CA-03-FunzioneDiTrasferimento

(1)

Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia Automation

Robotics and System CONTROL

Corso di laurea in Ingegneria

Meccatronica

CONTROLLI AUTOMATICI E

AZIONAMENTI ELETTRICI

CA - 03 – FUNZIONE DI

TRASFERIMENTO

Cesare Fantuzzi (cesare.fantuzzi@unimore.it) Alberto Bellini (alberto.bellini@unimore.it)

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Modelli matematici

סּ Generica equazione descrittiva di un modello matematico

lineare stazionario del tipo

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

0 1 1 1 0 1 1 1 1

t

u

b

dt

t

du

b

dt

t

u

d

b

dt

t

u

d

b

t

y

a

dt

t

dy

a

dt

t

y

d

a

dt

t

y

d

a

m m m m n n n n n n

+

=

+

− − − − −

equazioni differenziali lineari ordinarie di ordine n.

∑

= =

=

m j j j j n j j j j

dt

u

d

b

dt

y

d

a

0 0 0 1 1

dt

m m −

(3)

Trasformata di Laplace

סּ Definizione di uno strumento matematico per analizzare

equazioni differenziali perdi identificare le “proprieta’

strutturali dei sistemi”

STRUMENTO MATEMATICO:

(4)

Trasformata di Laplace

סּ Data una funzione reale di variabile reale

ℜ

→

ℜ

∈

t

f

(

)

:

סּ Sia la variabile complessa

ω

σ

j

s

=

+

סּ Si definisce la Trasformata di Laplace come:

∫

+∞ −

=

0

)

(

)

(

s

f

t

e

dt

F

st

סּ Nell’ipotesi che l’integrale generalizzato converga.

(5)

Trasformate di Laplace

סּ La trasformazione di Laplace associa in modo biunivoco a una

generica funzione del tempo f(t) a valori reali o complessi una

funzione F(s) a valori in genere complessi e definita per valori di s pure complessi.

סּ Si usa la notazione

che ha il significato: “F(s) è la trasformata di Laplace di f(t)”.

סּ Per la biunivocità della corrispondenza, si può scrivere

(6)

Rappresentazione

Cartesiana di s

Piano di Gauss

Parte reale

σ

s

=

σ

+

j

ω

Numero complesso Parte immaginaria

ω

I numeri complessi si possono rappresentare come punti di un piano (piano di Gauss), i cui assi coordinati si dicono asse reale ed asse immaginario.

(7)

Rappresentazione

Polare di s

Piano di Gauss

))

sin(

)

(cos(

ϕ

ρ

ϕ

j

e

s

=

j

=

+

Numero complesso Modulo

ρ

Argomento

ϕ

(8)

Funzioni di variabili complesse

סּ Nella forma cartesiana:

– è la parte reale:

– è la parte immaginaria:

סּ Nella forma polare:

– è il modulo:

– è l’argomento:

סּ Dalla relazione

si deducono le seguenti formule per il passaggio dalla forma polare alla forma cartesiana e viceversa

(9)

Funzioni di variabili complesse

סּ Una funzione di variabile complessa

viene assegnata specificando le due funzioni di variabile reale e , che ne rappresentano la parte reale (u) e la parte immaginaria (v), e stabilisce una corrispondenza biunivoca fra i punti di due piani: il pian di

Gauss della variabile indipendente s e quello della variabile dipendente w.

(10)

Proprietà delle trasformate

סּ Linearità

סּ

(11)

Proprietà delle trasformate

סּ Traslazione nel tempo

סּ Traslazione nella frequenza

סּ Convoluzione nel tempo

(12)

Proprietà delle trasformate

(13)

Proprietà delle trasformate

סּ Integrazione

סּ Teorema del valore iniziale

(14)

Trasformate di Laplace

t δ(t) u(t) 1 Impulso t 1 t Gradino unitario Rampa unitaria

(15)

Trasformate di Laplace

t t2_/2 a > 0 Parabola unitaria a > 0 t eat a = 0 a < 0 Esponenziale

(16)

Trasformate di Laplace

cos ω t t Cosinusoide sin ω t sin ω t t Sinusoide

(17)

Trasformata Generalizzata

סּ Le trasformate di Laplace viste in precedenza, sono tutte

derivate della Trasformata Generalizzata:

dove dove

– n è un generico numero intero positivo

– a è una costante reale o complessa

סּ La funzione da trasformare e’ identicamente nulla per

valori del tempo negativi: di conseguenza può essere presente una discontinuità nell'istante t = 0.

(18)

Assignment 3.1

סּ Riportare i passaggi del calcolo della trasformata

(19)

Trasformate di Laplace

Tabelle delle Tabelle delle

(20)

Esempio 1

Si consideri la funzione

Ricordando la proprietà di linearità, e utilizzando le tabelle, è immediato ottenere Ricordando la proprietà di linearità, e utilizzando le tabelle, è immediato ottenere

(21)

Esempio 2

Sia dato il segnale di figura

Il segnale può essere pensato come somma di un gradino ritardato e di una rampa (ritardati di

t f(t)

Il segnale può essere pensato come somma di un gradino ritardato e di una rampa (ritardati di 5 sec)

t f₁(t)

t f₂(t)

(22)

Funzione di trasferimento

סּ _{A partire dal modello matematico:}

סּ Dato un generico segnale f(t), la trasformata di Laplace per la sua generica

derivata i-esima è data da

(23)

Funzione di trasferimento

סּ _{Trasformando (teorema delle derivate) si ottiene}

(24)

Funzione di trasferimento

סּ Da questa risulta che la trasformata di Laplace Y(s) della soluzione

dell'equazione differenziale è data dalla somma delle due funzioni

con

che si possono riconoscere come le trasformate dell'evoluzione libera e dell'evoluzione forzata.

(25)

Funzione di trasferimento

סּ _{Si è ottenuta la relazione}

(26)

Funzione di trasferimento

סּ Spesso nell'ambito dei controlli automatici si fa riferimento a sistemi

inizialmente in quiete, cioè con tutte le condizioni iniziali nulle.

סּ La trasformata di Laplace del segnale di uscita si ottiene semplicemente

moltiplicando quella del segnale di ingresso per la “funzione di moltiplicando quella del segnale di ingresso per la “funzione di trasferimento” del sistema

(27)

Definizione di Funzione di

Trasferimento

סּ La funzione di trasferimento di un sistema è una

funzione G(s) della variabile s, moltiplicando la quale per la trasformata di Laplace X(s) della funzione di ingresso si ottiene la trasformata di Laplace dell'evoluzione

forzata

G(s)

(28)

Esempio

סּ Per questo circuito, si può scrivere l'equazione (legge di Kirhhoff):

(29)

Esempio

סּ _{Si considerano le condizioni iniziali}

e si applica all'ingresso un gradino di tensione di ampiezza V₀. Trasformando ambo i membri, si ottiene

סּ Notando che è

(30)

Esempio

סּ _{Per la soluzione completa dell'equazione differenziale occorre naturalmente antitrasformare}

l'espressione ottenuta.

סּ _{In questo caso, l'antitrasformazione non presenta alcuna difficoltà: ciascuno dei due termini a}

secondo membro è un rapporto di polinomi in s, facilmente antitrasformabile con il procedimento che verrà descritto in seguito.

סּ _Da

סּ _{considerando nulle le condizioni iniziali}

סּ _{si ottiene}

(31)

Sommario

סּ Abbiamo richiamato le nozioni operative relative alla

trasformata di Laplace.

סּ Abbiamo definito la Funzione di Trasferimento come

trasformata del modello matematico basato su equazioni differenziali.

סּ Riferimenti al libro di testo: סּ Riferimenti al libro di testo:

– La trasformata di Laplace è argomento della Analisi

Matematica. Sul libro di testo vi sono richiami e notazioni usati in questo corso nella Appendice B, a partire da pag. 555.

– La Funzione di Trasferimento ottenuta come trasformata di Laplace di equazioni differenziali è trattata nel cap. 4.2.3, pag 94 e seguenti.

(32)

Assignment 3.2

סּ Calcolare le funzioni di trasferimento degli assignment

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