Il segreto della spirale di Ulam, le forme 6k±1 e il problema di Goldbach

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1 Il segreto della spirale di Ulam, le forme 6k

±

1 e il problema di Goldbach

ing. Rosario Turco

Sommario

N el segu it o esa m in er em o u n a ser ie di pr oblem i cla ssici e sopr a t t u t t o u n a diver sa e or igin a le loro r a ppr esen t a zion e gr a fica . Si esa m in a n o la spir a le di Ulam, la spir a le di Ma r t ein son , il con cet t o di m odu lo di Ga u ss e delle n u ove spir a li ch e permettono u n a vision e m iglior e della dist r ibu zion e dei numeri primi.

Premessa

La spir a le di U la m da sem pr e a ffa scin a ch i st u dia la Teor ia dei N u m er i. In figu r a è r ipor t a t a u n a ver sion e r idot t a ch e r ipor t a solo gli in izia li 49 n u m er i n a t u r a li a pa r t ir e da 1, ch e è posto a l cen t r o e si a vvolgon o a t t or n o t u t t i i n u m er i, for m a n do u n a spir a le. Nella figu r a son o evidenziati in gia llo i n u m er i pr im i. U la m scopr ì, ca su a lm en t e sca r a bocch ia n do su u n block n ot es du r a n t e u n a n oiosa r iu n ion e, ch e i numeri primi si allineano secondo determinate diagonali, come mostrato nella figura successiva.

37 36 35 34 33 32 31 38 17 16 15 14 13 30 39 18 5 4 3 12 29 40 29 6 1 2 11 28 41 20 7 8 9 10 27 42 21 22 23 24 25 26 43 44 45 46 47 48 49 spirale di Ulam Figura 1

Finché h o gu a r da t o la figu r a 1 in tal m odo, n on h o com pr eso l essen za n a scost a diet r o di essa . Ra ccon t a n do a m io figlio Mario il codice At ba sh e qu ello ch e u sa va la scitala laced em on ica per cr it t ogr a fa r e i m essa ggi, h o a vu t o u n a sem plice in t u izion e. La cr it t ogr a fia con la scit a la per m et t eva di ca m bia r e il m odo di cr it t ogr a fa r e u n m essa ggio semplicemente va r ia n do il dia m et r o dell a sse cir cola r e attorno al quale si avvolgeva un a striscia di lettere, scritta in ordine casuale (la chiave privata condivisa t r a m it t en t e e r iceven t e), e con cu i si cr it t a va n o e decrittavano i m essa ggi. Qu est o m i h a per m esso di com pr en der e n on solo la spir a le di U la m [1], m a a n ch e la spir a le pr opost a da P et er Ma r t ein son [2] e pr opor n e u n a t er za den om in a t a spir a le di Tu r co .

Il braccio delle spirali: definizione

Definiamo sem plicem en t e com e br a ccio della spir a le , la qu a n t it à q di n u m er i n a t u r a li ch e scr ivia m o, pr im a di farli avvolgere con u n gir o di spir a le con a lt r i n u m er i. Nel ca so della spir a le di U la m il braccio è q=2. Se pen sia m o, in vece, a d u n a spir a le con q=6 esce la spir a le di P et er Ma r t ein son , com e nella Figura 2. 33

27

21

15

9

3 28 22 16 10 4 2 8 14 20 26 32 29 23 17 11 5 1 7 13 19 25 31

6

12

18

24

30 spirale di Marteinson Figura 2

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2

D a lt r a pa r t e u n codice a sost it u zion e com e l At ba sh è com u n qu e ba sa t o su una tecnica di sostituzione di lettere secon do u n m odu lo N . La spir a le di Ma r t ein son m ost r a ch e i n u m er i pr im i, fa t t a eccezion e del 2 e del 3, si a llin ea n o sot t o il 5 ed il 7. E u n m odo per dir e ch e essi r ispet t a n o la for m a 6k± 1 (vedi [3]) e che un numero primo P sotto il 5 è tale che P mod 6 = 5 (forma 6k-1), mentre un numero primo P sotto il 7 è t a le ch e P m od 6 = 1 (F or m a 6k +1). In t u t t o qu est o st ia m o gioca n do con l or ologio di Ga u ss, ovver o col concetto di modulo!

In olt r e u n com post o sot t o 5 è t a le da r ispet t a r e il pr odot t o est er n o (6k -1)(6k +1); m en t r e u n com post o sot t o il 7 è t a le da r ispet t a r e u n o dei du e pr odot t i in t er n i : (6k-1)(6k-1) o (6k+1)(6k+1).

Il lavoro [3] e la spirale di Marteinson portano sempre alla conclusione che, definito: (N) := #primi < N} allora è: (N) = K5p + K7p (K5C + K7C1 + K7C2) + 2, se N>3 dove: K5p := max K: 6*K-1<N K7p := max K: 6*K+1<N K5C := num. coppie (K1,K2): (6*K1-1)(6*K2+1)<N K7C1 := num. coppie (K1,K2): (6*K1-1)(6*K2-1)<N K7C2 := num. coppie (K1,K2): (6*K1+1)(6*K2+1)<N

Esempi N K5p K7p K5C K7C1 K7C2 +2 _(N) Numeri Primi 12 2 1 0 0 0 +2 5 2,3,5,7,11 16 2 2 0 0 0 +2 6 2,3,5,7,11,13 27 4 4 0 1 0 +2 9 2,3,5,7,11,13,17,19,23 36 6 5 1 1 0 +2 11 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31 61 9 10 1 2 1 +2 17 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47, ,53,59

L o ro lo g io di Gauss e la spirale di Ulam

Ma se la spir a le di U la m h a br a ccio q=2, sign ifica ch e possia m o r a gion a r e m odu lo 2 e m et t er e la spir a le in una forma diversa dove le diagonali spariscono o in modo che non ci confondano, come in Figura 3. Sa ppia m o ch e se p a m od 2 (con gr u it à ) sign ifica ch e st ia m o con sider a n do du e n u m er i ch e differ iscon o di un multiplo di 2; se inoltre p, q sono primi e tali che p-a =2=q allora essi sono gemelli. Allora la spirale di Ulam è la spirale con q=2, cioè una spirale dei numeri gemelli!

13 11 9 7 5 3 1 2 4 6 8 10 12 14 spirale dei gemelli o di Ulam

Figura 3

Infatti su lla pa r t e sin ist r a ca don o n u m er i pr im i vicin i ch e son o gem elli: 5 e 7 son o gem elli, 11 e 13 anche, e così via. Il 3 ed il 5 (vedi [3]) non sono gemelli nel senso 6k±1.

La spirale di Turco ed il problema di Goldbach

Ch e su ccede se u sa ssim o u n or ologio m odu lo 12? Si eviden zia n o con segu en ze gr a fich e in t er essa n t i. Esaminiamo di seguito la Figura 4, evidenziando come al solito i numeri primi.

(3)

3

72

60

48

36

24

12

71 59 47 35 23 11 1 13 25 37 49 61 70 58 46 34 22 10 2 14 26 38 50 62 69 57 45 33 21 9 3 15 27 39 51 63 68 56 44 32 20 8 4 16 28 40 52 64 67 55 43 31 19 7 5 17 29 41 53 65

6

18

30

42

54

66

spirale di Turco Figura 4

In dica n do con CRX il n u m er o ca por iga X, dalla spir a le di Tu r co (F igu r a 4) si scopr on o pr opr iet à lega t e al problema di Goldbach:

La som m a dei du e n u m er i pr im i della r iga con CR7 è sem pr e u n n u m er o pa r i della r iga con CR 2: 7+7=14, 7+19=26, 7+31=38 et c. Il 2 n on si pu ò ot t en er e per ch é n el pr oblem a di Goldba ch si considerano numeri primi maggiori di 2;

La som m a dei du e n u m er i pr im i della r iga con CR 5 è sem pr e u n n u m er o pa r i della r iga ch e h a come CR 10: 5+5=10, 5+17=22, 5+29=34 etc

La som m a dei du e n u m er i pr im i della r iga ch e h a com e CR 11 è sem pr e u n n u m er o pa r i della riga che ha come CR 10: 11+11=22, 11+23=34, 11+47=58 etc

La som m a dei du e n u m er i pr im i della r iga ch e h a com e CR 1 è sem pr e u n n u m er o pa r i della riga che ha come CR 2: 13+37=50, 13+61=74 etc

La som m a dei du e n u m er i pr im i u n o della r iga ch e h a com e CR 5 e l a lt r o com e CR 7 dà u n numero pari della riga con CR 12: 5+7=12, 5+19=24 etc

La som m a dei du e n u m er i pr im i u n o della r iga ch e h a com e CR 11 e l a lt r o com e CR 1 dà u n numero pari della riga con CR 12: 11+13=24, etc

Per cui riassumendo è: CR7+CR7= CR1+CR1=CR2 CR5+CR5=CR11+CR11=CR10 CR5+CR7=CR1+CR11=CR12 CR7+CR11=CR1+CR5=CR 6

Numeri gemelli e Goldbach

Ripr en dia m o il Teor em a : P er N pa r i e n ella for m a N =12n (for m a pa dr e) la coppia di n u m er i pr im i ot t en ibile da ll u lt im a solu zion e di Goldba ch è cost it u it a da du e n u m er i gem elli (Mich ele Na r delli Francesco Di Noto).

E eviden t e ch e se con sider o u n n u m er o con CR 12 r ispet t o ch e N =12n per n =1 la som m a 5 e 7 son o numeri gemelli, per n=3 17+19=36 e sono numeri gemelli.

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4 Riferimenti

[1] A Visu a l Displa y of som e pr oper t ies of t h e dist r ibu t ion of pr im es St ein , M.L., S.M. U la m a n d M.B. Wells (1964)

[2] Observation on the regularity of prime number distribution Peter Marteinson

[3] Test di pr im a lit à , fa t t or izza zion e e (N) con for m e 6k ±1 in g. Rosa r io Tu r co, dot t . Mich ele N a r delli, prof. Giovanni Di Maria, Francesco Di Noto, prof. Annarita Tulumello

[4] Tecniche di primalità e Teoremi www.geocities.com/SiliconValley/Port/3264 (sezione MISC) ing . Rosario Turco