Qual è la probabilità
che due esseri umani presi a caso
abbiano un antenato comune?
Nicola Fusco
1Cominciamo ad analizzare una singola persona: ognuno di noi ha due geni-tori biologici, ciascuno dei quali ha avuto due genigeni-tori biologici e così via. 2 genitori, 4 nonni, 8 bisnonni, 16 trisavoli, etc etc etc. Pertanto, nell’ipotesi (apparentemente) ragionevole, che questi antenati siano tutte persone di-stinte tra loro, il numero di antenati che ognuno di noi ha cresce con una potenza di 2 al retrocedere delle generazioni. Quindi il numero ܣଵሺ݊ሻ di antenati lontani ݊ generazioni dalla propria, di un singolo essere umano, è
ܣଵሺ݊ሻ = 2
Se consideriamo 2 esseri umani presi a caso e continuiamo con l’ipotesi che gli antenati dei due individui siano completamente distinti tra loro, il numero totale dei loro antenati lontani ݊ generazioni da loro è esattamente il doppio di quanto appena calcolato
ܣଶሺ݊ሻ = 2ܣଵሺ݊ሻ = 2ାଵ
Trasformiamo ora questa espressione in una funzione del tempo, sempli-cemente facendo l’ipotesi che le generazioni si susseguano al ritmo di circa 3 ogni 100 anni, quindi
3݃݁݊݁ݎܽݖ݅݊݅: 100ܽ݊݊݅ = ݊: ݐ ⇒ ݊ = 3ݐ 100
dove ݐ è misurato in anni. Potremmo quindi semplicemente effettuare la sostituzione indicata prima tra ݊ e ݐ per conoscere quanti antenati erano presenti ݐ anni nel passato.
In realtà, procedendo semplicemente così commetteremmo un errore di fraintendimento. La funzione così ottenuta ci darebbe il numero di antenati, di un individuo attuale, viventi in un certo anno e appartenenti ad una spe-cifica generazione. Ma se vogliamo, cosa molto più utile ai fini del calcolo che ci siamo prefissi, sapere quanti antenati in totale sono vivi in un dato anno del passato, dobbiamo considerare che generalmente più generazioni della stessa famiglia sono viventi contemporaneamente. Al giorno d’oggi è
abbastanza normale che tre generazioni siano viventi contemporanea-mente ma, per non rischiare di commettere errori di sovrastima, e per te-nere conto che in passato la vita media era nettamente più corta di ora, stimiamo prudentemente che al tempo ݐ sia vivente un numero totale di antenati pari al doppio degli appartenenti alla generazione che specificata-mente sarebbe individuata dal valore ݐ secondo la proporzione scritta prima. Quindi il numero ܣଶሺݐሻ totale di antenati di due individui presi a caso, tutti distinti tra loro, presenti ݐ anni fa sulla Terra è
ܣଶሺݐሻ = 2ଵଷ௧ ାଶ
Un ultimo passaggio ci permetterà di avere una funzione che contiene come variabile proprio il numero ordinale dell’anno in cui vogliamo calco-lare il numero degli antenati. Se ݐ è la distanza temporale da ora ad un anno ܽ nel passato, allora ݐ = 2019 − ܽ. Pertanto
ܣଶሺܽሻ = 2ଷሺଶଵଽିሻଵ ାଶ = 2
ଶହିଷ ଵ
Rappresentiamo ora il grafico di questa funzione sovrapposto all’anda-mento della popolazione umana sul pianeta
In blu il grafico della funzione ሺࢇሻ,
in arancione l’andamento della popolazione mondiale.
Da questo confronto appare evidente che la funzione ܣଶሺܽሻ non descrive realisticamente la situazione: andando abbastanza indietro nel tempo, do-vrebbe risultare che, da un certo anno a ritroso, due persone prese a caso assommano un numero di antenati superiore all’intera popolazione mon-diale di quell’anno. Il paradosso è facilmente risolto dal fatto che molti degli
0 1 000 000 000 2 000 000 000 3 000 000 000 4 000 000 000 5 000 000 000 6 000 000 000 7 000 000 000 8 000 000 000 0 500 1 000 1 500 2 000
antenati che abbiamo considerato in realtà non sono distinti, sia all’interno dell’albero genealogico di un singolo individuo sia tra i due diversi alberi genealogici. Tale considerazione è ancora più vera se si pensa che molte linee di discendenza si sono estinte con il passare del tempo, perché non tutti gli esseri umani che sono vissuti hanno avuto dei discendenti prima di morire: gli esseri umani attualmente viventi, anche se moltissimi, discen-dono tutti da una piccola parte degli esseri umani mai vissuti nel passato.
Il punto in cui i due grafici si intersecano, corrispondente all’incirca ad un anno compreso tra il 200 dC e il 250 dC, rappresenta il momento storico in cui l’ipotesi di antenati distinti fallisce senza possibilità di appello. Ciò signi-fica che, qualunque siano i due esseri umani messi a confronto oggi, qua-lunque sia la loro provenienza geografica, la loro etnia, la loro religione, la storia familiare che possono raccontare, essi hanno con certezza almeno un antenato in comune risalente a non prima dell’anno 200 dC.
