penalit`a
Ingegneria Edile-Architettura
FakeTest di Geometria e Algebra
13 dicembre 2011 – tempo a disposizione : 30 minuti
totale
(Cognome) (Nome) (Numero di matricola)
Esercizio 1. PUNTEGGIO : risposta mancante = -4 ; errata = da -3 a +3 ; esatta = +4
• Sia V uno spazio vettoriale sul campo R e sia h·, ·i un prodotto scalare; tale prodotto si dice definito negativo se
Esercizio 2. PUNTEGGIO : risposta mancante = 0 ; risposta errata = -2 ; risposta esatta = +2
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
hv + w, vi − hw, v − wi = hv + w, v + wi − 2hv, wi v ⊥ w, u ⊥ w =⇒ v − u ⊥ w
v vettore isotropo per h·, ·i =⇒ v appartiene allo spazio radicale Ogni prodotto scalare non degenere ammette una base ortonormale A, B matrici simmetriche3 × 3 =⇒ AB matrice simmetrica A matrice 4 × 4 simmetrica con il solo autovalore 2 =⇒ A = 2I Due vettori isotropi sono sempre tra loro ortogonali.
A meno di cambi di base, esiste un solo prodotto definito negativo su R5
Esercizio 3. PUNTEGGIO : risposta mancante = 0 ; risposta errata = −1 risposta esatta = +2
• La norma del vettore 1 2 3 −1
rispetto al prodotto scalare standard su R4`e
• Rispetto alla base canonica di R3, la matrice associata al prodotto hx, yi = x
1y1+ 2x1y2+ 2x2y1− x1y3− x3y1+ x2y2− 3x2y3− 3x3y2+ x3y3`e
• La dimensione dello spazio radicale per il prodotto scalare della domanda precedente `e
• Sia V = Span{e−x, xe−x, x2e−x} e sia hf (x), g(x)i = f (1)g(−1) + f (−1)g(1). La segnatura di questo prodotto
scalare `e
• Il prodotto scalare su R3 dato da hx, yi = x
1y2+ x2y1− x1y3− x3y1+ 2x2y2
`
