SPERIMENTO LE REGOLE DETTATE
DAL MIO MAESTRO D’ABACO
Alunni: Sara Agamennone, Federico Brunetti, Alessio Cernero, Amedeo
Di Bartolomeo, Marco Di Battista, Luis Di Cecco, Grazia Di Fazio, Antonio
Di Nunzio, Andrea Dotti, Giorgia Lazzari, Manuel Lizzi, Valeria Luzi, Matteo
Musa, Marco Paganelli, Manuel Pierfelice, Lorenzo Valente
(Studenti della 2G della Scuola Sec. di 1° grado
Mezzanotte-Antonelli-Ortiz di Chieti)
Referente: Prof.ssa Diana Cipressi
Il lavoro, svolto nell’a.s. 2010-11, è stato progettato con la seguente modalità:
Fase di approccio: brainstorming, inquadramento storico, condivisione delle attività da svolgere; scelta delle modalità (scrittura di un dialogo, nome dei personaggi, scelta del tempo verbale, …); ripartizione dei compiti.
Fase iniziale: lavori di gruppo, studio di un aspetto storico, compilazione di schede di comprensione, correzione.
Fase intermedia: elaborazione di un testo, correzione degli elaborati; aggiustamento e perfezionamento degli elaborati; discussioni e raccordo collettivo.
Fase conclusiva: scrittura dei testi al computer; assemblaggio; rappresentazione in Power-point; socializzazione con le famiglie.
Nelle immagini seguenti sono riportati una bozza di elaborazione del dialogo e un paio di schemi sulle strategie risolutive esaminate dai ragazzi.
12 ottobre 1305
“Jacopo, svegliati e vestiti senza perdere tempo”. “Certo. Mi lavo, mi pettino e corro”.
Jacopo è un ragazzo di 11 anni e oggi si prepara per andare a scuola d’abaco, dove insegna il suo maestro Doganari. Da grande vuole diventare un mercante come suo padre e per questo deve conoscere la matematica del commercio: i cambi delle mo-nete, i vari tipi di pagamento, per poi calcolare il valore delle merci oppure l’accumulazione di un capitale dato in prestito.
Jacopo si affretta per le vie di Firenze: vuole arrivare a scuola di buon’ora.
Arrivato alla bottega del Doganari, saluta il maestro e in silenzio aspetta l’inizio della lezione.
“Oggi si l'insegnia a fare le fighure, cioè 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1: metti alla mano
Il maestro propone come esempio il numero 51.
“Adesso prendi la tua tavoletta e scrivi con lo stilo il 51 come vedi sulla tabella del
tuo libro”:
Il maestro dice a Jacopo di scrivere a casa varie figure più volte.
Il maestro ricorda a Jacopo che oltre alle nove figure degli Indi c’è un segno speciale, lo zero: “Il segno 0 in arabo si chiama zefiro, con il quale puoi scrivere qualunque
numero; ora scrivi sulla tavoletta cinque numeri con lo zefiro”.
Il giorno dopo Jacopo torna a scuola e il maestro gli spiega la differenza tra i numeri usati prima del medioevo e quelli attuali. “Prima i numeri venivano scritti con delle
lettere: la “I” valeva 1, la “V” 5, la “X” 10, la “L” 50 e cosi via…”
Il maestro gli pone un esercizio che consiste nel trasformare la numerazione romana in quella indiana e detta i seguenti numeri: IX, XV, XLIV, LII e XVII. Jacopo li traduce sulla tavoletta rispettivamente in 9, 15, 44, 52 e 17.
30 ottobre 1305
Dopo aver corretto gli esercizi il maestro d’abaco spiega l’addizione ricordando che 1 lira vale 20 soldi e un soldo 12 denari.
“Metti i numeri in una tabella e scrivi sopra di essi il risultato”.
Il maestro dice: “Per sommare 4 lire,8 soldi e 6 denari con 3 lire, 13 soldi e 7 denari
procedi così:
Somma i denari, cioè 6 e 7 che fa 13 denari (un soldo e un denaro); scrivi un denaro e riporta un soldo;
poi somma i soldi cioè 13, 8 e 1 che fa 22 soldi (cioè 1 lira e 2 soldi); scrivi 2 soldi e riporta 1 lira;
infine somma le lire cioè 3, 4 e 1 che fa 8 lire. Che somma ottieni?”
Jacopo risponde: “8 lire, 2 soldi e 1 denaro.”
Oggi io metto in colonna più o meno come Jacopo, se non fosse per la posi-zione del risultato. Infatti, io lo metto sotto e lui sopra.
Verso le 17.30, a casa di Jacopo, è pronta la cena. In tavola, sono presenti: un pezzo di pane bianco, un arrosto che non poteva proprio mancare, i barattoli con le spezie,
8 lire 2 soldi 1 denaro
4 lire 8 soldi 6 denari 3 lire 13 soldi 7 denari
verdure, legumi e frutti e le crespelle. Viste quest’ultime, Jacopo chiede: “Come si
fanno?”
La madre risponde: “Ho preso la farina bianca tiepida con delle uova, ho aggiunto lo
zafferano e ho messo a cuocere l’impasto; poi ho unito zucchero e miele.”
Jacopo mangia tutto, eccetto le verdure, che lascia nel piatto.
“E’ tutto buonissimo!” dice alla madre. Lei accetta i complimenti e fa un sorriso.
9 gennaio 1306
“Oggi ripassiamo lo moltiplicare” dice il maestro Doganari. “Scrivi sulla tavoletta:
2 fia 3, 3 fia 4, 4 fia 5, 5 fia 7, 6 fia 8, 7 fia 9, 8 fia 8, 9 fia 0.”
Jacopo scrive velocemente le rispettive risposte: 6,12, 20, 35, 48, 63, 64, 0.
Ora Jacopo è pronto per eseguire le moltiplicazioni a crocetta che il Doganari illustra mostrandogli una pagina del libro:”Guarda quest’esempio: 86 x 59.”
E prosegue:
“Comincia dalla prima figura da man destra, e dì 6 fia 9 fa 54 e metti 4 e tieni 5,
e poi dì 8 fia 9 fa 72
e serva, e poi dì 5 fia 6 in croce fa 30,
hor summa 5 che tenesti e 72 che servasti con 30, fa 107
3 metti 7 e tieni 10, e poi dì 5 fia 8 fa 40, e 10 che tenesti fa 50, metti 50 in bina con 74, starà così 5074 e tanto fa 59 fia 86.”
8 6
5
7 4
9 50
Jacopo vuole costatare il risultato scrivendo sulla sua tavoletta di cera che, dopo a-verla staccata dalla cintura, mette sul tavolo. Inizia a scrivere con lo stilo e si accorge di aver fatto un errore e lo cancella con il raschino senza togliere la cera. Continua a fare l’operazione secondo le regole usate dal maestro.
Anch’ io utilizzo una tavoletta grafica per scrivere al computer usando una penna senza cavo e senza batteria e seguendo questo procedimento ciò che faccio sopra di essa si ripete sulla LIM.
Voglio ora fare una verifica del risultato della moltiplicazione 86 x 59, come mi ha insegnato la professoressa di matematica, usando la scrittura polino-miale di un numero. Se uso la proprietà distributiva si ha:
E quindi … 5074.
Questo metodo per Jacopo è molto facile e rapido infatti la moltiplicazione viene chiamata fulminea.
(6+8x10) x (9+5x10)
Jacopo tornato a casa, trova il padre accanto al camino che gli propone un enigma per passare il tempo.
“Figlio, ti ho raccontato l’enigma del lupo, della capra e del cavolo?” “No, padre”.
“Ascolta attentamente, così tu troverai la soluzione: un uomo doveva trasportare al
di là di un fiume un lupo, una capra e un cavolo con una barca che poteva trasporta-re solo due di essi.”
Jacopo riflette e osserva: “Il lupo mangia la capra e la capra mangia il cavolo. Come
si fa?”
Il padre suggerisce: “ E se si porta prima la capra?” “Si, buona idea, ma poi come si prosegue?”
“Pensaci su” dice il padre.
“Forse ho trovato la soluzione, prima porto la capra e lascio il lupo e il cavolo, poi
torno indietro.
La seconda volta porto il lupo sull’altra sponda e riprendo la capra per tornare indie-tro.
La terza volta trasporto il cavolo che lascerò con il lupo. Infine torno indietro per ri-prendere la capra”.
Jacopo riceve i complimenti dal padre: “Bravo figliolo, ora hai imparato un nuovo
e-nigma”.
“Grazie padre, è tutto merito del mio maestro che ogni giorno mi insegna cose
nuo-ve”.
Da questo enigma è nato il proverbio “Egli ha salvato capra e cavoli” riferito ad una persona che riesce a risolvere un difficile problema senza provocare danni per nessuno.
2 febbraio 1306
Il Doganari spiega le frazioni: “I rocti si scrivono ponendo una barretta orizzontale tra
due numeri, il denominante viene scritto sopra la barra mentre il denominato viene messo sotto di essa:”
5 denominante
__
barra
6 denominato
Poiché in quell’epoca le frazioni venivano trasformate in frazioni unitarie, il Doganari assegna a Jacopo un esercizio di questo tipo: “Jacopo, trasforma i seguenti rocti in
unitarie cioè con denominante 1”:
5 7
__
Jacopo scrive sulla tavoletta i rocti e le rispettive somme: 5 3 2 1 1 - = - + - = - + - 6 6 6 2 3 7 3 4 1 1 - = - + - = - + - 12 12 12 4 3 Il Doganari dice: “Jacopo, sei stato molto bravo!”
17 marzo 1306
Il maestro dice “Oggi spieghiamo il metodo della falsa posizione proposto dal
mate-matico Fibonacci:”
«Est arbor cuius 1/4 1/3 latet sub terra; et sunt palmi 21; queritur quanta sit arbo-ris illius longitudo.»
E traduce :
“C’è un albero di cui 1/4 e 1/3 stanno sotto terra e sono 21 palmi. Si chiede quale sia la lunghezza dell’albero.”
Come lo farei io oggi?
Disegnerei un segmento lungo come il minimo comune multiplo tra 3 e 4 cioè 12.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
(1/4+1/3) di AB = 21 palmi
Poiché 7/12 di AB = 21 palmi, faccio 21:7x12 = 36 palmi cioè la lunghezza dell’albero.
Jacopo invece suppone che la lunghezza dell’albero sia 12 palmi e che quindi la parte sotterranea sia (1/4+1/3) di 12 cioè 7 palmi.
Il maestro interroga: “Se il numero di palmi sottoterra è in realtà 21, come fa 7 a
di-ventare 21?”
Jacopo risponde “Se 21 è il triplo di 7 allora anche la lunghezza dell’albero è tripla di
12 cioè 36.”
Il maestro gli dice di provare a verificare il risultato con una tabella.
20 ottobre 1306
Il Doganari ha assegnato un problema di commercio da risolvere a casa:
“Una libra d’argento, cioè 12 once, si vende a 7 lire e si chiede quanto valgono 2 on-ce”.
Jacopo trova difficoltà e chiede al padre un consiglio. Il padre prontamente suggeri-sce:“Moltiplica 2 per 7 che si trovano agli opposti che sarà 14. Poi dividi per 12”.
Lunghezza albero
Parte sottostante
12
?
7 21
x 3E il padre: “Avanza 1/6 di lire”.
Jacopo scrive sulla sua tavoletta e trasforma le lire in soldi e denari: 14/12 lire = 7/6 lire = (1+1/6) lire
=1 lire + 1/6 lire
=1 lire + 3 soldi + 1/3 soldi
=1 lire + 3 soldi + 4 denari = 23 soldi + 4 denari.
L’indomani mattina Jacopo mostra il problema al Doganari e riceve i complimenti dal maestro.
7 gennaio 1307
Durante la pausa scolastica, Jacopo decide di fare, con il suo migliore amico di nome Marco, il gioco del tris. In quel tempo, era identico a quello di oggi. Infatti, ciascuno dei due giocatori, a turno, inserisce su una scacchiera 3 x 3 un simbolo fino a forma-re un tris, ovvero una fila di 3 simboli uguali (X o cerchio), in orizzontale, verticale o diagonale. Se la partita si conclude senza alcun tris,è patta.
Tra Jacopo (O) e il suo amico Marco (X), si era formata questa situazione:
Di conseguenza Jacopo, avendo due spazi nei quali mettere il cerchietto O, vince la partita, ed è molto felice.
X
X O
26 gennaio 1307
Con il passare del tempo, Jacopo diventa sempre più bravo, intelligente e voglioso di imparare; il maestro gli pone un problema difficile per la sua età sapendo che Jaco-po ce la può fare; detta:
“Quidam ivit negotiando Lucam, deinde Florentia et reversus est Pisas; et fecit in
unaquaque civitate duplum et in unaquaque expendidit denarios 12 et in fine nil re-mansit ei. Queritur quot in principio habuit”.
Traduce:
“Un tale andò per affari a Lucca poi a Firenze e tornò a Pisa e in ciascuna città rad-doppiò il suo denaro e spese ogni volta 12 denari e alla fine niente gli rimase. Si chie-de con quanto era partito”.
Il Doganari è in aritmetica un diligentissimo maestro rinovellatore di buone e utilis-sime regole, e per facilitare il problema fa alcune ipotesi:
“Supponiamo che il tale fosse partito con 12 denari; in questo caso gli resterebbero
12 denari, perché nel tragitto da Pisa a Lucca, i suoi 12 denari si raddoppiano e si trasformano in 24 e spendendone 12 gli rimangono sempre 12 denari.
Quanti denari gli restano nel tragitto da Lucca a Firenze?”
“12, maestro”.
“E da Firenze a Pisa ?”
“Ancora 12.” Risponde Jacopo.
“ Se il tale fosse invece partito con 11 denari ?”
Jacopo risponde: “Allora avrebbe 11 x 2 – 12 denari, cioè 10 denari”.
Il maestro chiede di proseguire il calcolo nei due tragitti successivi. Jacopo scrive sul-la tavoletta:
Lucca – Firenze 10 x 2 -12 = 8 Firenze – Pisa 8 x 2 -12 = 4.
Anche in questo caso Jacopo si rende conto che l’ipotesi non è esatta, ma che può arrivare al risultato. Inizia a ragionare: “La differenza tra la prima ipotesi, cioè 12
de-nari, e la seconda, cioè 11 è di 1, e ha portato ad una differenza di 8, tra il primo ri-sultato, cioè 12 denari e il secondo cioè 4”.
Il Doganari: “Se ora diminuisci di 12, allora il tale arriverà alla fine con niente”. E Jacopo: “Devo moltiplicare il numero 1 con il 12 e dividere il risultato per 8”. Il maestro scrive la tabella:
“Quindi alla somma ipotizzata devo togliere 12/8, cioè 3/2 , e quindi 1+1/2 denari”.
“Bravo Jacopo” prosegue il maestro: “il mercante infatti era partito con 10 + 1/2
denari”.
Jacopo riceve per premio una pergamena molto costosa, acquistata dal padre, dove scrivere le “regoluzze” insegnate dal maestro.
Io oggi risolverei il problema con una proporzione: 1: 8= x :12
e quindi x=12⋅1:8=1,5 trasformando 1 + 1/2 in numero decimale.
1 ?
Jacopo ha terminato il ciclo scolastico ed è ora pronto a diventare un mercante co-me suo padre. Ha frequentato 4 anni di scuola d’abaco e ha appreso le frazioni, le proporzioni, i problemi di compravendita, i costi, i profitti, le paghe, il cambio di mo-nete, i problemi relativi al baratto, gli interessi, gli sconti, le leghe e le misture, il cal-colo delle radici, i problemi di geometria e l’algebra.
Ha imparato le formule a memoria e ad applicare le regole (la regola del tre, della falsa posizione semplice e doppia, ecc.), da applicare nei casi da risolvere.
Il maestro lo ha sempre raccomandato di stare lontano dall’ozio e dal gioco e di a-scoltare il maestro e di ripetere in coro le sue parole.
Gli argomenti svolti dal Doganari sono tratti dal Liber Abaci scritto nel 1202 dal ma-tematico Leonardo Pisano detto Fibonacci.
La nuova matematica che Fibonacci porta con sé dai suoi viaggi nel Mediterraneo è estranea alle conoscenze del tempo e si propone sin dall’inizio come un metodo al-ternativo, che chiede di abbandonare la scrittura dei numeri fino allora utilizzata per adottarne una nuova.
Questo suo proposito viene espresso già nella prima pagina del suo Liber Abaci:
Il fenomeno delle scuole d’abaco al di là dei risultati strettamente matematici è in-nanzitutto un evento che ha determinato un lento cambiamento culturale con la dif-fusione delle cifre arabe e delle tecniche di calcolo aritmetiche e algebriche di cui il vero protagonista è il maestro d’abaco. Il Rinascimento era dunque alle porte, ma in Matematica era già iniziato.
Nel 1503 Gregor Teisch illustra l’aritmetica personificata sottoforma di figura fem-minile: alla sua sinistra Pitagora e alla sua destra Boezio e lo sguardo verso quest’ultimo. Da questo si deduce la preferenza data al calcolo tramite le nuove ci-fre indiane a causa della facilità con cui si potevano eseguire i calcoli …
... anch’io lo preferisco!! BOEZIO Numerazione indo-araba PITAGORA Numerazione romana
