Esercizi svolti sui limiti

Liceo “Carducci” Volterra - Prof. Francesco Daddi

Soluzione dei limiti della verifica del 21/01/2012 - 3

A Classico

x2− x − 6 . Il limite si presenta nella forma indeterminata 0 0. Fattorizzando numeratore e denominatore abbiamo lim x→3 −2 · (x + 3) · (x − 3) (x − 3) · (x + 2) = limx→3 −2 · (x + 3) ·✘✘✘_{(x − 3)}✘ ✘✘✘_{(x − 3) · (x + 2)}✘ = limx→3 −2 · (x + 3) x+ 2 = −2 · (3 + 3) 3 + 2 = − 12 5 . Esercizio 4. _lim x→−1+ √ 2 x + 3 − 1

(x + 1)2 . Il limite si presenta nella forma indeterminata

0

0; moltiplicando numeratore e denominatore per √2 x + 3 + 1
si ha

lim x→−1+ √ 2 x + 3 − 1 (x + 1)2 · √ 2 x + 3 + 1 √ 2 x + 3 + 1 = limx→−1+ 2 x + 3 − 1 (x + 1)2_· √2 x + 3 + 1
= lim x→−1+ 2 x + 2 (x + 1)2_· √2 x + 3 + 1
= lim x→−1+ 2✘✘✘(x + 1)✘ (x + 1)✁2_· √2 x + 3 + 1
= lim_x→−1+ 2 (x + 1) · √2 x + 3 + 1
= lim x→−1+ 2 (x + 1)· 1 √ 2 x + 3 + 1
= lim x→−1+ 2 (x + 1) · limx→−1+ 1 √ 2 x + 3 + 1
= +∞ · 1 2 = +∞ . Esercizio 5. _lim x→2 x3− 4 x2+ 5 x − 2 √ x+ 3 −√5

. Il limite si presenta nella forma indeterminata 0

0; moltiplicando numeratore e denominatore per √x+ 3 +√5
si ha

lim x→2 x3− 4 x2+ 5 x − 2 √ x+ 3 −√5 · √ x+ 3 +√5 √ x+ 3 +√5 = lim x→2 x3− 4 x2+ 5 x − 2
· √x+ 3 +√5
x+ 3 − 5 = lim x→2 (x − 2) · (x − 1)2 · √x+ 3 +√5
x− 2 = limx→2 ✘✘✘_{(x − 2) · (x − 1)}✘ 2 · √x+ 3 +√5
✘✘✘x− 2 = lim x→2(x − 1) 2 ·√x+ 3 +√5  = 1 ·√5 +√5= 2√5 . Esercizio 6. _lim x→+∞ 4 x4 − x3 + 3 x

24 x2_{+ 31 x − 2} . Il limite si presenta nella forma indeterminata

∞ ∞. Mettendo in evidenza x4 al numeratore e x2 al denominatore si ha lim x→+∞ x4·  4 − 1_x+ 3 x3  x2·  24 +31 x − 2 x2  = lim x→+∞ x✁4 2·  4 −_x1 + 3 x3  x2·  24 +31 x − 2 x2  = lim x→+∞ x2· 4 −1_x+ 3 x3 24 +31 x − 2 x2 = +∞ · ₂₄4 = +∞ . 1

Esercizio 7. _lim

x→−∞

x3− 2 x √

3 x6_{− x}2_{+ 4} . Il limite si presenta nella forma

∞

∞. Mettendo in evidenza x

3

al numeratore e x6 _{nel radicale si ottiene}

lim x→−∞ x3·  1 −_x22  s x6·  3 −_x14 + 4 x6  = lim x→−∞ x3·  1 − _x22  |x3 | · r 3 −_x14 + 4 x6 = lim x→−∞ x3·  1 − _x22  −x3 · r 3 −_x14 + 4 x6 = lim x→−∞ x3·  1 −_x22  −x3 · r 3 − _x14 + 4 x6 = lim x→−∞ 1 −_x22 − r 3 − _x14 + 4 x6 = 1 −√3 = − 1 √ 3 . Esercizio 8. _lim x→−∞ p 9 x2

− 2 x + 4 + 3 x . Il limite si presenta nella forma indeterminata +∞ − ∞ ; moltiplicando per √ 9 x2_{− 2 x + 4 − 3 x} √ 9 x2 − 2 x + 4 − 3 x si ottiene lim x→−∞ p 9 x2_{− 2 x + 4 + 3 x}_· √ 9 x2_{− 2 x + 4 − 3 x} √ 9 x2 − 2 x + 4 − 3 x = limx→−∞ 9 x2 − 2 x + 4 − 9 x2 √ 9 x2 − 2 x + 4 − 3 x = lim x→−∞ −2 x + 4 √ 9 x2 − 2 x + 4 − 3 x = limx→−∞ x·  −2 + 4_x  s x2·  9 −_x2 + 4 x2  − 3 x = lim x→−∞ x·  −2 +_x4  |x| · r 9 −2_x+ 4 x2 − 3 x = lim x→−∞ x·  −2 + 4 x  −x · r 9 −2_x + 4 x2 − 3 x = lim x→−∞ ✚x·  −2 + 4 x  ✚x· − r 9 −2_x + 4 x2 − 3 ! = lim x→−∞ −2 + 4_x − r 9 −2_x+ 4 x2 − 3 = −2 −3 − 3 = 1 3 . Esercizio 9. _{Calcolare lim}

x→−∞

√

x2+ 4 x − 2 − 2 x √

1 − 2 x − 2 x . Il numeratore ed il denominatore tendono entrambi a +∞, quindi il limite si presenta nella forma indeterminata ∞

∞ . Mettendo in evidenza x

2

nel radicale al numeratore e x2

nel radicale al denominatore si ottiene

lim x→−∞ √ x2+ 4 x − 2 − 2 x √ 1 − 2 x − 2 x = limx→−∞ s x2·  1 + 4 x− 2 x2  − 2 x s x2·  −_x2 + 1 x2  − 2 x = lim x→−∞ s x2·  1 + 4 x − 2 x2  − 2 x s x2·  −_x2 + 1 x2  − 2 x = lim x→−∞ |x| · r 1 + 4 x − 2 x2 − 2 x |x| · r −2_x+ 1 x2 − 2 x = lim x→−∞ −x · r 1 + 4 x − 2 x2 − 2 x −x · r −2_x+ 1 x2 − 2 x = lim x→−∞ ✚x· − r 1 + 4 x − 2 x2 − 2 ! ✚x· − r −2_x+ 1 x2 − 2 ! = lim x→−∞ − r 1 +4 x− 2 x2 − 2 − r −2 x + 1 x2 − 2 = −1 − 2 −0 − 2 = 3 2 . 2