I segnali rappresentano il comportamento di grandezze fisiche (ad es. tensioni, temperature, pressioni, ...) in funzione di una o piu’ variabili indipendenti (ad es. il tempo t, lo spazio x, ...).
I segnali monodimensionali sono rappresentati da funzioni di una sola variabile e possono essere:
• continui => se la variabile indipendente assume con continuita’ tutti i valori reali
Classificazione dei segnali (1)
-2 -1 0 1 2 -0.5 0 0.5 1
t
)
(t
x
• discreti => se la variabile indipendente assume valori multipli interi di un intervallo prefissato
Classificazione dei segnali (2)
-5
0
5
-0.5
0
0.5
1
n
n
x
• periodici => se il segnale si ripete uguale a se stesso dopo un qualsiasi
intervallo multiplo di un periodo di durata To. L’inverso della durata del periodo viene detto frequenza fondamentale fo del segnale periodico.
Se
x(t)
e’ periodico, con periodo To , e se cong(t)
si indicax(t)
troncato ad un solo periodo, e’ evidente che il segnale periodico puo’ essere espresso come:Classificazione dei segnali (3)
)
(
)
(
∑
∞ −∞ =−
=
n onT
t
g
t
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
0
1
Tog(t)
Il segnale e’ ritardato di rispetto a ; e’ traslato rigidamente verso destra
)
(
t
−
τ
x
τ
x
(t
)
-1 0 1 2)
100
( −
t
x
)
(t
x
Ritardo
Il segnale e’ anticipato di rispetto a ; e’ traslato rigidamente verso sinistra
)
(
t
+
τ
x
τ
x
(t
)
-200 -100 0 100 200 -2 -1 0 1 2)
100
( +
t
x
)
(t
x
Anticipo
Il segnale e’ scalato di rispetto a ; e’ dilatato se e compresso se
e’ anche ribaltato rispetto all’asse delle ordinate se
)
(at
x
a
x
(t
)
1
<
a
a
>
1
-1 0 1 2
2
t
x
)
(t
x
Scalatura
−
2
t
x
0
<
a
Il segnale é la versione ritardata di del segnale che é a sua volta la versione di scalata di
))
(
(
a
t
−
τ
x
a
)
t
(
x
τ
-200 -100 0 100 200 -2 -1 0 1 2
2
t
x
)
(t
x
Ritardo (o anticipo) e scalatura
)
at
(
x
(
)
−
=
−
100
2
1
50
2
x
t
t
x
a
Il segnale é la versione ribaltata rispetto a
t=0
(cioè rispetto all’assey
) di In caso di combinazione con un ritardo attenzione alla differenza traribaltato rispetto a e ribaltato rispetto a
)
( t
x −
τ
-1 0 1 2(
− t
−
100
)
x
)
(t
x
Ribaltamento dell’asse dei tempi
)
(t
x
(
)
(
−
t
−
100
)
=
x
(
−
t
+
100
)
x
)
(
−t
−
τ
x
0
=
t
x
(
− t
(
−
τ
))
t
=
τ
.
Costante
-50 -25 0 25 50 0 2 4 6 8C
)
t
(
x
=
Rettangolo
)
t
(
rect
)
t
(
x
=
-1
0
1
0
0.5
1
1.5
ESEMPI: costante e rettangolo
( )
t
rect 4
(
)
(
4
1
2
)
2
3
/
t
rect
−
1 2
( )
t
⋅
x
rect
(t
)
( )
t
=
y
( )
t
y
Moltiplicazione di un segnale per il rettangolo
-2 -1 0 1 2 0 1 2
( )
t
x
Scalino
<
≥
=
=
0
0
0
1
)
(
)
(
t
t
t
u
t
x
-1 -0.5 0 0.5 1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1 0 1 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Esponenziale
)
t
(
u
)
at
exp(
)
t
(
x
=
−
0
>
a
Energia
E
∫
x
t
dt
∞ ∞ −=
(
)
2dt
t
x
T
P
T T T∫
− ∞ →=
2 / 2 / 2)
(
1
lim
Potenza media Potenza istantaneaP
i=
x
(t
)
2Segnali periodici
o T /21
Energia, potenza e componente continua (valor medio)
Attenzione: non sono energie e potenze “fisiche”.
Componente continua (valor medio)
x
t
dt
T
t
x
m
T T T∫
− ∞ →=
=
2 / 2 /)
(
1
lim
)
(
T /2Segnali ad energia finita:
E
<
∞
⇒
P
=
0
Energia, potenza e valor medio: esempi
Segnali a potenza media non nulla:
P
>
0
⇒
E
=
∞
•costante•scalino
•segnali periodici con segnale base a energia finita (es: sinusoide, vedi oltre) •rettangolo •esponenziale 2
C
P =
m
=
x
(
t
)
=
C
T
A
E
)
T
/
t
(
rect
A
E
)
t
(
rect
21
=
→
=
→
2
1
=
P
2
1
=
m
a
E
)
t
(
u
)
at
exp(
2
1
=
→
−
0.5
1
1.5
1
/T
= → T t rect T lim ) t ( T 1 0 δL’impulso: definizione
L’impulso
(detto anche delta di Dirac) può essere definito (tralasciando il
rigore matematico) come un rettangolo di base T e altezza 1/T quando T
tende a zero:
L’impulso
e’ dunque un segnale
localizzato nell’origine
con
base
infinitesima
,
ampiezza infinita
, ma
area (integrale) unitaria
:
0 0 ∀ ≠ = t ) t (
δ
-200 -100 0 100 200 -2 -1 0 1 2
x(t)
1/T rect(t/T)
( )
=
⋅ t
t
x
(
)
δ
=
⋅
→T
t
rect
T
t
x
T1
)
(
lim
0( )
t
x
⋅
δ
=
(
0
)
⋅
=
→T
t
rect
T
x
T1
)
0
(
lim
0L’impulso: regole di calcolo
1
- Un segnale x(t) moltiplicato per un impulso e’ uguale al valore del segnale in t=0 per l’impulso stesso2
- Un segnale x(t) moltiplicato per un impulso ritardato diτ
e’ uguale al valore del segnale in t=τ
per l’impulso stesso:(
τ
)
τ
δ
(
τ
)
δ
−
=
⋅
−
⋅
t
x
t
t
x
(
)
(
)
3
- L’integrale di un segnale x(t) moltiplicato per un impulso ritardato diτ
e’ uguale al valore del segnale in t=τ
:(
)
(
)
)
(
t
δ
t
τ
dt
x
τ
x
−
=
∫
∞ ∞ −t
δ
(t)
1
-2
-1
1
2
2
-1
2
δ
(t-1)
-2
δ
(t+2)
Simbolo dell’impulso
(
π
+
ϕ
)
=
A
cos
f
t
)
t
(
x
2
o-1
-0.5
0
0.5
1
-5
-2.5
0
2.5
5
(
2
2
4
)
5
π
−
π
=
cos
t
)
t
(
x
Ampiezza Frequenza Fase
(iniziale)
o o
f
T
=
1
Periodo
2
2A
P =
Cosinusoide
Cosinusoide
-1 -0.5 0 0.5 1 -10 0 10 -1 -0.5 0 0.5 1 -10 0 10A
u
m
e
n
ta
l’a
m
p
ie
z
za
-1 -0.5 0 0.5 1 -5 0 5 -1 -0.5 0 0.5 1 -5 0 5A
u
m
e
n
ta
la
fr
e
q
u
e
n
za
(
)
+ = = + = o o o f t f cos A t f cos A ) t ( xπ
ϕ
π
ϕ
π
2 2 2Cosinusoide: ampiezza, fase, frequenza
0 0.5 1
5
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Modulo e
fase
{
j
f
t
}
t
x
( =
)
exp
2
π
oRe{
x(t)}
Im{
x(t)}
1{
f
t
}
oπ
2
-5 -4 -3 -2 -1
0 1 2 3 4 5
-1
0
1
Componenti
reale
e
immaginaria
L’esponenziale complesso (Eulero) 1
{
2
π
f
ot
}
cos
{
f
t
}
{
}
{
}
−
+
=
t
f
j
t
f
j
o oπ
π
2
exp
2
exp
2
1
{
2
π
f
ot
}
=
cos
Re{
x(t)}
Im{
x(t)}
1/2
{
2
π
f
ot
}
1/2
{
f
t
}
oπ
2
−
{
f
t
}
=
sin
2
π
o{
}
{
}
−
−
=
t
f
j
t
f
j
j
oπ
π
2
exp
2
exp
2
1
Esercizi
1. Si dica se la forma d’onda x(t) è reale o complessa:
2. Data la forma d’onda
rappresentarla graficamente; disegnarne l’andamento della potenza istantanea; calcolare energia, potenza media e valor medio di x(t).
3. Con riferimento alla forma d’onda x(t) dell’esercizio 2, si definisce g(t) = x(T-t/2) e y(t) la ripetizione periodica di g(t) di periodo T0=4T.
Disegnare g(t).
Disegnare tre periodi di y(t), e calcolarne potenza media e valor medio.
