Polinomi
Corso di accompagnamento in matematica
Sommario
1
Insiemi numerici
2
Definizione di polinomio
3
Operazioni tra polinomi
4
Fattorizzazione
Insiemi numerici
R
,
N
,
Z
,
Q
Lavoreremo generalmente con i numeri
reali
, il cui insieme viene
indicato con
R
.
Nell’insieme dei numeri reali ci sono importanti sottoinsiemi:
i numeri
naturali
, indicati
N
= {
1
,
2
,
3
, ...}
;
i numeri
interi relativi
, indicati con
Z
= {. . ., −
3
, −
2
, −
1
,
0
,
1
,
2
,
3
, . . . }
;
i numeri
razionali
, indicati con
Q
:
un razionale può essere scritto come quoziente
m
/
n
tra due interi
relativi, con
n
6=
0.
Cos’è un polinomio
Definizione
Un
polinomio
nella variabile
x
a coefficienti
reali
è
un’espressione algebrica della forma
A
n(
x
) =
a
0+
a
1x
+ ... +
a
nx
n,
dove
a
0,
a
1, ...,
a
nsono numeri reali (detti coefficienti del
polinomio) e
a
n6=
0.
I singoli addendi si dicono monomi.
Il grado di un polinomio è il massimo grado dei monomi non nulli
presenti
Proprietà
Due polinomi sono uguali se hanno lo stesso grado e hanno
ordinatamente uguali i coefficienti dei monomi di uguale grado.
Somma
Somma di polinomi
Il polinomio somma di due polinomi si ottiene sommando
ordinatamente i coefficienti dei monomi dello stesso grado dei due
polinomi
A
n(
x
) +
B
m(
x
) = (
a
0+
b
0) + (
a
1+
b
1)
x
+ ... + (
a
m+
b
m)
x
mEsempio
(
x
2+
2x
−
5
) + (
x
3−
x
+
2
) =
(
0x
3+
x
2+
2x
−
5
) + (x
3+
0x
2−
x
+
2
) =
(
0
+
1
)x
3+ (
1
+
0
)x
2+ (
2
−
1
)x
+ (−
5
+
2
) =
x
3+
x
2+
x
−
3
Somma
Somma di polinomi
Il polinomio somma di due polinomi si ottiene sommando
ordinatamente i coefficienti dei monomi dello stesso grado dei due
polinomi
A
n(
x
) +
B
m(
x
) = (
a
0+
b
0) + (
a
1+
b
1)
x
+ ... + (
a
m+
b
m)
x
mEsempio
(
x
2+
2x
−
5
) + (
x
3−
x
+
2
) =
(
0x
3+
x
2+
2x
−
5
) + (
x
3+
0x
2−
x
+
2
) =
(
0
+
1
)
x
3+ (
1
+
0
)
x
2+ (
2
−
1
)
x
+ (−
5
+
2
) =
x
3+
x
2+
x
−
3
Prodotto
Prodotto di polinomi
Il polinomio prodotto è della forma
A
n(
x
) ∗
B
m(
x
) =
C
n+m(
x
) =
c
0+
c
1x
+ ... +
c
n+mx
n+m,
dove i coefficienti sono dati da:
c
0=
a
0b
0,
c
1=
a
1b
0+
a
0b
1,
c
k=
a
0b
k+
a
1b
k−1+
a
2b
k−2+ ....
a
k−1b
1+
a
kb
0.
Esempio
(
x
−
1
)(
x
2+
x
+
1
) =
x
2(x
−
1
) +
x
(x
−
1
) + (x
−
1
) =
x
3−
x
2+
x
2−
x
+
x
−
1
=
x
3−
1
Prodotto
Prodotto di polinomi
Il polinomio prodotto è della forma
A
n(
x
) ∗
B
m(
x
) =
C
n+m(
x
) =
c
0+
c
1x
+ ... +
c
n+mx
n+m,
dove i coefficienti sono dati da:
c
0=
a
0b
0,
c
1=
a
1b
0+
a
0b
1,
c
k=
a
0b
k+
a
1b
k−1+
a
2b
k−2+ ....
a
k−1b
1+
a
kb
0.
Esempio
(
x
−
1
)(
x
2+
x
+
1
) =
x
2(
x
−
1
) +
x
(
x
−
1
) + (
x
−
1
) =
x
3−
x
2+
x
2−
x
+
x
−
1
=
x
3−
1
Divisione (I)
Divisione tra polinomi
Dati due polinomiAn(x) ,Bm(x), di gradonemrispettivamente, conn≥m,
esistono due polinomiQ(x)eR(x)detti quoziente e resto tali che: il grado diR(x)è minore dim;
vale la relazioneAn(x) =Bm(x)Q(x) +R(x) .
Definizione
SeR(x) =0, allora si dice cheAn(x)è divisibile perBm(x).
Osservazione
Il rapporto traAn(x)eBm(x)può sempre essere scritto come An(x)
Bm(x)
=Q(x) + R(x) Bm(x)
dovedeg R<deg Bm
Divisione (I)
Divisione tra polinomi
Dati due polinomiAn(x) ,Bm(x), di gradonemrispettivamente, conn≥m,
esistono due polinomiQ(x)eR(x)detti quoziente e resto tali che: il grado diR(x)è minore dim;
vale la relazioneAn(x) =Bm(x)Q(x) +R(x) .
Definizione
SeR(x) =0, allora si dice cheAn(x)è divisibile perBm(x).
Osservazione
Il rapporto traAn(x)eBm(x)può sempre essere scritto come
An(x)
Bm(x)
=Q(x) + R(x)
Bm(x)
dovedeg R<deg Bm
Divisione (II)
Il metodo di calcolo del quoziente di due polinomi consiste nella
divisione secondo le potenze decrescenti
Divisione secondo le potenze decrescenti
Vogliamo calcolare il quoziente tra
A
(
x
) =
2x
4+
x
3−
x
+
2
e
B
(
x
) =
x
2+
3
Esempio
2x
4+
x
3+
0x
2−
x
+
2
x
2+
3
Q
(
x
)
R
(
x
)
Esempio
2x
4+
x
3+
0x
2−
x
+
2
x
2+
3
2x
4+
6x
22x
2+
x
3−
6x
2−
x
+
2
↑
Q
(
x
)
←
R
(
x
)
Example
2x
4+
x
3+
0x
2−
x
+
2
x
2+
3
2x
4+
6x
22x
2+
x
+
x
3−
6x
2−
x
+
2
↑
+
x
3+
3x
Q
(
x
)
−
6x
2−
4x
+
2
←
R
(
x
)
Example
2x
4+
x
3+
0x
2−
x
+
2
x
2+
3
2x
4+
6x
22x
2+
x
−
6
+
x
3−
6x
2−
x
+
2
↑
+
x
3+
3x
Q
(
x
)
−
6x
2−
4x
+
2
−
6x
2−
18
−
4x
+
20
←
R
(
x
)
A
(
x
)
B
(
x
)
=
Q
(
x
) +
R
(
x
)
B
(
x
)
=
2x
2+
x
−
6
+
−4x
+
20
x
2+
3
Example
2x
4+
x
3+
0x
2−
x
+
2
x
2+
3
2x
4+
6x
22x
2+
x
−
6
+
x
3−
6x
2−
x
+
2
↑
+
x
3+
3x
Q
(
x
)
−
6x
2−
4x
+
2
−
6x
2−
18
−
4x
+
20
←
R
(
x
)
A
(
x
)
B
(
x
)
=
Q
(
x
) +
R
(
x
)
B
(
x
)
=
2x
2+
x
−
6
+
−
4x
+
20
x
2+
3
Fattorizzazione
Fattorizzare un polinomio significa trasformarlo in un prodotto.
Esempio
x2−5x+6= (x −3) (x−2)
Se un polinomio non può essere fattorizzato si dice irriducibile;
Esempi di polinomi a coefficienti reali irriducibili sono quelli di primo grado e quelli di secondo grado a discriminante negativo.
Metodi utili
Raccoglimento a fattor comune
x4−3x3+5x2=x2 x2−3x+5
Raccoglimento a fattor parziale
x4+a2x2+b2x2+a2b2=x2(x2+a2) +b2(x2+a2) = (x2+a2)(x2+b2)
Fattorizzazione
Fattorizzare un polinomio significa trasformarlo in un prodotto.
Esempio
x2−5x+6= (x −3) (x−2)
Se un polinomio non può essere fattorizzato si dice irriducibile;
Esempi di polinomi a coefficienti reali irriducibili sono quelli di primo grado e quelli di secondo grado a discriminante negativo.
Metodi utili
Raccoglimento a fattor comune
x4−3x3+5x2=x2 x2−3x+5
Raccoglimento a fattor parziale
x4+a2x2+b2x2+a2b2=x2(x2+a2) +b2(x2+a2) = (x2+a2)(x2+b2)
Fattorizzazione
Fattorizzare un polinomio significa trasformarlo in un prodotto.
Esempio
x2−5x+6= (x −3) (x−2)
Se un polinomio non può essere fattorizzato si dice irriducibile;
Esempi di polinomi a coefficienti reali irriducibili sono quelli di primo grado e quelli di secondo grado a discriminante negativo.
Metodi utili
Raccoglimento a fattor comune
x4−3x3+5x2=x2 x2−3x+5
Raccoglimento a fattor parziale
x4+a2x2+b2x2+a2b2=x2(x2+a2) +b2(x2+a2) = (x2+a2)(x2+b2)
Proprietà utili
Teorema
(x−c)divideAn(x)se e solo seAn(c) =0.
Proposizioni
Il binomioxn−anè sempre divisibile perx−a;
senè pari è divisibile anche perx+a.
Il binomioxn+anè divisibile perx+asendispari;
senè pari non è divisibile né perx+a, né perx−a.
Osservazione
Per polinomi a coefficienti interi:
le eventuali radici intere sono da cercare tra i sottomultipli del termine noto, compresa l’unità, presi sia con il segno positivo che con il segno negativo;
le eventuali radici razionali sono da cercare tra i razionali della forma±p/q, dovepè un sottomultiplo del termine noto, mentreqè un sottomultiplo del coefficiente del termine di grado massimo, compresa l’unità.
Proprietà utili
Teorema
(x−c)divideAn(x)se e solo seAn(c) =0.
Proposizioni
Il binomioxn−anè sempre divisibile perx−a;
senè pari è divisibile anche perx+a.
Il binomioxn+anè divisibile perx+asendispari;
senè pari non è divisibile né perx+a, né perx−a.
Osservazione
Per polinomi a coefficienti interi:
le eventuali radici intere sono da cercare tra i sottomultipli del termine noto, compresa l’unità, presi sia con il segno positivo che con il segno negativo;
le eventuali radici razionali sono da cercare tra i razionali della forma±p/q, dovepè un sottomultiplo del termine noto, mentreqè un sottomultiplo del coefficiente del termine di grado massimo, compresa l’unità.
Proprietà utili
Teorema
(x−c)divideAn(x)se e solo seAn(c) =0.
Proposizioni
Il binomioxn−anè sempre divisibile perx−a;
senè pari è divisibile anche perx+a.
Il binomioxn+anè divisibile perx+asendispari;
senè pari non è divisibile né perx+a, né perx−a.
Osservazione
Per polinomi a coefficienti interi:
le eventuali radici intere sono da cercare tra i sottomultipli del termine noto, compresa l’unità, presi sia con il segno positivo che con il segno negativo;
le eventuali radici razionali sono da cercare tra i razionali della forma±p/q, dovepè un sottomultiplo del termine noto, mentreqè un sottomultiplo del coefficiente del termine di grado massimo, compresa l’unità.
