Universit`
a dell’Aquila - Corso di laurea: Ingegneria civile e ambientale
I compito parziale di Fisica Generale II - 2/11/2015
Nome
Cognome
N. Matricola
CREDITI
...
...
...
...
Uno strato piano carico indefinito di spessore finito d ha distribuita
al suo interno una densit´
a di carica ρ = Ax
2. Inoltre, lungo l’asse x
(vedi figura) sono posizionate due cariche q
1e q
2uguali e contrarie a
distanza x
1e −x
1rispetto all’origine.
a) Sapendo che il campo elettrico in x = x
0e’ nullo, calcolare il valore
della costante A. (2 punti)
b) Calcolare il campo elettrico all’interno dello strato piano dovuto
alla sua sola distribuzione di carica ρ. (3 punti)
c) Calcolare il vettore campo elettrico nel punto di coordinate
P = (x
1, x
1) (2 punti)
d) Calcolare la velocit´
a minima che una particella carica q
0e massa M posta in x
0deve avere per
penetrare il piano carico ed arrivare in x = 0. Si ignorino tutti gli urti che la particella subisce nel
passare in prossimit´
a della carica −q.(3 punti)
Dati del problema: d = 5mm, q
1= −q
2= 1nC = 10
−9C, x
1= 10cm, x
0= 20cm, q
0= 1pC =
10
−12C, M = 1 × 10
−12kg
SOLUZIONE
a) Il campo elettrico dello strato carico infinito, nella zona di spazio esterna ad esso, ´e diretto nella direzione perpendicolare allo strato piano ed ha direzione uscente dal piano. Il suo modulo ´e dato da:
Estrato= 210 Rd/2 −d/2ρ(x)dx = A 60( d3 4) = Ad3
240 Il campo elettrico generato dalle cariche −q e q nel punto x0 ´e
diretto nella direzione x e vale:
Eq+ E−q =
(q) 4π0(x1+ x0)2
+ (−q)
4π0(x0− x1)2 In x0 il campo totale ´e la somma dei 3 contributi per cui deve essere:
Ad3 240 + (q) 4π0(x1+ x0)2 + (−q) 4π0(x0− x1)2 = 0 da cui A = d24q34π( 1 (x0−x1)2 − 1 (x0+x1)2) = 1.3C/m 5
b) Il campo all’interno dello strato carico ´e calcolabile con il teorema di Gauss in forma locale considerando che al bordo della distribuzione il campo ´e noto e pari a quanto determinato nel punto a). Avremo quindi per |x|< d/2: Estrato(x) = Estrato(x = − d 2) + Z x −d/2 Ax2 0 dx = Ax 3 30 essendo Estrato(x = −d2) = − Ad3 240.
c) Il campo elettrico in P = (x1, x1) vale: E = Eq+ E−q+ Estratoquindi: Ex= Ad3 240 + (q) 4π0((2x1)2+ x21) cosθ Ey= − (q) 4π0(x1)2 + (q) 4π0((2x1)2+ x21) sinθ con tanθ = x1
2x1 da cui θ = atan(1/2). Pertanto: Ex= 920V /m, Ey= −820V /m, |E| = 1232V /m
d) La velocit´a minima richiesta per la particella deve essere tale che la sua energia cinetica iniziale deve uguagliare la differenza di potenziale tra il punto x0 ed il punto x = 0
1 2mv
2
0 = qV (x = 0) − qV (x = x0) dove V ´e il potenziale totale dovuto a tutte le cariche:
q∆V = q∆Vstrato+ q∆V+q+ q∆V−q q∆Vstrato= q Z d/2 0 Ax3 30 dx + Z x0 d/2 Ad3 240 dx e quindi: q∆Vstrato= q Z d/2 0 Ax3 30 dx + qAd 3 240 (x0− d 2) = qAd3 0 ( d 192 − d 48 + x0 24) = 0.15 × 10 −12J q∆V+q= q2 4π0 ( 1 x1 − 1 x1+ x0 ) = 60 × 10−12J q∆V−q= − q2 4π0 ( 1 x1 − 1 x0− x1 ) = 0 Da cui v0= r 2q∆V m = 11m/s
