Elementi di Analisi Numerica, Probabilit`a e Statistica,
modulo 2: Elementi di Probabilit`a e Statistica (3 cfu) Probabilit`a e Statistica (6 cfu) Scritto del 26 settembre 2013. Id: A
Nome e Cognome: Esame da 3 6 cfu (barrare la casella interessata)
Problema 1 (tutti)
Dagli interi 1, . . . , 20 vengono estratti senza rimpiazzo 5 numeri. Qual `e la probabilit`a che 1. 2/30 il pi`u piccolo sia esattamente 4 ?
2. 3/30 il pi`u piccolo sia esattamente 4 e il pi`u grande esattamente 15 ? 3. 3/30 il pi`u piccolo sia ≤ 4 e il pi`u grande sia ≥ 15 ?
Problema 2 (tutti)
Una v.a. X ha densit`a di probabilit`a pX(x) = N x(1 − A 2
x2
) x ≥ 0. Determinare 1. 3/30 il valore di N e A in modo tale che la media della v.a. sia pari a 1/5; 2. 2/30 i momenti µndi pX(x), la moda e la mediana;
3. 2/30 la densit`a pY(y) della v.a. Y =
√ X.
Problema 3 (solo esame 6 cfu)
In una fabbrica che produce chiodi vengono usati quattro macchinari diversi. Si prelevano un campione di chiodi da ogni linea di produzione ottenendo i risultati mostrati in tabella dove `e riportata la lunghezza dei chiodi in mm. Mediante un test ANOVA si vuole verificare l’ipotesi che la lunghezza non dipenda dalla linea di produzione. Dopo aver specificato l’ipotesi nulla, determinare
L1 L2 L3 L4 95 129 129 101 100 127 141 103 101 110 113 98 98 105 136 101 101 97 123 123 96 113 142 116 1. 2/30 le medie di gruppo e la media totale;
2. 3/30 SSW e SSB e il loro numero di gradi di libert`a, specificando sotto quali condizioni sono stimatori
corretti;
3. 3/30 se al livello di significativit`a del 1%, si pu`o rigettare l’ipotesi nulla.
Problema 4 (solo esame 6 cfu)
Da una popolazione normale si estrae il seguente campione 2.13396, 1.68483, −0.217058, 1.68488, 3.36352, 3.95465, 4.77056, −1.28187, −1.02748, 7.2944, −3.20779, 12.3412, −2.57543, −8.06637, −6.64835.
1. 1/30 Trovare, con almeno 4 cifre significative, media e varianza campionaria.
2. 2/30 Trovare, con almeno 4 cifre significative e con un livello di confidenza del 95% e del 99% gli intervalli di confidenza per la media della popolazione, assumendo che la deviazione standard della popolazione sia 4. 3. 2/30 Trovare, con almeno 4 cifre significative e con un livello di confidenza del 95% e del 99% gli intervalli
di confidenza per la media della popolazione, assumendo che la deviazione standard della popolazione sia incognita.
4. 2/30 Assumendo che la varianza della popolazione sia incognita, trovare, con almeno 4 cifre significative e con un livello di confidenza del 95% e del 99% gli intervalli di confidenza per la varianza della popolazione.
Elementi di Analisi Numerica, Probabilit`a e Statistica,
modulo 2: Elementi di Probabilit`a e Statistica (3 cfu) Probabilit`a e Statistica (6 cfu) Scritto del 26 settembre 2013. Id: B
Nome e Cognome: Esame da 3 6 cfu (barrare la casella interessata)
Problema 1 (tutti)
Dagli interi 1, . . . , 30 vengono estratti senza rimpiazzo 4 numeri. Qual `e la probabilit`a che 1. 2/30 il pi`u piccolo sia esattamente 4 ?
2. 3/30 il pi`u piccolo sia esattamente 4 e il pi`u grande esattamente 15 ? 3. 3/30 il pi`u piccolo sia ≤ 4 e il pi`u grande sia ≥ 15 ?
Problema 2 (tutti)
Una v.a. X ha densit`a di probabilit`a pX(x) = N x(1 − A 2
x2
) x ≥ 0. Determinare 1. 3/30 il valore di N e A in modo tale che la media della v.a. sia pari a 1/2; 2. 2/30 i momenti µndi pX(x), la moda e la mediana;
3. 2/30 la densit`a pY(y) della v.a. Y =
√ X.
Problema 3 (solo esame 6 cfu)
In una fabbrica che produce chiodi vengono usati quattro macchinari diversi. Si prelevano un campione di chiodi da ogni linea di produzione ottenendo i risultati mostrati in tabella dove `e riportata la lunghezza dei chiodi in mm. Mediante un test ANOVA si vuole verificare l’ipotesi che la lunghezza non dipenda dalla linea di produzione. Dopo aver specificato l’ipotesi nulla, determinare
L1 L2 L3 L4 95 129 129 101 100 127 141 103 101 110 113 98 98 105 136 101 101 97 123 123 96 113 142 116 1. 2/30 le medie di gruppo e la media totale;
2. 3/30 SSW e SSB e il loro numero di gradi di libert`a, specificando sotto quali condizioni sono stimatori
corretti;
3. 3/30 se al livello di significativit`a del 1%, si pu`o rigettare l’ipotesi nulla.
Problema 4 (solo esame 6 cfu)
Da una popolazione normale si estrae il seguente campione 2.13396, 1.68483, −0.217058, 1.68488, 3.36352, 3.95465, 4.77056, −1.28187, −1.02748, 7.2944, −3.20779, 12.3412, −2.57543, −8.06637, −6.64835.
1. 1/30 Trovare, con almeno 4 cifre significative, media e varianza campionaria.
2. 2/30 Trovare, con almeno 4 cifre significative e con un livello di confidenza del 95% e del 99% gli intervalli di confidenza per la media della popolazione, assumendo che la deviazione standard della popolazione sia 4. 3. 2/30 Trovare, con almeno 4 cifre significative e con un livello di confidenza del 95% e del 99% gli intervalli
di confidenza per la media della popolazione, assumendo che la deviazione standard della popolazione sia incognita.
4. 2/30 Assumendo che la varianza della popolazione sia incognita, trovare, con almeno 4 cifre significative e con un livello di confidenza del 95% e del 99% gli intervalli di confidenza per la varianza della popolazione.
Elementi di Analisi Numerica, Probabilit`a e Statistica,
modulo 2: Elementi di Probabilit`a e Statistica (3 cfu) Probabilit`a e Statistica (6 cfu) Scritto del 26 settembre 2013. Id: C
Nome e Cognome: Esame da 3 6 cfu (barrare la casella interessata)
Problema 1 (tutti)
Dagli interi 1, . . . , 40 vengono estratti senza rimpiazzo 3 numeri. Qual `e la probabilit`a che 1. 2/30 il pi`u piccolo sia esattamente 4 ?
2. 3/30 il pi`u piccolo sia esattamente 4 e il pi`u grande esattamente 15 ? 3. 3/30 il pi`u piccolo sia ≤ 4 e il pi`u grande sia ≥ 15 ?
Problema 2 (tutti)
Una v.a. X ha densit`a di probabilit`a pX(x) = N x(1 − A 2
x2
) x ≥ 0. Determinare 1. 3/30 il valore di N e A in modo tale che la media della v.a. sia pari a 1/4; 2. 2/30 i momenti µndi pX(x), la moda e la mediana;
3. 2/30 la densit`a pY(y) della v.a. Y =
√ X.
Problema 3 (solo esame 6 cfu)
In una fabbrica che produce chiodi vengono usati quattro macchinari diversi. Si prelevano un campione di chiodi da ogni linea di produzione ottenendo i risultati mostrati in tabella dove `e riportata la lunghezza dei chiodi in mm. Mediante un test ANOVA si vuole verificare l’ipotesi che la lunghezza non dipenda dalla linea di produzione. Dopo aver specificato l’ipotesi nulla, determinare
L1 L2 L3 L4 95 129 129 101 100 127 141 103 101 110 113 98 98 105 136 101 101 97 123 123 96 113 142 116 1. 2/30 le medie di gruppo e la media totale;
2. 3/30 SSW e SSB e il loro numero di gradi di libert`a, specificando sotto quali condizioni sono stimatori
corretti;
3. 3/30 se al livello di significativit`a del 1%, si pu`o rigettare l’ipotesi nulla.
Problema 4 (solo esame 6 cfu)
Da una popolazione normale si estrae il seguente campione 2.13396, 1.68483, −0.217058, 1.68488, 3.36352, 3.95465, 4.77056, −1.28187, −1.02748, 7.2944, −3.20779, 12.3412, −2.57543, −8.06637, −6.64835.
1. 1/30 Trovare, con almeno 4 cifre significative, media e varianza campionaria.
2. 2/30 Trovare, con almeno 4 cifre significative e con un livello di confidenza del 95% e del 99% gli intervalli di confidenza per la media della popolazione, assumendo che la deviazione standard della popolazione sia 4. 3. 2/30 Trovare, con almeno 4 cifre significative e con un livello di confidenza del 95% e del 99% gli intervalli
di confidenza per la media della popolazione, assumendo che la deviazione standard della popolazione sia incognita.
4. 2/30 Assumendo che la varianza della popolazione sia incognita, trovare, con almeno 4 cifre significative e con un livello di confidenza del 95% e del 99% gli intervalli di confidenza per la varianza della popolazione.
