Esercizi dicembre 2010
Siano γ : {(x(t), y(t), z(t)) : t ∈ I ⊂ R} un arco di curva di classe C2(I), r(t0) la retta tangente a γ in
P0= P (t0) e P1= P (t0+ ∆t), se ∆t → 0 ⇒ P1→ P0. Il piano osculatore π(t0) a γ in P0`e la posizione
limite (se esiste) del piano contenente r(t0), P1. Se P0(t0) × P ”(t0) 6= 0 l’equazione di π(t0) `e
x(t) − x(t0) y(t) − y(t0) z(t) − z(t0) x0(t0) y0(t0) z0(t0) x00(t0) y00(t0) z00(t0) = 0.
n.b. se γ `e una retta il piano osculatore `e indeterminato in ogni punto, se γ `e piana e il piano osculatore esiste in ogni punto esso `e costante e coincide col piano della curva, altrimenti (se esiste) varia da punto a punto
1. Scrivere le equazioni delle rette tangenti alle seguenti curve γ nel punto generico P (t0)0t0 ∈ R, γ :
( x = a cos t y = b sin t , ( x = t y = t2 , ( x = 1 + t ln t y = 3 , y = e x.
2. Scrivere le equazioni delle rette tangenti e del piano osculatore alle seguenti curve γ nel punto
gener-ico P (t0), t0∈ R, γ : x = cos t y = sin t z = t , x = t2− 1 y = t z = t2+ 1 , x = t + sin t y = 1 − et z = t2 e in particolare per t0= 0, π/2
3. Scrivere le equazioni del piano tangente e della retta normale a ciascuna delle seguenti superficie S nel suo punto generico
S : xyz = 1, y2= (1 − z2)x2, z = exy, x = u y = v z = uv , x = eu y = u + v z = u u, v ∈ R.
4. Provare che se un arco di curva regolare γ `e dato come intersezione di due superficie S, S0, la retta tangente a γ in un suo punto P `e l’intersezione dei piani tangenti in P a S e S0.
5. Dato un arco di curva regolare γ : {(x(t), y(t), z(t)), t ∈ I ⊂ R} per ogni t0∈ I,
x = x(t0) + ux0(t0) y = y(t0) + uy0(t0) z = z(t0) + uz0(t0) ,
al variare di u ∈ R rappresenta la retta tangente a γ in P0= P (t0). Riguardando invece sia t che
u si ottiene la superficie rigata S rigata sviluppabile) delle tangenti a γ (detta spigolo di regresso di S. Il piano tangente a S in un suo punto P (t, u) `e:
x − x(t) − ux0(t) y − y(t) − uy0(t) z − z(t) − uz0(t) x0(t) + ux00(t) y0(t) + uy00(t) z0(t) + uz00(t) x0(t) y0(t) z0(t) = 0 i.e. u x − x(t) y − y(t) z − z(t) x00(t) y00(t) z00(t) x0(t) y0(t) z0(t) = 0
(n.b. se u = 0, ossia P ∈ γ, questo piano `e indeterminato, se u 6= 0 il piano `e sempre lo stesso e coincide col piano osculatore a γ in Q(t) ∈ γ).
Svolgere i calcoli per γ : {(t, t2, t3
), t ∈ R}
Metodo rapido per trovare la conica per 5 punti a 3 a 3 non allineati:
siano P1, P2, P3, P4, P5 i cinque punti dati, siano inoltre rispettivamente f (x, y) = 0 e g(x, y) = 0 le
coniche degeneri spezzate nelle rette P1P2, P3P4 e P1P3, P2P4 (per ipotesi P5 non appartiene a nessuna
delle due); al variare di λ, µ ∈ R, λf + µg = 0 `e l’equazione di una conica per P1, P2, P3, P4 imponendo a
questa il passaggio per P5 si determina la coppia (λ, µ) e quindi la conica cercata.
6. Siano P1, P2, P3, P4, P5cinque punti tali che P1, P2, P3 appartengono a una stessa retta non
conte-nente P4, P5, quante e quali sono le coniche passanti per essi.
7. Dati quattro punti P1, P2, P3, P4, di cui tre allineati, descrivere il fascio di coniche individuato.
8. Descrivere le coniche passanti per cinque punti P1, P2, P3, P4, P5, di cui quattro allineati.
9. Determinare le coniche degeneri del fascio di coniche individuato dai punti P (2, 1), Q(1, 2), R(1, 0), S(2, 2) determinare un’ellise, una parabola e un’iperbole nel fascio (oppure spiegare se non ne esiste alcuna).
