Trazione e flessione

Sollecitazione di Trazione

La sollecitazione di trazione (carico applicato in direzione dell’asse rettilineo

dell’elemento monodimensionale) la si ripartisce nelle sezioni interne in modo

uniforme, qualunque sia la forma dell’area

A

N







dA

N

MPa

A







costante

Questa approssimazione è tanto più veritiera quanto più le dimensioni trasversali sono piccole rispetto allo sviluppo longitudinale

Pertanto, nel riferimento longitudinale,

l’unica tensione non nulla è σ

_x

mentre il

riferimento è principale in quanto le 

sono nulle

Ruotando il sistema di riferimento di un angolo , sappiamo già dallo studio delle circonferenze di Mohr, che le tensioni varieranno secondo le

 

1





1





cos 2 2 x y 2 x y           

 

1





en 2 2 x y s        

Non è corretto dire quindi che non ci sia sollecitazione di taglio nello sforzo normale, a 45° infatti il taglio è massimo e

numericamente uguale a metà della tensione normale

F F

Quello di deformazione è tridimensionale Lo stato di tensione è monodimensionale

x F A   x x E         _{y z x Allungamento totale} EA FL L  

Energia elastica immagazzinata

EA

L

F

2

1

L

F

2

1

W

2







Sezione variabile per ricerca uniforme resistenza (utilizzo ottimo del materiale)

dx

A

dA

x







Con una certa cautela si può ancora considerare che sia





F

A

Essendo A variabile, occorrerà integrare l’area lungo l’ascissa



A

dA



_x

A

Adx

0

x

















Si impone, come condizione al contorno, che per x = 0 sia A = A₀ dx x P

_Costante

x





0 x x

A

A e

 



Ipotesi

Equilibrio di un elementino compreso tra due sezioni distanti dx

 = peso specifico

x x

A

C e

 



Esempio 1: calcolo deformazione

Lo sforzo è di compressione in tutte le sezioni

100 000

N

   

F

N

Le due aree valgono

2 2 1

706.9

A

d

mm

a







2 2

1200

A



a b



mm

tensioni 1 2 100000 141.5 706.9 N mm    



2 2 100000 83.3 1200 N mm    



deformazioni 3 1 1 1 141.5 2.021 10 70000 E   



  



4 2 2 2 83.3 3.97 10 210000 E   



  



allungamento 1 1 1 1.41 h h mm  



  2 2 2 0.39 h h mm  



 

Energia elastica immagazzinata









3 1 2 1 100000 1.41 0.39 10 90.57 2 2 W  F   h h      J

Esempio 2: perno rotante

La sollecitazione nasce dalla rotazione della massa concentrata M e di quella distribuita sul braccio

Massa concentrata 2 2

2

75

300

2.2

40712

60

M

F



M

R





_





_



N









Massa distribuita 2 2 d

dF



dm



r





ab



x dx

2 2 2 0

1

776

2

L d

F







ab



x dx





ab



L



N

Chiaramente la sollecitazione risulta massima all’attaccatura dell’asse (x=0) e vale

40712 776

41488

M d

F



F



F







N

Nella sezione più sollecitata risulterà una tensione pari a

2

51.9

F

N

ab

mm







Sollecitazione di Flessione

Per il momento ci si limita al caso di flessione che si sviluppa nel piano xy di travi prismatiche e simmetriche rispetto al piano xy

Il piano di inflessione è quello che contiene la deformata di tutti i punti nel piano xy (piano xy stesso)

Per effetto della sollecitazione la trave si incurva in modo da opporsi al momento di sollecitazione (trave a sbalzo – massima curvatura all’incastro)

La curvatura della linea d’asse (congiungente di tutti i baricentri) varia lungo l’asse stesso, per un elementino di lunghezza dx:

d



ds

 







(x) = freccia

1

=

d

d

ds

dx

 









x e s si confondono nell’ambito di spostamenti al I ordine

L’ipotesi base è che sezioni piane, ortogonali alla linea d’asse, anche dopo deformazione rimangano piane e ortogonali

Angolo θ rispettato da tutte le fibre longitudinali

Le fibre superiori si allungano, quelle inferiori si accorciano – Esisterà una posizione ( y=0 ) alla quali la lunghezza non varia: asse neutro



1



cost

x _x n n n

dx

dx

y

d

y

 

 





   

 





La sollecitazione è quindi assiale, in quanto alcune fibre (estradosso) si allungheranno, le altre (intradosso) si accorceranno.

Dato che la sollecitazione è monodimensionale (σ_x) si

osserverà anche una deformazione nelle altre due direzioni

y x n z x n

y

y

     



     



Curvatura secondaria y z



   



Per il calcolo delle sollecitazioni che si creano per effetto del momento applicato, si hanno a disposizione le due equazioni di equilibrio, trasversale e dei momenti

0 ; x x A dA Ay  dA M





Dalla I: 0 A n E y dA   



L’inversione delle equazioni di Navier consente di

determinare la

sollecitazione che risulta

monodimensionale







                                                                                                xz yz xy zz yy xx xz yz xy zz yy xx 2 2 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 2 1 1 E





_x

;

   

_y

;

_x

   

_{z x}



₌

_;

_{0 ;}

₀

x x y z n

y

E

E





 

 

 

 



_







0

A

y dA





Il momento statico della sezione rispetto al piano neutro è nullo – l’asse neutro (traccia piano

neutro su piano di simmetria) è baricentrico

Per la simmetria su y il piano neutro è piano principale d’inerzia

Dalla II: _x 2 _z A A n n

E

E

M



y

 

dA

 

y dA

 

J









1

n z

M

E J

 

 



Il segno negativo sta ad indicare che, per la convenzione dei segni adottata, la curvatura positiva si ottiene applicando un momento negativo e viceversa

Ricordando la definizione di freccia prima considerata, risulta anche:

 

x

tan

 

d

 

x

dx







 

2 2 2 3 2 2 2 1 1 n d d dx dx d dx      _{  }             

 

 

2 2 z

d

x

M x

dx

E J



 

Questa ultima equazione è detta Equazione della linea elastica – integrandola si può determinare l’andamento dell’inflessione noto che sia il momento applicato sulla trave

Combinando le due equazioni si ottiene lo stato di sollecitazione che risulta variabile linearmente (farfalla)

 

z

M y

y

J





Per una sezione simmetrica e

La variazione di inclinazione, per una lunghezza dx è:

 

1

n n

d

d

dx

dx

dx





 

_

_











Pertanto, il lavoro elastico di deformazione risulta

1

1

2

2

_n

dx

dW



Md

 

M



Che, integrato su tutta la lunghezza l da: 2 0 0

1

1

1

2

2

2

l l n z z

dx

M

M l

W

M

M

dx

E J

E J













Esempio 1: sezione circolare piena e cava

Piena: 4

64

z

J





D

Cava:

Il massimo valore si ha in corrispondenza del raggio massimo



4 4



64

z

J





D



d

, 3

32

2

x D z

M D

M

J

D









,



4 4



32

2

x D z

M D

M D

J

D

d











Esempio 2: sezione rettangolare piena e cava

Piena: 3

1

12

z

J



bh

Cava:

Il massimo valore si ha in corrispondenza del raggio massimo

, 2

6

2

x D z

M h

M

J

b h













, _{3 3}

6

2

₂

₂

x D z

M h

M h

J

_bh

_b

_s

_h

_s













_

 



_







3 3

1

2

2

12

z

J





_

bh



b



s

h



s



_

Combinazione di sollecitazione Normale e di

Flessione

Entrambe danno sollecitazione solo assiale, l’una costante nella sezione, l’altra variabile linearmente

x N M

N

M y

A

J

     



Questa combinazione viene ad esempio utilizzata nei cemento armato precompresso

Se il carico P è applicato in posizione eccentrica e rispetto al baricentro

x N M

z

P

Pe y

A

J

     



Il piano neutro si sposterà e si può ricavare imponendo l’annullarsi delle σ

_y

₀

J

z

A e

 

Nel caso ancor più generale di spostamento del carico secondo due direzioni, l’asse neutro non è più normale all’asse di sollecitazione né è parallelo agli assi principali di inerzia

y z x N M y z

Pe y

P

Pe z

A

J

J

     





L’asse n-n si ricava dall’equazione della retta

che si ottiene annullando la σ: z z z

y y y

J e

J

y

z

J e

A e

Flessione Deviata

Si realizza tale condizione quando il momento flettente applicato non risulta allineato con uno dei piani principali di inerzia

Il momento flettente si scompone nelle due componenti rispetto alle

direzioni principali di inerzia

M

z



P L





x



cos



M

y



P L





x



sin



Lo stress assiale indotto è: _x





sin





cos

y z

P L

x

P L

x

z

y

J

J









 



Si cerca asse neutro annullandolo z

tan

y

J

y

z

J







_

_



_

_





Pertanto l’asse neutro risulta in generale non ortogonale con il piano di inflessione ma inclinato rispetto ad esso secondo la legge

tan

z

tan

y

J

J

 



Se la sezione è tale da avere Jz = Jy (quadrata,

circolare,…) permane l’ortogonalità tra piano di inflessione e asse neutro

Esempio 1: Calcolo di sollecitazione

P

A

A

b

c Calcolare la massima sollecitazione

che si ha in corrispondenza della sezione A-A

Innanzitutto si determina l’andamento dello sforzo normale e del momento in ogni sezione

-P

sforzo normale

Proprietà della sezione:

2

1

225

2

A



ah



mm

1

6

3

G

y



h



mm

2

423.7

3

y h G

P

Pb

h

MPa

A

J



  



 



Sez. A-A Scala (3:1)

G

a h x y 2 0 y A

J

_





y dA

2 0 0 h y

h

y

J

y a

dy

h









3 3 3 0

3

4

12

y

ah

ah

ah

J

_







3 2 4

4050

12

G G

ah

J





A y



mm

2000

;

25

;

70

;

18

P



N

a



mm

b



mm

h



mm

0

1

198.5

3

y G

P

Pb

h

MPa

A

J



  







Sollecitazioni top / bottom

P b

P b

Esempio 2: Posizione asse neutro

Sovrapponendo gli effetti, e tenendo conto dei versi degli assi, si ha:

Proprietà della sezione:







2

2

2

=22400

A



bh



b



s

h



s

mm

 

x G

F

M

y

y

A

J













3 3 4

1

2

2

444.6

12

G

J





_

bh



b



s

h



s



_



mm

G Uguagliando a 0 0

99

G

F J

y

mm

M A





Esempio 3: Sezione a C

Calcolare la massima sollecitazione nell’elemento a C

La posizione del baricentro si può determinare con una media pesata sulla figura piena meno quella vuota











 



1 1 2 2 1 2

450 180 90

390 150 75

129

450 180

390 150

G G G

A y

A y

y

mm

A

A



























Anche il momento di inerzia si determina algebricamente e sfruttando il teorema di trasposizione



_{3 3}







2





2 _{6 4} 1 2

1

450 180

390 150

129 90

129 75

61.63 10

12

G

J











A





A







mm

3 6 6

30 10 30

=

0.129

473 10

4

4 61.36 10

bottom G G G G

M

Pl

y

y

Pa

J

J

























momento 4 Pl

30

P



kN

L



30

m





3





6 6

30 10 30

0.180 0.129

186 10

4 61.36 10

top G G

M

h

y

Pa

J





 











 







