Esercizi svolti dalla prof.ssa Biondina Galdi – Docente di Matematica
Esercizio n. 1( )
( )
2 2 2 x x 2 2 2 2 2 x x 2 x 1 1 x 3x x cos x 3x x cos x x 1lim x 3x x cox lim
x 1 x 3x x cos x 1 1 lim x 3x x cos x 3x x cos x x lim 1 3 1
x 3x x cos lim x 1 x cos
x x x →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ − − − + − − = = − + − − − − = − + − + Per x tende a +∞, |x|=x,
mettiamo in evidenza la x al numeratore e al denominatore e semplifichiamo
Calcoliamo il limite
(
)
xlim x 1
→+∞−
cos1 x
a parte(
)
(
(
)(
)
)
(
)
(
)
(
)
x x 2 2 2 x x x x x 1 cos1 x 1 cos1 x lim x 1 cos1 x lim1 cos1 x sen 1 / x lim lim xsen 1 / x x 1 cos 1 / x 1 / x lim (**)
1 cos1 x lim 1 cos1 x 2
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ − + − = = + − = = + +
Per semplificare introduciamo una nuova variabile, poniamo 1/x =t, si avrà che se x tende a +∞, t tenderà a 0
Avremo quindi, facendo le sostituzioni dette
2 2 2
2
x t 0 t 0
sen 1 / x sen t tsen t
lim lim lim
1 / x t t
2 2 2
→+∞ = → = →
Il limite di sen2t/t2 è un limite notevole ed è uguale a 1 avremo pertanto
2 2 t 0
tsen t
lim
0 1
t
0
2
2
→=
=
Sostituiamo questo risultato nel limite (*) e avremo
(
)
x 1 3 3 lim x 1 cos1 x 2 →+∞ − −2 = −2( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
x x x x x x x x x1
1
lim x x
3
x cos
lim x
3
x cos
x
x
3
1
3
1
lim x
1
cos
lim
1
cos
x
x
x
x
1
lim x
3
x cos
x
lim x
x cos1 x
lim 3
2
2
lim x
x cos1 x
3
1
lim x 1
cos1 x
2
2
2
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞
− −
− −
=
=
−
+
−
+
− −
−
−
=
=
−
−
=
−
3
(*)
2
−
Esercizi svolti dalla prof.ssa Biondina Galdi – Docente di Matematica
Esercizio n. 2(
)
(
)
(
)
x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0tgx
ln tgx
1
tgx
ln tgx
1
lim
lim
xsenx
xsenx
xsenx
ln tgx
1
tgx
tgx
1
tgx
tgx
1
tgx
1
lim
lim
lim
lim
x senx
xsenx
x senx
x senx
1
1
lim
lim 0
0
senx
senx
→ → → → → → → →−
+
+
=
−
=
+
−
=
−
=
−
=
=
Dove abbiamo tenuto conto dei limiti notevoli
