Equazioni Differenziali

Equazioni Differenziali

Nota introduttiva:

Lo scopo di queste dispense non è trattare la teoria riguardo alle equazioni differenziali, ma solo dare un metodo risolutivo pratico utilizzabile negli esercizi che richiedono di risolvere delle equazioni differenziali.

Introduzione

Un’equazione differenziale è un’equazione che ha per incognita una (o più) funzione/i incognita/e, e non uno o più numeri reali come nelle equazioni algebriche.

Una funzione si dice soluzione dell’equazione differenziale se, sostituendo l’equazione e le sue derivate nell’equazione, si ottiene un’identità fra funzioni.

Ordine di un’equazione Differenziale

Un’equazione differenziale stabilisce una relazione fra la funzione e le sue derivate. L’ordine di

un’equazione differenziale è dato dall’ordine massimo con cui compare la derivata della funzione incognita nell’equazione.

Equazioni lineari ed equazioni non lineari

Un’equazione differenziale si dice lineare se la funzione e le sue derivate compaiono solo con esponente 0 od 1. Le equazioni differenziali non lineari sono quelle equazioni differenziali in cui o la funzione o almeno una sua derivata compare con esponente diverso da 0 ed 1.

Le equazioni differenziali non lineari sono molto più difficili da risolvere rispetto a quelle lineari.

Equazioni a coefficienti costanti

Un’equazione è detta a coefficienti costanti se i coefficienti davanti a 𝑓(𝑥) e le sue derivate sono costanti, è invece detta a coefficienti variabili se i coefficienti davanti a 𝑓(𝑥) e le sue derivate sono delle funzioni di 𝑥.

Le Equazioni a coefficienti costanti sono molto più semplici da risolvere rispetto a quelle a coefficienti variabili, che non sono nemmeno sempre risolubili e non sempre la loro soluzione è scrivibile in modo elementare.

Equazioni Differenziali Omogenee e Non Omogenee

Un’equazione differenziale si dice omogenea se è del tipo:

𝑎 𝑛 𝑓 ^𝑛 (𝑥) + 𝑎 𝑛−1 𝑓 ^𝑛−1 (𝑥)+. . +𝑎 1 𝑓 ^′ (𝑥) + 𝑎 0 𝑓(𝑥) = 0 Invece un’equazione si dice non omogenea se è del tipo

𝑎 _𝑛 𝑓 ^𝑛 (𝑥) + 𝑎 _𝑛−1 𝑓 ^𝑛−1 (𝑥)+. . +𝑎 ₁ 𝑓 ^′ (𝑥) + 𝑎 ₀ 𝑓(𝑥) = 𝐹(𝑥) NB: gli esempi sopra esposti sono anche lineari.

Possiamo definire un operatore 𝐿:

𝐿(𝑓) = 𝑎 _𝑛 𝑓 ^𝑛 (𝑥) + 𝑎 _𝑛−1 𝑓 ^𝑛−1 (𝑥)+. . +𝑎 ₁ 𝑓 ^′ (𝑥) + 𝑎 ₀ 𝑓(𝑥)

Possiamo a questo punto dare una nuova definizione di equazione differenziale lineare: un’operazione differenziale è lineare se l’operatore 𝐿 ad essa associato è lineare. Risolvere una equazione non omogenea significa, con la nuova notazione, risolvere il problema

𝐿(𝑓) = 𝐹(𝑥) Invece risolvere l’equazione omogenea associata significa risolvere

𝐿(𝑓) = 0 NOTA: un operatore è lineare se

𝐿[𝑓 + 𝑔] = 𝐿[𝑓] + 𝐿[𝑔] ∀𝑓, 𝑔 𝑓𝑢𝑛𝑧𝑖𝑜𝑛𝑖 𝐿[𝐴𝑓] = 𝐴𝐿[𝑓] ∀ 𝐴 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒, ∀ 𝑓 𝑓𝑢𝑛𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒

Derivata e integrali sono operatori lineari, mentre l’operatore “elevo al quadrato” non lo è, perché 𝐿[𝑓 + 𝑔] = (𝑓 + 𝑔) ² ≠ 𝑓 ² + 𝑔 ² = 𝐿[𝑓] + 𝐿[𝑔]

Risoluzione delle equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti

La risoluzione delle equazioni Omogenee è abbastanza facile, tuttavia non è sempre possibile trovare soluzioni esatte.

PROPOSIZIONE Le soluzioni dell’equazione omogenea (tralasciando soluzioni banali con f(x)=0) sono sempre nella forma

𝑓 𝑎 (𝑥) = 𝑥 ^𝑎 𝑒 ^𝑏𝑥 𝑏 ∈ 𝐶, 𝑎 ∈ 𝑁 Dove 𝑎 è diverso da zero solo se esistono radici coincidenti.

Per trovare le soluzioni basta sostituire 𝑓(𝑥) = 𝑒 ^𝑏𝑥 e le sue derivate all’interno dell’equazione differenziale.

Si ottiene così un’equazione del tipo:

𝑎 _𝑛 𝑏 ^𝑛 𝑒 ^𝑏𝑥 + 𝑎 _𝑛−1 𝑏 ^𝑛−1 𝑒 ^𝑏𝑥 +. . +𝑎 ₁ 𝑏 ¹ 𝑒 ^𝑏𝑥 + 𝑎 ₀ 𝑒 ^𝑏𝑥 = 0 Mettendo in evidenza l’esponenziale otteniamo:

𝑒 ^𝑏𝑥 (𝑎 _𝑛 𝑏 ^𝑛 + 𝑎 _𝑛−1 𝑏 ^𝑛−1 +. . +𝑎 ₁ 𝑏 ¹ + 𝑎 ₀ ) = 0

Siccome l’esponenziale è sempre diverso da zero, il problema si riduce a calcolare le radici 𝑏 𝑖 𝑑𝑒𝑙𝑙 ^′ 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒:

𝑎 _𝑛 𝑥 ^𝑛 + 𝑎 _𝑛−1 𝑥 ^𝑛−1 +. . +𝑎 ₁ 𝑥 ¹ + 𝑎 ₀ = 0 Dove

𝑃(𝑥) = 𝑎 _𝑛 𝑥 ^𝑛 + 𝑎 _𝑛−1 𝑥 ^𝑛−1 +. . +𝑎 ₁ 𝑥 ¹ + 𝑎 ₀ è detto polinomio caratteristico dell’equazione differenziale

𝑎 _𝑛 𝑏 ^𝑛 𝑒 ^𝑏𝑥 + 𝑎 _𝑛−1 𝑏 ^𝑛−1 𝑒 ^𝑏𝑥 +. . +𝑎 ₁ 𝑏 ¹ 𝑒 ^𝑏𝑥 + 𝑎 ₀ 𝑒 ^𝑏𝑥 = 0

Sappiamo che ciò non è sempre possibile, infatti esistono formule risolutive solo per le equazioni fino al 4°

grado (per andare oltre possiamo usare metodi come il teorema di Ruffini che però non funziona sempre).

NOTA BENE: un polinomio di grado n ha sempre n radici complesse, quindi per esempio se nella risoluzione di un’equazione di 2° grado si ottiene un delta negativo varrà dire che le soluzioni solo complesse e si avrà

𝑒 ^{(𝛼+𝑖𝛽)𝑥} = 𝑒 ^𝛼𝑥 (cos(𝛽𝑥) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥))

Se invece alcune radici sono coincidenti, detta 𝑚 la loro molteplicità, allora a quella radice corrispondono le soluzioni 𝑒 ^𝑏𝑥 , 𝑥 ¹ 𝑒 ^𝑏𝑥 , … , 𝑥 ^𝑚−1 𝑒 ^𝑏𝑥 .

Una volta trovate le radici la soluzione dell’omogenea sarà data da una qualsiasi combinazione lineare nelle n soluzioni:

𝑓(𝑥) = � 𝐶 _𝑖 𝑒 ^𝑏

^𝑥

𝑛

𝑖=1

Cioè l’insieme delle soluzioni di un’equazione lineare a coefficienti costanti di grado n è uno spazio

vettoriale di dimensione n. Se si vuole determinare una soluzione specifica, bisogna aggiungere al problema iniziale (l’equazione differenziale) altre n condizioni specifiche, dette condizioni di Cauchy (per esempio in un’equazione del secondo ordine, se si vuole che 𝑓(𝑥) sia tangente alla retta 𝑦 = 𝑜 nel punto (0,0) possiamo aggiungere:

�𝑓 (0) = 0 𝑓′(0) = 0

Risoluzione delle equazioni lineari non omogenee

PROPOSIZIONE L’insieme delle soluzioni dell’equazione non omogenea è dato da tutte le funzioni del tipo:

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + � 𝐶 _𝑖 𝑒 ^𝑏

^𝑥

𝑛

𝑖=1

Dove 𝑔(𝑥) è una qualsiasi soluzione dell’equazione non omogenea, e l’altro termine indica una qualsiasi combinazione lineare delle soluzioni dell’omogenea.

Infatti se ℎ(𝑥) è una soluzione dell’omogenea e 𝑔(𝑥) è una soluzione della non omogenea, anche 𝑔(𝑥) + 𝐶 ∗ ℎ(𝑥) è soluzione:

𝑎 _𝑛 (𝑔 ^𝑛 (𝑥) + 𝐶(ℎ ^𝑛 (𝑥))) + 𝑎 _𝑛−1 (𝑔 ^𝑛−1 (𝑥) + 𝐶(ℎ ^𝑛−1 (𝑥)))+. . +𝑎 ₁ (𝑔 ¹ (𝑥) + 𝐶(ℎ ¹ (𝑥))) + 𝑎 ₀ (𝑔(𝑥) + 𝐶(ℎ(𝑥)))

= �𝑎 _𝑛 𝑔 ^𝑛 (𝑥) + 𝑎 _𝑛−1 𝑔 ^𝑛−1 (𝑥)+. . +𝑎 ₁ 𝑔 ^′ (𝑥) + 𝑎 ₀ 𝑔(𝑥)�

+ 𝐶�𝑎 _𝑛 ℎ ^𝑛 (𝑥) + 𝑎 _𝑛−1 ℎ ^𝑛−1 (𝑥)+. . +𝑎 ₁ ℎ ^′ (𝑥) + 𝑎 ₀ ℎ(𝑥)�

= 𝐹(𝑥) + 𝐶�𝑎 _𝑛 ℎ ^𝑛 (𝑥) + 𝑎 _𝑛−1 ℎ ^𝑛−1 (𝑥)+. . +𝑎 ₁ ℎ ^′ (𝑥) + 𝑎 ₀ ℎ(𝑥)� = 𝐹(𝑥) Quindi per risolvere un’equazione non omogenea per prima cosa dobbiamo risolvere l’equazione omogenea associata

𝑎 𝑛 𝑓 ^𝑛 (𝑥) + 𝑎 𝑛−1 𝑓 ^𝑛−1 (𝑥)+. . +𝑎 1 𝑓 ^′ (𝑥) + 𝑎 0 𝑓(𝑥) = 0

trovando le radici del polinomio caratteristico associato

𝑃(𝑥) = 𝑎 _𝑛 𝑥 ^𝑛 + 𝑎 _𝑛−1 𝑥 ^𝑛−1 +. . +𝑎 ₁ 𝑥 ¹ + 𝑎 ₀

Poi dobbiamo trovare una soluzione 𝑔(𝑥), detta soluzione particolare. Illustreremo qui il metodo della variazione delle costanti di Lagrange, che permette di risolvere qualsiasi equazione lineare a coefficienti costanti, tuttavia per risolvere alcuni tipi di equazioni differenziali ci saranno metodi alquanto più semplici e veloci, a seconda del caso. Il metodo di Lagrange è un poco più complicato e calcoloso ma permette di trovare sempre la soluzione.

Metodo di Lagrange

Una volta trovate le soluzione dell’omogenea nella forma

𝑓 _𝑖 (𝑥) = 𝑒 ^𝑏

^𝑥 ; 𝑖 ∈ 𝑁, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛

dove n è l’ordine dell’equazione differenziale, per trovare una soluzione particolare basta risolvere il sistema quadrato lineare nxn:

� � 𝑐 _𝑖 ^′ (𝑥) ∗ 𝑓 _𝑖 ^𝑗 (𝑥) = 0 ∀𝑗 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ [0, 𝑛 − 2]

𝑛

𝑖=1

𝑐 _𝑖 ^′ (𝑥) ∗ 𝑓 _𝑖 ^𝑛−1 (𝑥) = 𝐹(𝑥)

NOTA BENE: la prima equazione deve essere scritta nel sistema per ogni valore di j, quindi n-1 volte.

Questo sistema ha per incognite le funzioni 𝑐 𝑖 ′ (𝑥)

Una volta risolto il sistema si trovano le funzioni 𝑐 𝑖 (𝑥) integrando le n funzioni soluzioni del sistema In particolare ogni integrale sarà nella forma

� 𝑐 𝑖 ′ (𝑥)𝑑𝑥 La soluzione particolare dell’equazione sarà quindi

𝑓(𝑥) = � 𝑒 ^𝑏

^𝑥 � 𝑐 _𝑖 ^′ (𝑥)𝑑𝑥

𝑛

𝑖=1

NOTA: il metodo di variazione delle costanti di Lagrange è valido per tutte le equazioni lineari, anche a

coefficienti non costanti. Tuttavia tale metodo presuppone di conoscere tutto lo spazio delle soluzioni

dell’equazione omogenea associata, e non c’è un metodo risolutivo generale per equazioni lineari a

coefficienti non costanti di ordine n. In ogni caso, se si conoscono n soluzioni linearmente indipendenti

dell’equazione omogenea, si può risolvere qualsiasi equazione particolare associata.

Sistemi di Equazioni Differenziali (Lineari, coefficienti costanti, primo ordine, omogenei)

Un sistema di equazioni differenziali è un insieme di n equazioni differenziali che hanno n funzioni incognite (o meno).

Possiamo illustrare 2 metodi risolutivi:

Metodo 1 (Ricondurre a equazioni differenziali)

Illustreremo il metodo per un sistema 2x2, ma può essere applicato indifferentemente a un qualsiasi sistema nxn di primo ordine senza alcuna difficoltà aggiuntiva

Il sistema sarà nella forma:

�𝑓 ^′ (𝑥) = 𝑎𝑓(𝑥) + 𝑏𝑔(𝑥) 𝑔 ^′ (𝑥) = 𝑐𝑓(𝑥) + 𝑑𝑔(𝑥) Deriviamo la seconda equazione da entrambe le parti e otteniamo 𝑔 ^′′ (𝑥) = 𝑐𝑓′(𝑥) + 𝑑𝑔′(𝑔) Quindi

𝑓 ^′ (𝑥) = 1

𝑐 𝑔 ^′′ (𝑥) − 𝑑 𝑐 𝑔′(𝑥) Dalla seconda equazione non derivata possiamo ricavare invece f(x):

𝑓(𝑥) = 1

𝑐 𝑔 ^′ (𝑥) − 𝑑 𝑐 𝑔(𝑥)

A questo punto possiamo andare a sostituire nella prima equazione e otterremo una equazione differenziale lineare del secondo ordine per 𝑔(𝑥), una volta risolta possiamo andare a sostituirla nella prima equazione per ottenere un’equazione lineare di primo ordine per 𝑓(𝑥).

Metodo 2 (Algebra Lineare)

Possiamo scrivere il sistema in forma matriciale

�𝑓 ^′ (𝑥)

𝑔 ^′ (𝑥)� = � 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑� � 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)�

A questo punto troviamo gli auto valori della matrice quadrata, dopodiché determiniamo tutti gli auto vettori e riscriviamo il sistema in questa base, otterremo

�𝐹 ^′ (𝑥)

𝐺 ^′ (𝑥)� = � 𝐴 0

0 𝐵� � 𝐹(𝑥) 𝐺(𝑥)�

Cioè

�𝐹 ^′ (𝑥) = 𝐴𝐹(𝑥)

𝐺 ^′ (𝑥) = 𝐵𝐺(𝑥)

Dove A e B sono gli auto valori,

𝐹(𝑥) = 𝑉 _𝐴 ∙ �𝐹 (𝑥)

𝐺(𝑥)� 𝐺 (𝑥) = 𝑉 _𝐵 ∙ �𝐹 (𝑥)

𝐺(𝑥)� ; 𝑉 ^𝐴 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑒𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖 𝐴, 𝑉 _𝐵 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑒𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖 𝐵 Si risolvono le due equazioni di primo ordine e quindi si va a ricavare f(x) e g(x) risolvendo il sistema

�𝐹 (𝑥) = 𝛼𝑓(𝑥) + 𝛽𝑔(𝑥) 𝐺(𝑥) = 𝛾𝑓(𝑥) + 𝛿𝑔(𝑥) Dove

𝑉 𝐴 = � 𝛼

𝛽� 𝐺(𝑥), 𝑉 ^𝐵 = �𝛾𝛿�

Casi particolari di equazioni differenziali (lineari, coefficienti costanti) Caso 1: F(x)= polinomio

Se 𝑓(𝑥) è un polinomio di grado m, si inserisce come soluzione nel’equazione una generica funzione polinomiale di grado m.

Esempio:

𝑓 ^′′ (𝑥) + 𝑓 ^′ (𝑥) − 2𝑓(𝑥) = 𝑥 ³ + 5𝑥 ² − 3𝑥 + 2 𝐹(𝑥) = 𝑥 ³ + 5𝑥 ² − 3𝑥 + 2

Dopo aver risolto l’omogenea (le cui soluzioni dovranno essere aggiunte alla soluzione particolare che stiamo cercando), si pone

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 ³ + 𝑏𝑥 ² + 𝑐𝑥 + 𝑑 𝑓 ^′ (𝑥) = 3𝑎𝑥 ² + 2𝑏𝑥 + 𝑐

𝑓 ^′′ (𝑥) = 6𝑎𝑥 + 2𝑏

(6𝑎𝑥 + 2𝑏) + (3𝑎𝑥 ² + 2𝑏𝑥 + 𝑐) − 2(𝑎𝑥 ³ + 𝑏𝑥 ² + 𝑐𝑥 + 𝑑) = 𝑥 ³ + 5𝑥 ² − 3𝑥 + 2 Ora raggruppiamo i termini di uguale grado:

(−2𝑎)𝑥 ³ + (3𝑎 − 2𝑏)𝑥 ² + (6𝑎 + 2𝑏 − 2𝑐)𝑥 + (2𝑏 + 𝑐 − 2𝑑) = 𝑥 ³ + 5𝑥 ² − 3𝑥 + 2 Grazie al teorema di identità dei polinomi, ora basta risolvere il sistema:

�

−2𝑎 = 1 3𝑎 − 2𝑏 = 5 6𝑎 + 2𝑏 − 2𝑐 = −3

2𝑏 + 𝑐 − 2𝑑 = 2

Ottenendo

⎩ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎧ 𝑎 = − 1 2 𝑏 = − 13

4 𝑐 = − 13

4 𝑑 = − 47

8 Quindi la soluzione particolare è

𝑓(𝑥) = − 1

2 𝑥 ³ − 13

4 𝑥 ² − 13 4 𝑥 −

47 8

Caso 2: F(x)= P(x)*e^Q(x), deg(Q(x)=1

Si sostituisce

𝑓(𝑥) = 𝑅(𝑥) ∗ 𝑒 ^𝑄(𝑥) Dove 𝑅(𝑥) è un polinomio generico di grado uguale a 𝑃(𝑥).

Caso 3: F(x)= P(x)*(A cos(Q(x)) + B sen(Q(x))), deg(Q(x)=1

Si sostituisce

𝑓(𝑥) = 𝑅(𝑥) �𝐴 cos�𝑄(𝑥)� + 𝐵 𝑠𝑒𝑛�𝑄(𝑥)��

Dove 𝑅(𝑥) è un polinomio generico di grado uguale a 𝑃(𝑥).