Il numero e di Neper pag 1 Adolfo Scimone IL NUMERO
e
DI NEPER Consideriamo la funzione: ( ) 1 1 x f x x = + e dimostriamo che il limite x x x + ∞ → 1 1 lim è compreso fra 2 e 3.
Dimostriamo che il limite esiste per valori interi positivi. Per x=n, applicando la formula del binomio di Newton avremo:
= + + + + = + n n n n n n n n n n 1 .... 1 2 1 1 1 1 1 2 = + + − ⋅ + − − ⋅ + + − −
(
− −)
⋅ n = n n n n n n n n n n n n n n 1 ! ) 1 ( )... 2 )( 1 ( .... 1 ! 3 ) 2 )( 1 ( 1 ! 2 ) 1 ( 1 1 2 3 (1) Essendo ! 3 2 1 1 1 ! 3 2 1 1 ! 3 ) 2 )( 1 ( 3 − − = − ⋅ − ⋅ = ⋅ − − n n n n n n n n n n n n la (1) diviene = + − + ! 2 1 1 2 n ! 3 1 1 2 1 1 1 ... ! 3 2 1 1 1 − − − − + + − − n n n n n n (2)Osserviamo che per n>1 tutti i termini dello sviluppo sono positivi e, a partire dal secondo, crescono al variare di n, perché le frazioni 1, 2,....,
n
n diminuiscono di valore e
quindi aumenta il numeratore dei corrispondenti termini dello sviluppo. Quindi la funzione n n + 11
al crescere di n è una funzione crescente ed ammette limite per n→+∞. Questo limite è un numero compreso tra 2 e 3.
Il numero e di Neper pag 2 Adolfo Scimone 1−1<1 n , 1 2 1− < n , …., 1−n−1<1 n
e quindi per le (1) e (2) avremo ! 1 ! 3 1 ! 2 1 2 1 1 2 n n n + + + + < + < " essendo inoltre 1 3 2, 4! 2 3 4 2 , , ! 2 3 2 2 3 2 ! 3 , 2 ! 2 = = ⋅ > = ⋅ ⋅ > " n = ⋅ "n> n− risulta 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 < + + + + + − + < n n n "
Il secondo membro, dopo il primo termine, è una progressione geometrica di ragione 2 1 (La somma di n termini in una progressione geometrica di ragione q è data dalla formula q q a S n n − − = 1 1 1 nel nostro caso
2 1 , 2 1 1 = q=
a ed n−1 il numero dei termini). Avremo quindi: 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 < + + + + + − + < n n n " e quindi: 1 2 1 1 2 1 1 2 − − + < + < n n n Pertanto avremo 2 lim 1 1 ≤3 + < +∞ → n n n Poniamo e n n n = + +∞ → 1 1 lim
Per x→∞ la funzione f(x) ha ancora per limite il numero e. Infatti qualunque sia x positivo, vi sarà sempre un numero n tale che
n≤x<n+1 (3)
in modo che n risulta una funzione di x e per x→+∞, si ha pure n→+∞. Dalla (3), passando ai reciproci e aggiungendo 1 a tutti i membri otteniamo: n x n 1 1 1 1 1 1 1 < + ≤ + + + e quindi:
Il numero e di Neper pag 3 Adolfo Scimone 1 1 1 1 1 1 1 1 + + < + < + + n n n n x n Essendo: e e n n n n n n n = = + + + + = + + + +∞ → +∞ → 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 1 1 lim 1 e n n n n n n n = + + = + +∞ → + +∞ → 1 1 1 1 lim 1 1 lim 1
risulta, per il teorema dei due carabinieri
e x x x = + +∞ → 1 1 lim
Se x tende all’infinito per valori negativi, poniamo x= − e quindi t
lim 1 1 lim 1 1 lim 1 lim lim 1 1
1 1 x t t t t x t t t t t t x t t t t − − →−∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ − + = − = = = + = − − 1 1 1 lim 1 1 1 1 1 t t t t e e − →+∞ = + + = ⋅ = − −
Il numero così ottenuto viene chiamato numero di Neper e si indica con la lettera e. Esso è un numero irrazionale e il suo valore approssimato per difetto è:
