Circuiti mutuamente accoppiati

Schede di Elettrotecnica

Corso di Elettrotecnica 1 - Cod. 9200 N

Diploma Universitario Teledidattico in

Ingegneria Informatica ed Automatica

Polo Tecnologico di Alessandria

A cura di Luca FERRARIS

Scheda N° 15

Si parla di circuiti magneticamente accoppiati quando l’accoppiamento tra 2 maglie avviene attraverso un campo magnetico.

La corrente variabile i1 genera un flusso magnetico ϕ1;

una parte di ϕ1 si concatena solo con l’avvolgimento 1

(ϕ11), il restante flusso si concatena anche con

l’avvolgimento 2 (ϕ12).

Nell’avvolgimento 2 viene quindi indotta una tensione v2:

v N d

dt

2 = 2⋅ ϕ12 ;

poiché ϕ12 è legato alla corrente i1, v2 sarà proporzionale alla rapidità di variazione di i1:

v M di dt

2 = ⋅ 1, dove M è denominata mutua induttanza fra i due avvolgimenti.

In definitiva si ottiene: v N d dt M di dt 2= 2⋅ 12 = ⋅ 1 ϕ

L’accoppiamento mutuo è simmetrico rispetto ai due avvolgimenti, e risultati analoghi si ottengono facendo circolare una corrente variabile i2 nell’avvolgimento 2.

Le equazioni generali per due circuiti mutuamente accoppiati sono le seguenti:

v L di dt M di dt v L di dt M di dt 1 1 1 2 2 2 2 1 = ⋅ ± ⋅ = ⋅ ± ⋅      

Le tensioni dovute a mutua induttanza possono essere di segno uguale o opposto a quelle di auto induttanza a seconda del senso di avvolgimento delle spire. Per definirne i segni esatti si deve applicare la regola della “mano destra” per ciascuno degli avvolgimenti percorsi da corrente, e verificare se i flussi (definiti dalla direzione del “pollice”) sono tra loro concordi (segno “+”) o discordi (segno “-”).

Su ciascun avvolgimento viene segnato un punto (•) in corrispondenza ai terminali che presentano la stessa polarità quando si tenga conto della sola mutua induzione; a questo punto, quando entrambe le correnti entrano (o escono) da due avvolgimenti accoppiati attraverso i terminali contrassegnati con punti, i segni dei termini di mutua induttanza M sono identici a quelli di auto induttanza L.

Pertanto, fissando le convenzioni di segno degli utilizzatori ai morsetti contrassegnati con il pallino • si ottengono le seguenti equazioni:

v L di dt M di dt v L di M di 1 1 1 2 2 2 2 1 = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅       N₁ v₁ i₁ N₂ v2 i₂ ϕ11 ϕ12 L₂ v2 i₂ L₁ v₁ i₁ M L₂ v2 i₂ L₁ v₁ i₁

E

SERCIZIO

15.1

Valutare l’impedenza Z per i bipoli in figura.

L₁ M L₂ L₁ M L₂ a) b) Bipolo a): r r r r r r V j L I j M I V j M I j L I 1 1 1 2 2 1 2 2 = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅     ω ω ω ω ma r r r r r r r r r I I I V j L I j M I V j M I j L I = = − ⇒ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅     1 2 1 1 2 2 ω ω ω ω

(

)

r r r r V=V₁−V₂ =jω⋅ L₁−M− +M L₂ ⋅I ⇒ ⇒ Z_eq =jω⋅

(

L₁+L₂−2M

)

Bipolo b): r r r r r r V j L I j M I V j M I j L I 1 1 1 2 2 1 2 2 = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅     ω ω ω ω ma r r r r r I I I V V = − = −     ⇒ 1 2 1 2

(

) (

)

r r r r r r r r V₁= −V₂ ⇒ L₁I₁+MI₂ = −MI₁−L₂I₂ ⇒ L₁+M I₁+ L₂+M I₂ =0

(

)

(

)

(

)

₍

(

)

₎

r r r r r r r r I I I M I I M I I M M I 1 2 2 2 0 2 2 = + ⇒ + + + + = ⇒ = − + + + ⋅ L L L L L 1 2 1 1 2

(

)

(

)

₍

(

)

₎

r r r r r r r r r r r V V I MI I I MI I M I I M M I = = + = + + = + + = − + + + ⋅ 1 1 2 2 2 2 2 2 L L L L L L L L 1 1 1 1 1 1 1 2 ⇒

(

)

(

)

Z_eq = ⋅ − + + j L L M L L M ω 1 2 2 1 2 2

L

₁

M

v

₂

L

₂

i

₂

v

₁

i

₁

i

v

L₁ M L₂ v₂ i₂ v₁ i₁ i v

Determinare V ed r rI all’ingresso.

• X1 = 25 Ω

• X2 = 40 Ω

• XM = 10 Ω

Equazioni di accoppiamento magnetico:

r r r r r r V j L I j M I V j M I j L I 1 1 1 2 2 1 2 2 = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅     ω ω ω ω S= V_u ⋅I_u = ⇒   1000 VA sen = 0,6 cos = 0,8 ϕ ϕ

Ponendo rI_u sull’asse reale si ha: r

V_u =80+ ⋅j 60 V

Dalla maglia del circuito di destra:

(

)

r r r

V₂ =V_u+ ⋅ =R I_u 580+ ⋅j 60 V

Dalla 2a equazione di accoppiamento magnetico:

(

)

r r r r I I V j X I j X_M j = = − ⋅ ⋅ = − ⋅ 1 2 2 2 46 58 A Quindi:

(

)

r r r r r r V=V₁+ ⋅ = ⋅R I j X I₁ − ⋅j X_{M u}I + ⋅ =R I 1910+ ⋅j 470 V X₁ v i ₁₀ Ω X₂ 50 Ω X_M V_u =100 V I_u =10 A Q = 600 VAr X₁ v₁ i_{1 10} Ω X₂ v2 i_{2 50} Ω X_M v₁ i₁ V_u =100 V I_u =10 A

E

SERCIZIO

15.3

Determinare P e Q erogate dal generatore sinusoidale E:

• E = 10 V

• XM = 1 Ω

• R = XC = XL = 2 Ω

Equazioni di accoppiamento magnetico: v j i j i v j i j i 1 1 2 2 1 2 2 2 = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅    (1) (2) Vincoli circuitali:

(

)

v v i j X v j i i i i C 1 2 2 2 2 1 2 2 = + ⋅ − ⋅ = − ⋅ = +    (3) (4) Dalla eq. (3): v₁=v₂− ⋅ = ⋅j2 i₂ j i₁ (5) Dalla eq. (1):

(

)

v₁= ⋅j i₁=j2⋅ + ⋅ −i₁ j i i₁ ⇒ i = 0

Perciò dal generatore non viene prelevata alcuna potenza.

C R L E I + L L M C R L E I + L L v₁ v₂ i₂ i₁ M

Determinare la corrente nel condensatore C.

• E = 10 V

• XM = 1 Ω

• R = XC = XL = 2 Ω

Equazione di equilibrio al nodo: I₁=I₂+I₃

[

]

(

)

[

]

[

(

)

]

[

]

_[

(

)

_]

V j LI MI MI j L M I V j LI MI MI j L M I MI V j LI MI MI j L M I MI 1 1 2 3 1 2 2 1 3 2 3 3 3 1 2 3 2 2 2 = ⋅ + + = + = ⋅ + + = + + = ⋅ + + = + +       ω ω ω ω ω ω V_C =X I_{C 3} r E =Vr₁+Vr₃+Vr_C+ ⋅ =R Ir₁

(

)

(

)

= jω⋅ +L M Ir₁+jω⋅ +L M Ir₃+2MIr₂−jX I_Cr₃+ ⋅ =R Ir₁

(

)

(

)

= +2 j I5 r₂+ +2 j I4 r₃ r E =Vr₁+Vr₂+ ⋅ =R Ir₁

(

)

(

)

= jω⋅ +L M I₁+jω⋅ +L M I₂+2MI₃+ ⋅ =R I₁

(

)

(

)

= +2 j I6 r₂+ +2 j I5r₃

(

)

(

)

(

)

(

)

10 2 5 2 4 10 2 6 2 5 2 3 2 3 = + + + = + + +     j I j I j I j I r r r r da cui: r I₃= ⋅j 10 A C R L E + L L M M M C R L E + L L V₂ I_{2 V} 3 I₃ I₁ V₁ V_C