβ , GL(n − k, R) ), 15.

(20) e che sia i ω(β) =. n−k X. j i gj,(α,β) ω(α) ,. j = 1, . . . , n − k,. j=1. cosicché il fibrato (1.2) sia univocamente definito su Uα ∩ Uβ .. 1.6. Orientabilit` a. Ricordiamo che, su uno spazio vettoriale V di dimensione finita, due basi ordinate B = (u1 , . . . , un ), B 0 = (v1 , . . . , vn ) definiscono la stessa orientazione su V se ∃A ∈ GL(V) tale che vi = Aui , i = 1, . . . , n, con det A > 0. Un’orientazione su V è una classe di equivalenza di basi ordinate, secondo la relazione definita sopra. Sia E una k-distribuzione su M . si dice che E è orientabile se esiste un ricoprimento aperto {Uα }α∈A di M tale che: q,(α) 1. ∀α ∈ A, esistano campi vettoriali

(21) X 1,(α) , . . . , X ∈ T (Uα ) tali che. j,(α) ∀x ∈ Uα sia Ex = Span X (x)

(22) j = 1, . . . , q ; 1,(α). q,(α). 1,(β). 2. se Uα ∩Uβ 6= Ø, allora le basi ordinate (Xx , . . . , Xx ) e (Xx definiscano la stessa orientazione su Ex ∀x ∈ Uα ∩ Uβ .. Una varietà M si dice orientabile se T M è una n-distribuzione orientabile. Vale la Proposizione 1.6.1 Sia M una variet` a (connessa) ed E una k-distribuzione π f→ su M . esiste un rivestimento a due fogli M M tale che: 1. π ∗ (E) sia orientabile, f sia connessa se e solo se E non è orientabile. 2. M Corollario 1.6.1 Se M è semplicemente connessa, ogni k-distribuzione E su M è orientabile. In particolare, M è orientabile.. 1.7. Topologia delle foglie. Sia (M, F) una varietà foliata, con F di classe C r . Se sull’insieme delle fglie M/F si mette la topologia quoziente, si ottiene uno spazio, generalmente non di Hausdorff, detto lo spazio delle foglie di F, che è generalemnte troppo complicato da studiare direttamente. In questo paragrafo descriveremo sommariamente la topologia di una foglia, lungo una sezione locale di F che la incontri. 16. q,(β). , . . . , Xx. ).

(23) Definizione 1.7.1 Una qualsiasi sottovariet` a Σ ⊆ M , con x ∈ Σ, che sia trasversale ad ogni foglia che incontra si dice una sezione trasversa di F per x, o passante per x. Per ogni punto di M passa una siffatta varietà: basta considerare una sezione locale trasversa, erlativa ad una carta foliata, che passi per quel punto. Fissata una foglia L ∈ M/F, il comportamento delle foglie vicine, lungo una sezione trasversa in x ∈ L, non dipende da x, infatti: Teorema 1.7.1 (Uniformit` a trasversa.) Sia L ∈ M/F una foglia e siano q1 , q2 ∈ L. Esistono Σ1 e Σ2 , sezioni trasverse rispettivamente in q1 e q2 ed esiste un diffeomorfismo f : Σ1 → Σ2 , di classe C r , tali che, per ogni L0 ∈ M/F, si abbia f (L0 ∩ Σ1 ) = L0 ∩ Σ2 . (1.4) Dimostrazione. Prendiamo q1 , q2 ∈ L, e P1 , . . . , Ph una catena di placche da q1 a qh . Supponiamo che, per ogni j, Pj sia una placca in (Uj , ϕj ). Per quanto detto a proposito degli atlanti regolari (cfr. paragrafo 1.2.2), possiamo anche supporre che se Ui ∩ UJ 6= Ø si abbia Ui ∩ Uj ⊆ Wij , carta foliata di F. Sia ϕj (Uj ) + U1j × U2j ⊆ Rk × Rq . Fissiamo pj ∈ Pj ∩ Pj+1 , 1 ≤ j ≤ h − 1, j con p0 = q1 , ph = qh ; ϕj (Pj ) + (xj , yj ), Dj := ϕ−1 j (U2 ); per j = 0 sia poi j ϕ(P0 ) + (x0 , y0 ), D0 + ϕ−1 1 ({x0 } × U2 ). Essendo Wij ⊇ Ui ∪ Uj una carta locale, esiste un disco, di dimensione q, Bj con pj ∈ Bj ⊆ Dj ∩ Uj+1 , tale che ogni placca di Uj+1 tagli Bj al pi` u una volta. Possiamo allora definire una mappa fj : Bj → Dj+1 tramite fj (p) :≈ (Lp ∩ Uj+1 ) ∩ Dj+1 . Dunque fj (pj ) = pj+1 , ed fj : Bj → fj (Bj ) ⊆ Bj+1 è un diffeomorfismo di classe C r . E’ chiaro dalla costruzione che fj (L0 ∩ Bj ) = L0 ∩ fj (Bj ). Definiamo infine −1 Σ1 := disco ⊆ B0 ∩ f0−1 (B1 )∩, . . . , ∩f0−1 (, . . . , (fh−1 (Dh ))), ed f : Σ1 → Dh tramite f := fh−1 ◦ fh−2 ◦, . . . , ◦f1 ◦ f0 ,. Σ2 := f (Σ1 ) ⊆ Dh .. Risulta che f è un diffeomorfismo su Σ2 , e che, per ogni L0 ∈ M/F, si ha la (1.4) come voluto. Definizione 1.7.2 Dato un sottoinsieme X ⊆ M , se indichiamo con ∼ la relazione (1.1.3), poniamo

(24) . F(X) := x ∈ M

(25) ∃y ∈ X : x ∼ y 17.

(26) e chiamiamo F(X) la saturazione di X rispetto ad F, o la F-saturazione di X. Un sottoinsieme X ⊆ M per cui risulti F(X) = X si dice saturo, o F-invariante. Si prova facilmente che la saturazione di un sottoinsieme aperto di M è ancora un aperto di M (cfr. [Camacho]). Inoltre vale il Lemma 1.7.1 Sia X ⊆ M un sottoinsieme F-invariante di M . Allora anche la parte interna int(X), la chiusura X, e la frontiera ∂X sono sottoinsiemi F-invarianti di M . Dimostrazione. int(X) è caratterizzato dall’implicazione int(X) ⊆ A ⊆ X ⇒ A = int(X) ◦. per ogni aperto A ⊆ M . Siccome π := πF è una mappa aperta, si ha che π −1 (π(A)) è aperto. D’altra parte, essendo X invariante, si ha int(X) ⊆ A ⊆ X, per cui int(X) = A = π −1 (π(int(X))), i.e. int(X) è invariante. Chiaramente anche X c = M rX è invariante, quindi lo è la sua parte interna int(M r X). Ma int(M r X) = M r X, e quindi M r X è invariante. Quindi X è anch’esso saturo. Dalla relazione ∂X = X r int(X) segue l’invarianza della frontiera ∂X. La struttura topologica dell’intersezione di una foglia con una sezione locale trasversa è espressa dal seguente Teorema 1.7.2 Sia F una foliazione su M , L una foglia e Σ una sezione trasversa ad F tale che Σ ∩ L 6= Ø. allora si hanno le seguenti possibilit` a, che si escludono a vicenda: 1. Σ ∩ L è discreto, ed L è una sottovariet` a (propria) di M ; 2. la chiusura di Σ ∩ L in Σ contiene un aperto; questo accade se e solo se int L 6= Ø, e int L è un aperto che contiene L; 3. Σ ∩ L è un insieme perfetto (i.e. chiuso senza punti isolati), con parte interna vuota. Nei casi (1.),(2.),(3.) L si dice rispettivamente una foglia propria, localmente densa, o eccezionale. Dimostrazione. sia p ∈ Σ ∩ L, q ∈ L, q 6= p. Per il Teorema (1.7.1), esistono Σ1 , Σ2 , dischi con p ∈ Σ1 ⊆ Σ, q ∈ Σ2 , ed esiste un diffeomerfismo f : Σ1 → Σ2 tale che f (L0 ∩ Σ1 ) = Σ2 ∩ L0 ; in particolare f (L ∩ Σ1 ) = L ∩ Σ2 , per cui si ha L ∩ Σ1 ∼ = L ∩ Σ2 , e quindi anche L ∩ Σ1 ∼ = L ∩ Σ2 . 18.

(27) Nel caso in cui si consideri q ∈ Σ, possiamo prendere Σ2 ⊆ Σ. Si hanno le seguenti possibilità: (1.): p è isolato in Σ ∩ L, e quindi Σ ∩ L è discreto. Se non vale la (1.), (2.): p ∈ Σ ∩ L è interno a Σ ∩ L in Σ, e quindi Σ ∩ L ⊆ int(Σ ∩ L). Oppure (3.): int(Σ ∩ L) = Ø in Σ, ma Σ ∩ L non è discreto. Nel caso (1.), se p ∈ L, essendo Σ ∩ L discreto, data una carta foliata e2 in modo tale (U, ϕ) in p con ϕ : U → U1 × U2 , possiamo restringere U2 ⊇ U che risulti: e2 )∩ ϕ−1 ({x(p)} × U L={p}, per cui attorno a p, vicino alla foglia L, si ha che e2 → M ϕ−1 |U1 ×Ue2 : U1 × U è un embedding. Viceversa, se L ⊆ M è una sottovarietà, è chiaro che L ∩ Σ è discreto. Nel caso (2.), sia p ∈ L e D una sezione locale trasversa in p; allora p ∈ ◦ e2 ⊆ U tale che int(L ∩ D), i.e. esiste un disco U e2 ) ⊂ L ∩ D. ϕ−1 ({x(p)} × U e2 ). La saturazione F(A) risulta Dunque, L contiene l’aperto A := ϕ−1 (U1 × U dunque un aperto che contiene L. Osserviamo che L è F-invariante, ed L ⊇ A implica L = F(L) ⊇ F(A), che è un aperto; infine, il fatto che L ∩ A 6= Ø e che L sia una foglia ci dicono che L ⊆ F(A). Dunque L ⊆ F(A) ⊆ L. Essendo F(A) aperto, non può contenere punti di ◦. frontiera di L, per cui F(A) ⊆ int(L), quindi è int(L) 6= Ø, e si ha la tesi anche nel caso (2.). Il caso (3.) è logicamente complementare agli altri due. Diamo ora un criterio affinché una foglia sia propriamente immersa. Teorema 1.7.3 Sia L una foglia di F in M . Le propriet` a seguenti sono allora equivalenti. 1. L è una foglia chiusa. 2. Se (U, ϕ) è una carta foliata con U ⊂⊂ M , allora #(U ∩ L) < ∞. 3. l’immersione ι : L → M è una mappa propria. 19.

(28) In particolare, se L è chiusa, è una sottovariet` a di M . Dimostrazione. dimostriamo la catena di implicazioni: (1.) ⇒ (2.);. (2.) ⇒ (1.);. (1.) ⇒ (3.);. (3.) ⇒ (2.).. (1.)⇒(2.): Sia L chiusa, (U, ϕ) una carta di F, con ϕ(U ) = U1 × U2 , U ⊂⊂ M , U ∩ L 6= Ø. Sia Σ una sazione locale trasversa in U , Σ ∩ L 6= Ø. Le placche di U ∩ L sonno aperti disgiunti (nella topologia intrinseca) di L, per cui U ∩ L ha al pi` u una quantità numerabile di placche. Allora Σ ∩ L è numerabile. Essendo L chiusa, L ∩ Σ = L∩Σ è numerabile, allora il Teorema (1.7.2) dice che deve valere per forza il caso (1.7.2,(1.)), per cui L∩Σ = L ∩ Σ è discreto, e quindi finito, essendo Σ compatto. segue che U ∩ L contiene una quantità finita di placche. (2.)⇒(1.): Sia {pn }n∈N una successione con limn→∞ pn = p ∈ M , pn ∈ L∀n ∈ N. Sia (U, ϕ) una carta foliata in p, con un numero finito di placche; allora i punti pn stanno definitivamente in una stessa placca A, per cui p ∈ A ⊆ L, i.e. L è chiusa. (1.)⇒(3.): Sia L chiusa; allora ι : L → M è un embedding, e la topologia intrinseca di L è quella indotta da M . Se K ⊆ M è un compatto, K ∩ L = ι−1 (K) è compatto in L, pertanto ι è propria. (3.)⇒(2.): Sia U ⊂⊂ M , (U, ϕ) carta di F. Si ha che ι : L → M è propria, quindi U ∩ L = ι−1 (U ) ⊂⊂ L; pertanto U ∩ L ha un numero finito di placche. . 1.8. Fibrati foliati e loro gruppo di olonomia. Il concetto di olonomia serve a descrivere il modo in cui le foglie “ si muovono” attorno ad una fissata foglia, nell’intorno della foglia stessa. Può accadere che una foliazione F sia, in un intorno di una foglia, sufficientemente semplice da essere organizzata trasversalmente secondo un fibrato: in tal caso l’olonomia diventa un attributo globale della fibra. Trattimo dapprima questo caso, che è formalizzato dal concetto di fibrato foliato. π. Definizione 1.8.1 Un fibrato foliato è il dato di un fibrato M → B con fibra F di dimensione q, base B connessa, e M n-variet` a, e di una foliazione F ◦. su M tali che per ogni x ∈ M esista U ⊆ B connesso ed una banalizzazione locale ϕ di (M, π, B), di classe C r , tale che il diagramma π −1 (U ). ϕ. /U ×F. π. . U. . id. 20. π0. /U.

(29) sia commutativo e che porti F|π−1 (U ) nella foliazione prodotto {U × {y}}y∈F , rispettando le foglie. Notiamo che {(U × F, ϕ)} è allora un atlante foliato per F. Osservazione 1.8.1 1. F risulta per definizione trasversa alle fibre di (M, π, B), inoltre è facile provare che π|L : L → B è un rivestimento per ogni L ∈ M/F. In particolare, ogni fibra Fx = π −1 (x), x ∈ B, incontra ogni foglia di F. 2. Se (M, π, B) è un fibrato ed F una foliazione su M trasversa alle fibre di π, non è detto che (M, F, π) sia un fibrato foliato: pu` o infatti accadere che una fibra non incontri tutte le foglie di F. 3. Se la fibra F è compatta, la trasversalit` a tra foglie e fibre è sufficiente a fare di (M, F, π) un fibrato foliato. Sia {(Uα , ϕα )}α∈A un ricoprimento banalizzante di B per M ; poniamo ϕα = ≈ (xα , yα ), Wα := π −1 (Uα ); dunque yα : Wα = π −1 (Uα ) → Uα × F . W := {(Wα , (xα , yα ))}α∈A è un atlante foliato per F; si può scegliere {Uα } in modo tale che Uα ∩ Uβ sia, se non vuoto, connesso. Quindi, se Wα ∩ Wβ 6= Ø, ogni placca di Wα incontra esattamente una placca di Wβ . Definiamo un “ cociclo di olonomia” γ = {γαβ }αβ∈A , ponendo γαβ = yα ◦ yβ−1 : F → F ; si verificano facilmente le proprietà di cociclo di γ: γαβ ◦ γβδ = γαδ su Wα ∩ Wβ ∩ Wδ , γαα = idF , γαβ = (γβα )−1 su Wα ∩ Wβ . Definizione 1.8.2 Sia (M, F, π, B) un fibrato foliato, x0 , x1 ∈ B, ed s : [a, b] → B un cammino continuo da x0 ad x1 . Sia z ∈ Fx0 ; siccome Lz , la foglia di F per z, è un rivestimento di B, esiste un unico sollevcamento sez : [a, b] → Lz di s ad Lz con punto iniziale z. Definiamo allora la mappa hs : Fx0 → Fx1 z 7→ hs (z) := sez (b), detta la trasformazione totale di olonomia associata ad s. Ora suddividiamo s in sottocammini s = sm ∗ sm−1 ∗, . . . , ∗s0 in modo tale che =m (si ) ⊆ Uα , i = 0, . . . , m, con Uαi , xαi carte di B che banalizzano (M, F, π). Se C = (Uα0 , . . . , Uαm ) è la catena corrispondente, definiamo hC := γαm ,αm−1 ◦, . . . , ◦γα1 ,α0 ∈ Diff r (F ). 21. (1.5).

(30) Si ha yαm ◦ hs ◦ yα−10 , per cui hs è C r . E’ facile poi far vedere che hs∗τ = hs ◦ hτ ,. hs−1 = (hs ) ,. dunque hs : Fx0 → Fx1 è in particolare un diffeomorfismo C r . Definizione 1.8.3 Fissato x0 ∈ B, l’insieme delle trasformazioni totali di olonomia associate a lacci (“ loops”) in x0 è chiaramente un sottogruppo GF (x0 ) ⊆ Diff r (Fx0 ), e viene detto il gruppo totle di olonomia del fibrato foliato, in x0 . Dalla teoria dei rivestimenti segue che se s1 ' s2 sono cammini omotopi, con estremi fissati, in B, allora i loro sollevamenti ad Lz , z ∈ Fx0 che partono da z devono avere lo stesso punto finale, per cui hs dipende solo dalla classe di omotopia ξ = [s]. Possiamo quindi scrivere hξ in luogo di hs , e dare la seguente Definizione 1.8.4 La mappa h : π1 (B, x0 ) → GF (x0 ) ξ 7→ hξ è un omomorfismo di gruppi ben definito detto rappresentazione totale di olonomia del fibrato, in x0 . In un fibrato foliato, il gruppo totale di olonomia in un punto contiene tutta l’informazione significativa sulla foliazione. Vediamo perché. Definizione 1.8.5 Siano (M, F, π), (M 0 , F 0 , π 0 ) fibrati foliati su B, di classe C r , con fibre diffeomorfe F ed F 0 , e siano Diff r (Fx0 ). oo7 h ooo ooo ooo. π1 (B, x0 ). OOO OOO OOO OO' h0. cg. . Diff r (Fx0 0 ). le rispettive rappresentazioni di olonomia. h ed h0 si dicono coniugate se esiste un diffeomorfismo g : Fx0 → Fx0 0 , detto coniugio, tale che h0ξ = cg (hξ ) = g ◦ hξ ◦ g −1 per ogni ξ ∈ π1 (B, x0 ). I due fibrati si dicono isomorfi se esiste un diffeomorfismo ϕ : M → M 0 tale che sia un isomorfismo di fibrati e mandile foglie di F in foglie di F 0 . 22.

(31) Si ha il seguente importante risultato: Teorema 1.8.1 Siano (M, F, π), (M 0 , F 0 , π 0 ) come sopra. se le rappresentazioni totali di olonomia sono coniugate tramite un coniugio g : Fx0 → Fx0 0 allora esiste un isomorfismo di fibrati foliati ϕ : M → M 0 tale che ϕ|F0 = g. ∼ = Viceversa, se (M, F, π) → (M 0 , F 0 , π 0 ) come fibrati foliati tramite ϕ, allora chiaramente le olonomie sono coniugate. Dimostrazione. Se M ed M 0 sono isomorfi come fibrati foliati,allora è ovvio che le olonomie sono coniugate: un coniugio è ϕ|Fx0 , dove ϕ è un isomorfismo. La prima affermazione è quella non banale, i.e., dato un coniugio g : Fx0 → Fx0 0 , costruire un isomorfismo ϕ : M → M 0 . Sia Lz la foglia di F per z ∈ M (risp. L0w la foglia di F 0 per w ∈ M 0 ). Se σ è un cammino in Ly con punto iniziale y ∈ Fx0 , sia σ 0 l’unico sollevamento di π ◦ σ in L0g(y) con punto iniziale g(y) ∈ Fx0 0 . Definiamo ϕ nel modo seguente: sia z ∈ M , y ∈ Fx0 ∩ Lz . Poniamo ϕ(z) := σ 0 (b). Se ben definita, ϕ è l’isomorfismo richiesto, inoltre è l’unico per l’unicità dei sollevamanti. Quanto alla buona definizione di ϕ, si prova facilmente che ϕ non dopende da σ congiungente y a z, e poi che ϕ non dipende dalla scelta di y ∈ Lz ∩ Fx . Rimandiamo al paragrafo (5.2) per le definizioni riguardanti il gruppo strutturale di un fibrato (con le ovvie modifiche da apportare nel caso C r anziché C ∞ ). Sia G ⊆ Diff r (M ) il gruppo strutturale di un fibrato (M, π). Supponiamo che G sia totalmente sconnesso rispetto alla topologia C r di Diff r (F ). Allora le funzioni di transizione gαβ sono localmente costanti sull’intersezione degli aperti coordinati Uα ∩ Uβ . Definizione 1.8.6 Se (M, π) ammette una riduzione ad un gruppo strutturale totalmente sconnesso, allora (M, π) si dice flat, o piatto. Una caratterizzazione dei fibrati piattiin termini di folizioni è fornita dal seguente π. Teorema 1.8.2 Un fibrato M → B di classe C r è flat se e solo se esiste una foliazione F di classe C r su M tale che (M, F, π) sia un fibrato foliato. Dimostrazione. Supponiamo che (M, π) sia flat. Consideriamo l’atlante differenziabile {(Uα ×F, ϕα )} su M , dove {Uα } è un ricoprimento banalizzante di B e ϕα sono le banalizzazioni locali. Il cambiamento di carta è per ipotesi ϕβ ◦ ϕ−1 α (x, y) = (x, gαβ (y)) su Uα ∩ Uβ , con gαβ che non dipende da x. Segue 23.

(32) che si ha un atlante in cui le placche diverse si intersecano in aperti relativi, e ciò determina un’unica foliazione F su M (cfr. (1.2.2)). E’ facile verificare che F è trasversa alle fibre di π, e che L ∩ π −1 (Uα ) è un’unione disgiunta di placche. Dunque (M, F, π) è un fibrato foliato. Viceversa, sia (M, F, π) un fibrato foliato. Sia {Uα } un ricoprimento aperto di B, e siano ϕα : π −1 (Uα ) → Uα ×F banalizzazioni locali di (M, F, π) tali che ϕα porti ogni foglia di F|π −1 (Uα ) in una foglia Uα × {y} di Uα × F . Di conseguenza, le transizioni ϕβ ◦ ϕ−1 α : (Uα ∩ Uβ ) × F → (Uα ∩ Uβ ) × F preservano le foliazioni prodotto e quindi sono della forma: (x, y) 7→ (x, gαβ (y)), dove gαβ ∈ Diff r (F ). Ciò conclude la dimostrazione.. 1.9. . Olonomia di una foglia. In generale, una foliazione F nell’intorno di una foglia L non è necessariamente strutturata secondo un fibrato che ha per base L e fibre che incontrano tutte le foglie vicine ad L, come nel caso dei fibrati foliati. Tuttavia, a meno di sostituire il gruppo dei dei diffeomorfismi della fibra con il gruppo dei germi di diffeomorfismo di una qualsiasi sezione (locale) Σ, trasversa ad F, è ancora possibile definire un “ gruppo di olonomia” che descriva il comportamento di F vicino ad L. Sia γ : I = [0, 1] → L una curva continua e Σ0 , Σ1 sezioni trasverse in p0 = γ(0), e p1 = γ(1) rispettivamente. Sia (Ui )hi=0 una successione finita di carte locali e 0 = t0 < t1 <, . . . , < th+1 = 1 una partizione di [0, 1] tali che: 1. Se Ui ∩ Uj 6= Ø, allora si abbia Ui ∩ Uj ⊆ Wij , conb Wij dominio di una carta locale di F. 2. γ([ti , ti+1 ]) ⊆ Ui ∀ 0 ≤ i ≤ h. Diciamo che (Ui ) è una catena subordinata a γ. Per i = 1, . . . , h sia D(ti ) ⊆ Ui−1 ∩ Ui un q-disco trasverso passante per γ(ti ), q = codim(F); poniamo D(0) := Σ0 , D(1) := Σ1 . Osservazione. Per ogni x ∈ D(ti ) sufficientemente vicino a γ(ti ), una placca di Ui per x incontra D(ti+1 ) in un unico punto fi (x), dove dom(fi ) ⊇ Di ⊆ D(ti ), Di disco contenente γ(ti ). Definizione 1.9.1 La composizione fγ := fh ◦ fh−1 ◦, . . . , ◦f0 , 24.

(33) ben definita in un intorno di p0 ∈ Σ0 , si dice una mappa di olonomia(o trasformazione di olonomia) associata a γ. Proposizione 1.9.1 Siano F, L, Σ0 , Σ1 , p0 ∈ Σ0 ∩ L, γ ed fγ come sopra. Allora valgono le seguenti affermazioni: 1. Due mappe di olonomia associate a γ, relative a scelte diverse di dischi (D(ti ))ki=1 e di catene subordinate a γ, coincidono nell’intersezione dei loro domini. 2. fγ (p0 ) = p1 . 3. fγ −1 = (fγ )−1 . 4. Ogni fi è di classe C r ; fγ è un doffeomorfismo. 5. Se γ e è una piccola perturbazione di γ in L, allora fγe = fγ attorno a p 0 ∈ Σ0 . 6. Se ∆0 ⊆ U0 , ∆1 ⊆ U1 sono altri dischi trasversi in p0 , p1 , allora le proiezioni lungo le placche definiscono diffeomorfismi φ0 : δ0 → Σ0 ,. φ1 : ∆1 → Σ1 ,. e la relativa trasformazione di olonomia gγ : ∆00 ⊆ ∆0 → ∆1 è tale che gγ (x) = φ−1 1 ◦ fγ ◦ φ0 (x). x ∈ ∆00 ,. in particolare, se p0 = p1 , gγ ed fγ sono coniugate. Dimostrazione. Fissata la partizione e la catena subordinata a γ, cambiamo i dischi trasversi. Per ogni i c’è una naturale mappa βi definita proiettando lungo le placche del vecchio disco Di nelnuovo disco Bi , che risulta essere un diffeomorfismo di classe C r . −1 Allora fγ = fk ◦fk−1 ◦, . . . , ◦f0 = (βk+1 ◦gk ◦βk )◦(βk−1 ◦gk−1 ◦βk−1 )◦, . . . , ◦(β1−1 ◦ g0 ◦β0 ) = gγ , essendo β0 e βk+1 identità. Si dimostra in modo simile l’indipendenza dalla catena. Ciò prova la (1.). Le (2.),(3.),(4.) e (6.) sono immediate. Quanto alla (5.), se γ e è vicino a γ, basta osservare che esiste una catena subordinata ad entrambe le curve. Se g ∈ Diff(Σ0 , Σ1 ) (l’ordine di regolarità verrà sottointeso) è un diffeomorfismo che manda il punto p0 ∈ Σ0 in p1 ∈ Σ1 , denotiamo con gˇ il germe di g in p0 , i.e. la classe dei diffeomorfismi (locali) da Σ0 in Σ1 tali che p0 7→ p1 e che coincidono con g in un intorno di p0 . Se Σ0 = Σ1 e p0 = p1 , denotiamo con Diff(Σ0 , p0 ) l’insieme di tali germi. Vale la 25.

(34) Proposizione 1.9.2 Siano γ0 , γ1 : I → M cammini contenuti in L da p0 a 1 ; siano Σ0 , Σ1 sezioni trasverse in p0 , p1 , siano hγi : Σ0 ⊇ Di → Σ1 , i = 0, 1, ˇ γ i germi in p0 di tali le mappe di olonomia associate a γi , e siano φi := h i mappe. Allora: 1. Se γ0 ' γ1 rel{0, 1}, allora φ0 = φ1 . 2. Se Σ0 = Σ1 =: Σ e p0 = p1 =: p, la mappa γ 7→ hγ induce un omomorfismo di gruppi h : π1 (L, p) → Diff(Σ, p) ξ = [γ] 7→ h(ξ) := (hγ )ˇ ben definito. H. Dimostrazione. Sia H : I × I → L un’omotopia γ0 ' γ1 rel{0, 1}; per ogni curva γτ = H(·, τ ), esiste una catena subordinata a γτ . suddividiamo I in intervallini [τi , τi+1 ] = Ii , 0 = τ0 < τ1 <, . . . , < τk = 1 in modo tale che, se τ, τ 0 ∈ Ii , allora γτ e γτ 0 siano subordinate alla stessa catena (si può fare per continuità). Allora, per la Proposizione (1.9.1), punto (5.), si ha ˇ γτ = h ˇγ 0 . h τ Dunque, h : π1 (L, p) → Diff(Σ, p) è ben definita. Inoltre, per i punti (1.),...,(4.), h è chiaramente un omomorfismo (basta osservare che, se Cγ , Cη sono catene subordinate a γ, η, allora Cγ ∪ Cη è subordinata a γ ∗ η). . Definizione 1.9.2 La mappa h : π1 (L, p) → Diff(Σ, p) si dice rappresentazione di olonomia di L in p, e la sua immagine H`F (L, p) = H`(L, p) := h(π1 (L, p)) ⊆ Diff(Σ, p) si dice gruppo di olonomia di L in p. Osservazione 1.9.1 Dati p, p0 ∈ L, una curva α : I → L che li congiunge induce un isomorfismo α∗ : H`(L, p) → H`(L, p0 ), dato da ˇ α ◦ h([γ]) ◦ h ˇ α−1 . α∗ (h([γ])) := h Quindi, a meno di isomorfismo, si pu` o parlare del gruppo di olonomia H`F (L) di L. 26.

(35) Prendendo i differenziali delle trasformazioni di olonomia in luogo dei germi, si ottiene un altro gruppo interessante, che contiene soltanto l’informazione “ al prim’ordine” relativa all’olonomia. Definizione 1.9.3 Essendo L, Σ, p come sopra, la mappa ρ : π1 (L, p) → GL(Tp Σ) ξ = [γ] 7→ dp (hγ ) si dice rappresentazione di olonomia lineare di L in p, e la sua immagine (1). H`F (L, p) = H`(1) (L, p) ⊆ GL(Tp Σ) si dice gruppo di olonomia lineare di L in p. Siano F, F 0 due foliazioni su M , M 0 e siano L, L0 ⊆ M, M 0 foglie. Se M = M 0 ed L = L0 , si dice che F ed F 0 hanno lo stesso germe in L se esiste un intorno di L su cui coincidono. Poniamo una relazione di equivalenza ∼ ◦. sull’insieme delle coppie (U, F), con U ⊆ M intorno di L e F foliazione su U : ◦. (U, F) ∼ (V, G) se e solo se esiste W ⊆ M intorno di L tale che F|W = G|W . Definiamo n o

(36) ◦ FˇL := (U, F)

(37) L ⊂ U ⊆ M, F foliazione su U . E’ evidente che F ed F 0 hanno lo stesso germe in L se e solo se FˇL = Fˇ 0 L . Si dice poi, in generale, che F ed F 0 hanno germi isomorfi ( o sono localmente equivalenti ) in L, L0 se esistono aperti V ⊃ L, V 0 ⊇ L0 ed un diffeomorfismo Φ : V → V 0 , detto equivalenza locale, tali che Φ(L) = L0 e Φ mandi foglie di F|V in foglie di F 0 |V 0 ; la notazione è: FˇL ∼ =Φ FˇL0 0 . 0 0 Supponiamo che L, L ⊆ M, M siano foglie compatte. Si dice che le olonomie in L ed L0 sono C r -coniugate se esistono sezioni trasverse Σ, Σ0 in p ∈ L, p0 ∈ L0 ed esiste un omeomorfismo Ψ : L ∪ Σ → L0 ∪ Σ0 tale che Ψ(p) = p0 , Ψ|L e Ψ|L0 siano diffeomorfismi di classe C r , e si abbia: ˇγ ◦ Ψ ˇ Ψ◦γ ˇ ◦h ˇ −1 = h Ψ. ∀[γ] ∈ π1 (L, p).. Un fatto notevole è che, nel caso in cui L sia una foglia compatta, la sua olonomia determina completamente la foliazione in un suo intorno. Teorema 1.9.1 (Haefliger) Siano (M, F), (M 0 , F 0 ) variet` a foliate, L ⊆ 0 0 0 M , L ⊆ M foglie compatte. Allora, le olonomie di L ed L sono C r -coniugate se e solo se si ha FˇL ∼ =Φ FˇL0 0 per un diffeomorfismo locale Φ di classe C r . 27.

(38) Dimostrazione. Se FˇL ∼ =Φ FˇL0 0 , allora è ovvio che le olonomie sono coniugate: se Φ è un’equivalenza locale, allora il coniugio cercato è dato dal germe della restrizione di Φ ad opportune sezioni trasverse. Viceversa, supponiamo che le olonomie siano coniugate.essendo L, L0 compatte esistono intorni V, V 0 e retrazioni π : N (L) → L, π 0 : N (L0 ) → L0 con fibre trasverse ad F (cfr. [Candel-Conlon], pp. ...). Sia Ψ : L ∪ Σ → L0 ∪ Σ0 un omeomorfismo che realizza il coniugio di classe C r . A questo punto, si effettua una costruzione simile a quella della della dimostrazione del Teorema (1.8.1) sui fibrati foliati. Preso x ∈ N (L), vogliamo costruire un’equivalenza locale definendo Φ(x) per ogni x vicino ad L. Siano p := π(x), γ : I → L cammino da p0 a p, fγ la 0 trasformazione di olonomia associata a γ, ed fΨ◦γ quella associata a Ψ ◦ γ. 0 Definiamo quindi Φ(x) := fΨ◦γ (Ψ(fγ −1 (x))). l’indipendenza di Φ(x) da γ si prova applicando il fatto che Ψ è un coniugio tra le due olonomie. Il fatto che Φ è ben definita su tutto un imtorno V ⊆ N (L) di L, a valori in un intorno V 0 ⊆ N (L0 ) di L0 segue dalla compattezza di L. Infine, è chiaro per costruzione che Φ è un diffeomorfismo di classe C r e che rispetta le foglie di F|V ed F 0 |V 0 . Ricordiamo che un sottoinsieme Y di uno spazio topologico X si dice residuale se Y contiene un’intersezione numerabile di aperti densi, ovvero, se il suo complementare Y c è magro, i.e. contenuto in un’unione (al pi` u) numerabile di chiusi a parte interna vuota. In uno spazio localmente compatto X, un sottoinsieme residuale Y è denso. Proposizione 1.9.3 (Hector e.a.) (Cfr. [Godbillon]) Sia (M, F) una varietà foliata. L’unione delle foglie che hanno (gruppo di) olonomia banale è un sottoinsieme residuale di M . Dimostrazione. Sia U = {(Uα , ϕα )} un atlante foliato regolare per F localmente finito (in particolare numerabile), e Tα := Uα /(F|Uα ) lo “ spazio trasversale” di F|Uα . Indichiamo con TU la varietà (non a base numerabile) costituita dall’unione disgiunta dei Tα , e con ΓU l’insieme di tutte le mappe definite tra i Tα indotte dalle trasformazioni di olonomia tra sezioni locali trasverse Σα ⊂ Uα . E’ sufficiente dimostrare che l’insieme Z dei punti z ∈ TU che sono fissati da un elemento non banale di ΓU è magro. L’insieme delle catene di placche di U che partono e arrivano in uno stesso punto è numerabile. Ognuna di tali catene determina un elemento di ΓU , e in questo modo si ottengono tutti gli elementi di ΓU che hanno un punto fisso. Se γ è uno di questi elementi, l’insieme Fix(γ) dei punti fissi di γ è chiuso nel dominio di γ, dom(γ), e la sua frontiera ∂ Fix(γ) è un chiuso a parte interna vuota di TU . Osserviamo che l’insieme Z dei punti fissi non banali di TU è 28.

(39) contenuto nell’unione [. ∂ Fix(γ).. γ ∈ ΓU. Ciò conclude la dimostrazione.. 1.10. . Teoremi di stabilit` a. Un’importante conseguenza del Teorema (1.9.1) è la seguente: Teorema 1.10.1 (Stabilit` a locale in assenza di olonomia) Sia (M, F) una varietà foliata, L ⊆ M una foglia compatta. Se L ha olonomia banale, allora un intorno di L in M tale che sia unione di foglie diffeomorfe ad L. Dimostrazione. Se codim(F) = q, sia M 0 := L × Rq ed F 0 := {L × {y}}y∈Rq la foliazione prodotto. Chiaramente, L ≈ L × {0} ha olonomia banale. Siano p0 ∈ L e Σ, Σ0 sezioni locali trasverse ad L in p0 rispettivamente in M ed M 0 . Prendiamo un qualsiaisi diffeomorfismo ψ : Σ → Σ0 , con ψ(p0 ) = p0 . Siccome entrambe le rappreentazioni di olonomia h, h0 portano ogni laccio nel germe dell’identità, si ha che ψˇp0 è un coniugio per le due olonomie. La tesi segue dunque facilmente dal Teorema (1.9.1). di fatto, questo teorema può essere generalizzato nel seguente Teorema 1.10.2 (Stabilit` a locale; Reeb) Sia F una foliazione (di classe C 1 ) sulla varietà M . Supponiamo che F abbia una foglia L compatta con gruppo fondamentale finito (risp. gruppo di olonomia finito). Allora esiste un intorno saturo V di L in M tale che ogni foglia di F|V sia compatta con gruppo fondamentale finito (risp. con gruppo di olonomia finito). Inoltre, esiste un intorno tubulare π : V → L con π −1 (x) t F|V ∀x ∈ L. Infine, per ogni foglia L0 di F|V , π|L0 : L0 → L è un rivestimento di L di grado #H`F (L) < ∞. Dimostrazione. Osserviamo dapprima che, una volta dimostrato il teorema nella versione “ gruppo di olonomia finito”, segue immediatamente che vale anche nella versione “ gruppo fondamentale finito”, infatti, essendo H`(L, p) = h(π1 (L, p)), se π1 (L, p) è finito, lo è anche H`(L, p). Il gruppo H`(L, p), p ∈ L, è il quoziente di π1 (L, p) per un sottogruppo nore → L, di male. La teoria dei rivestimenti dice che esiste un rivestimento π : L 1 classe C , con gruppo di rivestimento H`(L, p). Essendo quest’ultimo gruppo e è una varietà compatta. Sia N (L) un intorno tubulare di finitoper ipotesi, L 29.

(40) e con la stessa fibra (il q-disco aperto, L in M ; allora π ∗ N (L) è un fibrato su L q o R ). e → N (L), e Questa costruzione di pullback induce un rivestimento π e : N (L) la foliazione F|N (L) può essere sollevata ad una foliazione Fe su N (L), trasvere e avente L e come foglia. sa alle fibre di N (L) e con π Sia pe ∈ L e(e p) = p. Siccome il gruppo di rivestimento è esattamente il e pe) → π1 (L, p) immerge gruppo di olonomia di L, la mappa iniettiva π∗ : π1 (L, e pe) in sul sottogruppo di π1 (L, p) con olonomia banale. π1 (L, e ha un intorno Ve in N (L) e che è un fibrato foliato Per il Teorema (1.10.1), L e avente fibre diffeomorfe ad Rq e tutte le foglie diffeomorfe ad L. Sia ora W := π e(Ve ) il corrispondente intorno (aperto perché π è aperta) di L in N (L) ⊆ M , consistente di foglie compatte, che risulta essere un fibrato foliato. ◦ H`(L, p) è finito, per cui esiste un intorno V ⊆ W di L che sia un fibrato foliato con gruppo totale di olonomia G isomorfo (tramite passaggio ai germi) ad H`(L, p). Se Vp è la fibra di V sopra p, si ha che il gruppo di olonomia di ciascuna foglia Lp0 , p0 ∈ Vp , è naturalmente isomorfo ad un quoziente del sottogruppo di G ∼ = H`(L, p) che fissa p0 . Da questo segue a tesi del teorema. Riportiamo un ulteriore fondamentale risultato di stabilità, questa volta globale, sempre dovuto a Reeb. Teorema 1.10.3 Sia F una foliazione di classe C 1 e di codimensione 1 sulla varietà compatta e connessa M . Se F ha una foglia L compatta con gruppo fondamentale finito, allora tutte le foglie di F sono compatte con gruppo fondamentale finito. Inoltre, se F è trasversalmente orientabile, F è isomorfa ad un fibrato su S1 con fibra L, in particolare, tutte le foglie sono diffeomorfe ad L. Riportiamo anche, dopo la definizione di perturbazione, un teorema di stabilità per perturbazioni dovuto ancora a Reeb. Definizione 1.10.1 Sia (M, F) una variet` a foliata di codimensione q. Sia k k k ≥ 1 un inter, e B ⊆ R la palla unitaria aperta. Una perturbazione a k parametri di F è una foliazione K su Bk × M , di codimensione q + k, tale che {x} × M sia un’unione di foglie di K per ogni x ∈ Bk e K|{0}×M = F. Le foliazioni Kx = K|{x}×M sono dette perturbazioni di F. Teorema 1.10.4 (Stabilit` a per perturbazioni) (Cfr. [Candel-Conlon]) Sia (M, F) una varietà foliata, L una foglia compatta di F con gruppo fon◦. damentale finito; sia W ⊆ M un intorno di L e sia K una perturbazione a 30.

(41) k parametri di F. Allora esiste > 0 tale che, per ogni x ∈ Bk con |x| < , la foliazione perturbata Kx abbia una foglia compatta Lx ⊂ W che sia un rivestimento di L di grado finito. Riportiamo poi semplicemente l’enunciato di altri due teoremi cardine della teoria delle foliazioni reali. Teorema 1.10.5 (Haefliger) Sia M una variet` a analitica reale, ed F una foliazione di codimensione 1. Allora ogni curva chiusa trasversa ad F rappresenta un elemento di ordine infinito in π1 (M ). Teorema 1.10.6 (Novikov) Sia M una 3-variet` a compatta con gruppo fondamentale finito, e sia F una foliazione di classe C 2 e codimensone 1. Allora F ha almeno una foglia compatta.. 31.

(42) 32.

(43) Capitolo 2 Foliazioni Complesse e Olomorfe 2.1. Foliazioni su variet` a complesse. Finora abbiamo considerato foliazioni nell’ ambito delle varietà differenziabili. Altrettanto naturale è porsi il problema di definire il concetto di foliazione in Geometria Complessa. Sia M una varietà complessa di dimensione n, e sia F una foliazione (per ora di classe C ∞ ) su M . Vogliamo modificare la definizione 1.1.1 in modo da imporre che F abbia una relazione con la struttura complessa di M , in particolare, vorremmo che le foglie fossero sottovarietà olomorfe immerse. Innanzitutto,l’immagine di una carta foliata sarà un aperto U 0 × U 00 ⊆ Cn ≈ Ck ×Cq , q := n−k, dove U 0 , U 00 sono dischi aperti di Ck e Cq rispettivamente. Riscriviamo la formula (1.1.(3.)), che esprime il cambiamento di carta: ϕβ ◦ ϕ−1 α (z, w) = (h1 (z, w), h2 (w)).. (2.1). Se imponiamo che la mappa h1 (·, w) : z 7→ h1 (z, w) sia olomorfa, sicuramente otteniamo che le foglie sono sottovarietà olomorfe immerse in M , cioè F ha foglie complesse. Tuttavia, sotto queste condizioni, non tutti gli oggetti correlati ad F sono olomorfi: per esempio, se p ∈ M , Lp è la foglia per p e T M è il fibrato tangente olomorfo di M , T Lp è un sottofibrato olomorfo di T M |Lp , ma T F ⊆ T M non è in generale olomorfo. Questo accade, intuitivamente, perché lo ”spostamento trasversale” da una foglia all’ altra è C ∞ -liscio, ma non analitico. Quando si impone che h1 ed h2 siano entrambe olomorfe, si ottiene invece una foliazione tale che T F sia un sottofibrato olom. di T M .. 33.

(44) Definizione 2.1.1 Siano M una variet` a complessa ed F una foliazione le cui carte foliate siano come la (2.1). F si dice una foliazione semi-olomorfa o una foliazione (trasversalmente C ∞ ) con foglie complesse, o ancora una foliazione complessa (trasversalmente C ∞ ) se h1 (·, w) : z 7→ h1 (z, w) è olomorfa ∀w ∈ U 00 . In questo caso, M si dice foliata con foglie complesse. In particolare, se h1 ed h2 sono entrambe mappe olomorfe, F si dice una foliazione olomorfa (regolare). Proposizione 2.1.1 (Principio di identit` a) Sia M una variet` a complessa 0 ed F, F due foliazioni olomorfe su M . Supponiamo che F|U = F 0 |U , dove U ⊆ M è un aperto. Allora si ha F = F 0 . Dimostrazione. Definiamo Ω := {x ∈ M | esiste un intorno aperto Ux di x tale che F|Ux = F 0 |Ux }. Ω è non vuoto perché contiene U e risulta aperto in M perché unione di aperti. Proviamo che è chiuso. Sia p ∈ ∂Ω e consideriamo una carta foliata per F in p di dominio V e una carta foliata per F 0 di dominio V 0 , che possiamo supporre contenuto in V . Sull’aperto U0 := Ω∩V 0 si ha F|U0 = F 0 |U0 , per cui ciascuna placca di F|U0 coincide con una placca di F 0 |U0 . Segue dal principio di identità delle funzioni olomorfe che una sottovarietà olomorfa chiusa in U0 si prolunga in al pi` u un modo ad una sottovarità olomorfa chiusa di V 0 . Ciascuna placca di F 0 |U0 è una sottovarietà olomorfa chiusa e si prolunga alla corrispondente placca di F 0 |V 0 . Da ciò segue che F|V 0 = F 0 |V 0 e quindi la tesi. Esempio 2.1.1 Sia X una variet` a analitica reale di dimensione n, ed F una foliazione analitica reale su X; siano {(Uα , ϕα )} un atlante foliato per X e ϕαβ : Vαβ −→ Vβα le mappe di transizione di carta, con Vαβ := ϕα (Uα ∩ Uβ ). Essendo diffeomorfismi analitici reali, tali mappe si sviluppano in serie di potenze: ∞ X X ϕαβ (x) = aI x I j=0 |I|=j. con x in un aperto eventualmente pi` u piccolo che denotiamo ancora Vαβ . Le corrispondenti serie complesse ϕ eαβ (z) =. ∞ X X j=0 |I|=j. 34. aI z I.

(45) definiscono dei biolomorfismi ϕ eαβ : Veαβ −→ Veβα dove Veαβ ,Veβα sono intorni n n aperti di Vαβ ,Vβα in C ⊇ R . Dunque, l’insieme !, e := X. a. Veαβ. ( identificazioni indotte dalle mappe ϕ eαβ ). αβ. risulta dotato di una struttura di variet` a complessa di dimensione n, per e è detta una complessificazione cui le ϕ eαβ siano le transizioni di carta. X e come sottovariet` di X. Chiaramente, X ,→ X a analitica reale. Siccome le ϕαβ hanno la forma (1.1), anche le ϕ eαβ , essendo definite dalle stesse serie di potenze, hanno la stessa forma, per cui definiscono una foliazione olomorfa Fe e Inoltre, il germe della variet` e F) e lungo X è univocamente su X. a foliata (X, e 0 , Fe0 ) è un’ altra complessificazione di (X, F), allora determinato, i.e., se (X e di X in X e e un intorno U e 0 di X in esistono rispettivamente un intorno U e 0 ed un biolomorfismo ψ : U e −→ U e 0 che è l’ identit` X a su X e che manda Fe in Fe0 . Osservazione 2.1.1 Data X, la questione di sapere se esista o no una e compatta costituisce un problema aperto. complessificazione X. Esempio 2.1.2 (Foliazioni lineari) Sia T = Cn /Λ un toro complesso, con Λ un reticolo di Cn . Consideriamo una foliazione F0 per sottospazi affini kdimensionali di Cn . Essendo la distribuzione T F0 Λ-invariante, essa passa al quoziente dando luogo ad una foliazione olomorfa F su T. Osserviamo che, a seconda di Λ, le foglie di F possono essere compatte oppure dense. Esempio 2.1.3 (Tourbillonnement) Sia T come sopra, e supponiamo che esista una forma lineare π e : Cn −→ C che mandi Λ su un reticolo Λ0 di C. Passando al quoziente, si ha π : T −→ C, dove C = C/Λ0 è una curva ellittica. Sia u una funzione meromorfa non costante su C, e sia ω una 1forma olomorfa su T, quindi chiusa e a coefficienti costanti. Allora la forma meromorfa su T Ω := π ∗ (udz) + ω. (2.2). è chiusa e definisce una foliazione olomorfa F fuori dal divisore dei poli P = π −1 (supp(u)∞ ). Mostriamo che F si prolunga ad una foliazione olomorfa Fe su T. Se ω si annulla lungo le fibre di π, allora F è la foliazione definita da π (i.e. che ha 35.

(46) π come submersione caratteristica globale). Altrimenti, a meno di scegliere le coordinate (z1 , ..., zn ) su Cn , la forma Ω, sollevata a Cn , si scrive u(z1 )dz1 + dz2 . Vicino ad un polo α di u, si scrive u(z1 ) =. 1 · v(z1 ) (z1 − α)m. con m ≥ 1, v olomorfa e v(α) 6= 0. Allora F è localmente determinata dalla forma v(z1 )dz1 + (z1 − α)m dz2 , che si prolunga ad una forma olomorfa non singolare in z1 = α. Le controimmagini tramite π dei poli di u sono foglie compatte; le altre foglie sono senza olonomia. Si tratta di una versione complessa del cosiddetto processo di “ tourbillonnement” di Reeb (cfr. [Can-Con]).. 2.2. Integrabilit` a nel caso regolare. Sia M una varietà complessa di dimensione n. Utilizzeremo le seguenti notazioni: O = OM = fascio (dei germi) di funzioni olomorfe su M ; ΩM = fascio dei germi di 1-forme olomorfe su M ; Ω(M )= spazio delle 1-forme olomorfe su M ; Θ = ΘM = fascio (dei germi) di sezioni olomorfe di T M , i.e. fascio dei campi vettoriali olomorfi su M . Indichiamo poi con Div(M ) il gruppo abeliano dei divisori su M e con Pic(M ) il gruppo abeliano delle classi di isomorfismo di fibrati lineari olomorfi su M . Ricordiamo che Div(M ) corrisponde al gruppo delle sezioni globali del fascio ∗ , dove M∗M è il fascio dei germi delle funzioni meromorfe non nulle M∗M /OM ∗ ed OM il fascio dei germi delle funzioni olomorfe mai nulle. Un divisore si P denota con una somma formale α nα Yα , dove nα ∈ Z ed Yα ⊆ M sono sottovarietà analitiche di codimensione 1, localmente finita nel senso che, se x ∈ M , esiste un intorno U di x con y ∈ Yα ∩ U al pi` u per un numero finito di indici α. Sia ora F una foliazione olomorfa su M ed f : U −→ U 00 una submersione locale che definisca F sull’ aperto U . Definiamo su U il fibrato (Tf )x := {ϑ ∈ (T M |U )x | f∗ (ϑ) = 0} = (T Lx )x . 36.