L'immunizzazione finanziaria tramite la diversificazione di portafoglio: un caso pratico.

D

IPARTIMENTO DI

E

CONOMIA E

M

ANAGEMENT

C

ORSO DI LAUREA IN

B

ANCA,

F

INANZA

A

ZIENDALE E

M

ERCATI

F

INANZIARI

C

URRICULUM IN

C

ORPORATE

F

INANCE AND

B

ANKING

T

ESI DI

L

AUREA

M

AGISTRALE

L’IMMUNIZZAZIONE FINANZIARIA TRAMITE LA

DIVERSIFICAZIONE DI PORTAFOGLIO: UN CASO

PRATICO

C

ANDIDATA:

R

ELATORE:

Armanda Rakipi Emanuele Vannucci

A Mauro, per aver creduto in me,

per la comprensione, la pazienza,

i sorrisi strappati in qualsiasi occasione,

per l’amore che mi ha cambiato la vita.

INDICE

Introduzione……….. 6

CAPITOLO I

L’IMMUNIZZAZIONE FINANZIARIA: LA TEORIA

1.1 Caratteristiche generale………..8

1.2 Le obbligazioni……….. 9

1.3 Valore attuale netto e tasso interno di rendimento…………...11

1.4 Il rischio di tasso d’interesse………. 15

1.5 La Duration………..…..17

1.6 La Volatilità……….…. 18

1.7 La convexity……… ……….22

CAPITOLO II

ANALISI DELLE TEORIE FONDAMENTALI

2.1 Definizione di uno shift………..24

2.2 Teorema di Redington………26

2.3 Teorema di Fisher-Wiel………..29

2.4 Le implicazioni del teorema di Fisher-Weil….………..33

2.5 Diversificazione di portafoglio………….………..36

2.6 Teoria di Markowitz….………..39

2.7 Indice di Sharpe………...………....42

CAPITOLO III

L’IMMUNIZZAZIONE FINANZIARIA TRAMITE LA

DIVERSIFICAZIONE DI PORTAFOGLIO: CASO PRATICO

3.1 Investimento disponibile……….45

3.2 Costruzione Fondo Governativo Italia………45

3.3 Costruzione Fondo Governativo Europa……….51

3.4 Costruzione Fondo Governativo Mondo……….56

3.5 Tenuta dell’immunizzazione del Fondo Governativo Italia……....62

3.6 Tenuta dell’immunizzazione del Fondo Governativo Europa…….63

3.7 Tenuta dell’immunizzazione del Fondo Governativo Mondo…….65

CAPITOLO IV

ANALISI DELLO SCENARIO REALE

4.1 Analisi triennio 2011-2014 portafoglio Italia……….66

4.2 Analisi triennio 2012-2015 portafoglio Italia ………69

4.3 Analisi triennio 2013-2016 portafoglio Italia ………71

4.4 Analisi triennio 2014-2017 portafoglio Italia ………72

4.5 Analisi triennio 2015-2018 portafoglio Italia ………74

4.6 Analisi triennio 2016-2019 portafoglio Italia ………75

4.7 Analisi triennio 2011-2014 portafoglio Europa ……….78

4.8 Analisi triennio 2012-2015 portafoglio Europa ……….80

4.9 Analisi triennio 2013-2016 portafoglio Europa ……….81

4.10 Analisi triennio 2014-2017 portafoglio Europa ………...83

4.11 Analisi triennio 2015-2018 portafoglio Europa ………...85

4.12 Analisi triennio 2016-2019 portafoglio Europa………86

4.14 Analisi triennio 2012-2015 portafoglio Mondo ………91

4.15 Analisi triennio 2013-2016 portafoglio Mondo ………95

4.16 Analisi triennio 2014-2017 portafoglio Mondo ………95

4.17 Analisi triennio 2015-2018 portafoglio Mondo……….97

4.18 Analisi triennio 2016-2019 portafoglio Mondo ………99

4.19 Resoconto dell’elaborato………101

Conclusione………102

Bibliografia……….103

Introduzione

Questa tesi di laurea come si evince dal nome: “L’immunizzazione finanziaria attraverso la diversificazione di portafoglio: un caso pratico” ha come argomento principale la teoria dell’immunizzazione finanziaria secondo cui è possibile rendere immune, un determinato portafoglio, dalle variazioni del tasso di interesse.

Questa teoria si basa sul presupposto che la variazione intervenuta sulla struttura per scadenza dei tassi di interesse ha inevitabilmente delle conseguenze sulle poste attive o passive presenti in portafoglio, che possono portare l’investitore a trovarsi in condizioni di difficoltà nel caso in cui le poste passive siano maggiori delle poste attive.

Secondo Fisher-Weil questa situazione rischiosa si può evitare nel momento in cui la durata finanziaria del portafoglio è uguale a quella del finanziamento.

L’importanza di questo tema è comprensibile poiché, se ci poniamo nell’ottica di un investitore è chiaro che avere a disposizione le competenze tali per cui si è in grado di costruire ed investire in portafogli che non subiscono gli effetti negativi delle variazioni dei tassi, può essere visto come una sorta di strumento di tutela dell’investimento, e perché no come incentivo a svolgere la propria attività.

Quello che ci poniamo come punto di analisi è la costruzione di tre portafogli diversi tra loro nella composizione che varranno analizzati per cercare di capire se effettivamente la teoria dell’immunizzazione riesce a trovare riscontro nella realtà, vogliamo quindi verificare se i portafogli risulteranno immuni dalle variazioni del tasso, ed in caso affermativo definire quale dei tre ottiene i risultati migliori tenendo conto del fatto che la diversificazione di portafoglio effettuata per gli ultimi due portafogli dovrebbe in qualche modo avvantaggiarli nel raggiungimento di questo scopo.

Prima di andare a svolgere tutto questo lavoro di analisi nel capitolo I sono stati enunciati i concetti base da sapere per potere iniziare a parlare del teorema dell’immunizzazione finanziaria, ovvero quello di obbligazioni, così come quello di duration, valore assoluto e tasso interno di rendimento, ed anche il rischio di tasso di interesse.

Nel secondo capitolo sono state enunciati i teoremi su cui è nato il concetto di immunizzazione finanziaria, primo tra tutti il teorema di Redington e a seguire quello di Fisher-Weil.

In questo capitolo inoltre sono stati enunciati anche alcuni concetti chiave che aiutano a comprendere cosa si intende per diversificazione di portafoglio, e cosa in realtà questa implica.

Dal terzo capito siamo passati al lavoro vero e proprio di questa tesi, ovvero la costruzione dei diversi portafogli, andando prima a vedere come questi si sono modificati in presenza di uno shift additivo.

Nel quarto capito abbiamo cercato di capire come si sono modificati i tre portafogli nel tempo.

Per fare ciò abbiamo analizzato le variazioni nei prezzi dei titoli, come del resto anche nel tasso interesse del nostro debito, e come questa combinazione abbia influito sul valore complessivo dei portafogli.

Al termine dal periodo di analisi siamo giunti ad indentificare quello che dovrebbe essere il portafoglio più adatto su cui investire.

CAPITOLO I:

L’IMMUNIZZAZIONE FINANZIARIA: LA TEORIA

1.1 CARATTERISTICHE GENERALI

Parlare di immunizzazione finanziari vuol dire fare riferimento ad una tecnica matematica avente come obiettivo la neutralizzazione degli effetti delle variazioni del tasso di interesse su uno specifico portafoglio attivo (crediti) o passivo (debiti).

L’immunizzazione finanziaria può essere utilizzata per vari fini: ad esempio per assicurare il valore di un fondo pensione o di determinati beni di un’impresa se aumentano o diminuiscono esattamente in maniera contraria alle loro passività, facendo così in modo che il valore del surplus del fondo pensione o del capitale dell’azienda rimangano invariati, indipendentemente alle modifiche che si possono avere nel tasso di interesse. Quindi possiamo dire che un portafoglio è immunizzato quando il suo possessore ha la possibilità di venderlo rimanendo immune alle variazioni dei tassi di interesse sfavorevoli.1

Riuscire a creare un portafoglio immunizzato implica due passaggi iniziali: • Stimare la sensitività del portafoglio rispetto a ciascun fattore di rischio;

• Annullare la sensitività del portafoglio rispetto alla fonte di rischio da cui ci si vuole proteggere;

ciò determina il fatto che una variazione nel fattore di rischio considerato porta con sé contemporaneamente una riduzione in una qualche componente del portafoglio ed un aumento di valore in qualche altra componente.

Proprio per questo la teoria dell’immunizzazione finanziaria viene utilizzata anche con riferimento ai portafogli obbligazionari per indicare una tecnica che prevede l’uguaglianza tra la duration modificata del portafoglio e l’orizzonte temporale dell’investimento, con l’obiettivo di proteggere il portafoglio obbligazionario dagli effetti delle variazioni dei tassi di mercato.

Il teorema dell’immunizzazione fu sviluppato inizialmente da Redington (1952) come strumento per mantenere il valore delle attività in linea con quelle delle passività̀.

1 _{Cos’è l’immunizzazione finanziaria,2016,< http://www.infonotizia.it/cose-limmunizzazione/>,} 12-01-2019.

Negli anni ’70 i tassi di interesse subirono delle forti oscillazioni ed è per questo motivo che si diffuse largamente la teoria dell’immunizzazione.

Una successiva analisi dell’immunizzazione fu sviluppata da Ronald Alme Fisher, statistico e matematico inglese (1890-1962) e Andrè Weil, matematico francese (1906-1998) che introdussero nel loro lavoro l’ipotesi di shift additivi. La teoria di Fisher e Weil è stata proposta per superare il criterio secondo cui attivo e passivo devo avere la stessa maturità.

Nei prossimi paragrafi andremo ad enunciare nel dettaglio entrambi i teoremi.

1.2 LE OBBLIGAZIONI

Le obbligazioni sono titoli di debito per i soggetti che li emettono, o titoli di credito per chi invece li acquista. Questi titoli rappresentano un debito acceso da una società o da un ente pubblico per finanziarsi, garantiscono all’acquirente il rimborso del capitale più un interesse, che rappresenta una remunerazione per chi acquista obbligazioni in cambio della somma investita.

Le obbligazioni vengono emesse con lo scopo di reperire, direttamente tra i risparmiatori e a condizioni più vantaggiose rispetto a quelle dei prestiti bancari, capitale da investire. Le obbligazioni vengono utilizzate perché più convenienti sia per chi le emette che per chi le acquista, per i primi sono vantaggiose perché i tassi di interesse sono inferiori rispetto a quelli che sarebbe costretta a pagare rivolgendosi ad un finanziamento bancario della solita scadenza, mentre per i secondi sono più vantaggiosi perché questi beneficiano di un tasso maggiore rispetto a quello di un investimento in liquidità e ha la possibilità di smobilizzare il proprio investimento sul mercato secondario.

Le obbligazioni possono essere negoziate in due modi differenti:

1) Corso secco: in questo caso i prezzi non sono rappresentativi della componente interessi maturata fino a quel momento, questo implica che nel momento della liquidazione del contratto al prezzo di mercato viene aggiunto il rateo interessi, ovvero la somma degli interessi maturati ma non ancora riscossi, calcolato in automatico dal sistema. Le tipiche obbligazioni negoziate in questa maniera sono le obbligazioni a tasso fisso e le obbligazioni a tasso variabile il cui parametro di indicizzazione è rilevato prima dell’inizio del godimento della cedola in corso.

2) Tel quel: in quest’altro caso invece il prezzo di negoziazione dello strumento è rappresentativo anche degli interessi fino a quel momento maturati. Le obbligazioni negoziate con questo metodo invece sono le obbligazioni zero coupon, le obbligazioni e le ABS (Asset Backed Security) con cedola la cui entità è quantificabile solo alla scadenza della cedola, nonché le obbligazioni il cui capitale di rimborso è determinabile solo alla scadenza2_.

Per quel che concerne il regime fiscale delle obbligazioni in Italia la tassazione è pari al 26% sia per quanto riguarda le cedole sia per quanto riguarda le eventuali plusvalenze. I titoli di Stato italiani sono invece asoggettati ad una aliquota fiscale più favorevole, ovvero 12,5%, così come le obbligazioni dei titoli pubblici territoriali come quelle emesse da comuni, province e regioni, quelle emesse da organismi internazionali e le obbligazioni di stato estere e territoriali emesse a quegli stati incusi in una lista speciale (white list) dal momento che garantiscono uno scambio di informazioni adeguato. Gli investitori hanno la possibilità di decidere di acquistare tra diverse tipologie di obbligazioni, di seguito elencheremo le più importanti:

• Obbligazioni a tasso fisso: queste sono caratterizzate da un tasso di interesse che rimane costante per tutta la durata del contratto.

• Obbligazioni a tasso variabile: in queste, invece, il tasso di interesse varia al variare dell’andamento del mercato. Di norma sono composte da una parte fissa, che viene definita Rf ovvero il tasso risk free dei titoli di Stato a breve termine, ed una variabile definita spread, che varia al variare di un tasso di riferimento (EURIBOR o LIBOR).

• Obbligazioni convertibili: questa tipologia da la possibilità al suo acquirente di convertirle in quote azionarie della società emittente, a determinate scadenze e sotto determinate proporzioni.

• Obbligazioni cum warrant: questa tipologia da la possibilità all’acquirente di poter acquisire azioni della società, così come le obbligazioni convertibili, con la differenza però che con questa tipologia al momento dell’acquisto l’investitore acquista due strumenti, ovvero obbligazione e warrant grazie al quale il soggetto può sottoscrivere azioni secondo un rapporto prestabilito. Il warrant è uno

strumento autonomo rispetto all’obbligazione quindi il soggetto può decidere se vendere sul mercato solo il warrant o l’obbligazione3_.

• BOT (Buoni Ordinari del tesoro): questi sono strumenti obbligazionari che non prevedono il pagamento di una cedola intermedia. Vengono emessi solitamente sotto la pari e il rendimento è dato dalla differenza tra il prezzo di acquisto ed il valore di rimborso. Solitamente hanno una durata inferiore all’anno ovvero 3,6,9,12 mesi.

• BTP (Buoni del Tesoro Poliennali): strumenti obbligazionari che possono essere emessi sotto, sopra o alla pari con scadenza 3,5,10,15 o 30anni. Solitamente sono titoli a tasso semestrale fisso determinato nell’importo, nella durata e nel prezzo dal Ministro del Tesoro4_.

• CCT (Certificati di Credito del Tesoro): questi sono strumenti obbligazionari con durata di 7 anni che conferiscono cedole semestrali posticipate.

• Obbligazioni garantite: con questa tipologi il rendimento è garantitoda un elemento sottostante. Generalmente vengono emesse con lo scopo di trivare i fondi necessari per la realizzazione di un determinato progetto con la conseguenza che, in caso di insolvenza, tutti i foni derivanti dal medesimo verranno utilizzati per ripagare i debiti verso gli obbligazionisti.

• Obbligazioni non garantite: queste non presentano nessuna garanzia, anzi i detentori di queste tipologie di obbligazioni sono caratterizzati da una priorità di rimborso piuttosto bassa, e di solito sono caratterizzati da un tasso di rendimento più elevato.

1.3 VALORE ATTUALE NETTO E TASSO

INTERNO DI RENDIMENO

VAN e TIR sono due metodologie utilizzate allo scopo di comprendere l’impatto economico e finanziario di un progetto di investimento.

Il Valore Attuale Netto è dato dalla somma dei flussi di cassa attualizzati al tempo zero ad un tasso pari al costo opportunità del capitale finanziario. Il modello presuppone la

3 _{Mario Comana, Le obbligazioni, Appunti delle lezioni del corso di Economia del mercato mobiliare,} Università di Bergamo,2018.

presenza di un mercato perfetto in cui gli investitori abbiano libero accesso al mercato finanziario in modo da poter calcolare il costo opportunità dell’investimento alternativo di pari rischiosità. Nella pratica si assume come costo opportunità del capitale il costo medio ponderato del capitale, ovvero il WACC (Weighted Average Cost of Capital) che è una media ponderata del costo del capitale proprio e del costo di capitale di debito. Si parla di costo opportunità perchè si fa riferimento alla remunerazione a cui si rinuncia investendo nel progetto invece che in titoli. Quindi rappresenta il tasso di rendimento atteso richiesto dagli investitori per un investimento in azioni o in altri titoli che abbiano lo stesso rischio del progetto.

Rappresentando la ricchezza incrementale generata da un progetto implica con sé la conseguenza che nel caso in cui il VAN dovesse risultare negativo la logica è quella di non portare avanti un investimento di questo tipo poiché porta solo alla distruzione di valore.

Un progetto a VAN=0 non deve essere considerato negativamente perché in questo caso saremo in grado di ripagare l’investimento iniziale sostenuto per l’avvio del progetto. Al contrario nel caso in cui il VAN risulti positivo questo determinerebbe un progetto di investimento in grado di creare valore, e quindi in grado di andare a ripagare non solo l’esborso iniziale di capitale ma che porti alla possibilità di avere risorse aggiuntive disponibili.

Le caratteristiche più importanti del VAN possono essere cos’ riassunte:

• Considera i flussi di cassa generati durante l’intera vita economica dell’investimento;

• Attribuisce dei pesi differenti ai flussi di cassa relativi a periodi temporali differenti;

• È influenzato dalla valutazione soggettiva del tasso di attualizzazione5_;

Il VAN presenta sia vantaggi che svantaggi, tra i primi di deve fare riferimento al fatto che:

• tiene conto del valore finanziario del tempo;

• considera sia flussi di cassa futuri che il costo del capitale.

Per quanto riguarda gli svantaggi invece si deve considerare i due seguenti fattori: • non è direttamente collegato all’investimento iniziale;

• presuppone di operare in mercati perfetti, all’interno dei quali il costo del capitale nelle operazioni di raccolta è pari al rendimento dello stesso nelle operazioni di impiego.

Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso di sconto che rende nullo il valore attuale netto dei flussi di cassa generati da un progetto d’investimento. Esso esprime il rendimento implicito di un progetto d’investimento, ovvero il costo massimo della raccolta affinché permanga la convenienza economica dell’investimento6_.

L’equazione è uguale a quella del VAN, ma muta l’incognita. Nella formula del VAN si risolve la sommatoria attualizzata avendo noto il tasso, nella formula del TIR invece l’incognita è il tasso stesso.

Il criterio di accettazione di un investimento con il metodo del tasso di rendimento interno consiste nel confrontare il tasso calcolato per un determinato progetto con un tasso di rendimento richiesto, chiamato tasso di accettazione o di selezione (cut-off rate): l’implicazione è che il progetto viene accettato solo se il tasso di rendimento intero è superiore al tasso richiesto.

Noto il prezzo, la durata, il valore nominale e la cedola è possibile calcolare il tasso interno di rendimento interno risolvendo l’equazione del VAN con i tale che il valore del VAN sia uguale a zero.

Dove:

1,2,…,n: scadenze temporali;

CF: flusso finanziario al tempo 1,2,…,n.

5 _{Valore attuale netto,2010,< http://www.bankpedia.org/>,20-01-2019.}

Il TIR però presenta dei limiti:

• Inapplicabilità in presenza di inversione di segni nei flussi di cassa di un progetto, poiché ci possono essere più valori che risolvono l’equazione. Questa situazione potrebbe verificarsi in operazioni di Private Equity dove è plausibile avere round di finanziamento dilazionati nel tempo.

• Necessità che i flussi intermedi vengano reinvestiti a un tasso pari al TIR, se ciò non avviene il valore del TIR perde significato e non indica più il tasso di rendimento dell’intero progetto.

• Impossibilità di comparare due investimenti alternativi con scala dimensionale diversa, poiché non paragona i valori attuali netti dei due investimenti espressione della ricchezza addizionale netta dell’iniziativa. In questo caso potrebbe esserci un progetto di piccole dimensioni con un TIR molto elevato e un VAN inferiore ad un progetto di grandi dimensioni con un TIR modesto.

• Non gode della proprietà additiva di cui gode il VAN 7_{per il quale il valore attuale}

netto di un investimento C, che è pari alla somma tra due investimenti A e B corrisponde alla somma dei valori attuali netti dei due investimenti, ovvero: VAN(C)=VAN(A)+VAN(B) quando C=A+B.

Entrambi i metodi di valutazione di un investimento hanno bisogno delle stesse informazioni iniziali, ovvero i flussi di cassa positivi e negativi dell’investimento, per cui è necessario disporre di stime e di piani prospettici affidabili per l’applicazione di entrambi gli strumenti di valutazione.

Ai fini dell’analisi reddituale risulta più appropriato l’utilizzo del VAN perché permette si confrontare direttamente due investimenti alternativi con lo stesso profilo di rischio. Il TIR infatti non può essere utilizzato per valutazioni comparative, ma solo per valutare il rendimento complessivo dell’investimento e confrontarlo con il costo del capitale, in questo caso un progetto risulta conveniente da un punto di vista finanziario se il suo TIR è maggiore del WACC, e non conveniente quando il TIR è minore del WACC.

1.4 IL RISCHIO DI TASSO D’INTERESSE

Il rischio di tasso di interesse rappresenta il rischio che variazioni nei tassi di interesse di mercato producano una riduzione della redditività e del valore economico di una banca. Questo rischio è dovuto principalmente al fatto che attività e passività bancarie hanno differenti scadenze e istanti di revisione del tasso, questo perché tipicamente una banca raccoglie fondi con depositi a vista o a breve termine per finanziare prestiti a lunga scadenza, anche a tasso fisso. Ciò fa si che una variazione nei tassi di mercato possa influenzarne la redditività, perché se i tassi salgono i depositi dovranno essere rinnovati a costi più alti, mentre il rendimento degli impieghi a tasso fisso resterà invariato, la conseguenza è una riduzione del margine di interesse della banca e inoltre, la riduzione della forbice tra tassi attivi e tassi passivi influenzerà negativamente il valore della banca per i suoi azionisti, che è dato dal valore attuale di tutti i profitto futuri attesi.

Se attività e passività della banca sono negoziate su un mercato secondario allora il rischio di tasso di interesse può essere considerato un caso particolare di rischio di mercato. Tuttavia esistono molte attività e passività nel bilancio di una banca per cui non esiste un mercato secondario, e dunque non è possibile osservare un prezzo di mercato.

Ciò è vero anche per poste caratteristiche dell’intermediazione bancaria come i prestiti e i depositi compresi nel cosiddetto banking book.

Poiché il rischio di tasso sul banking book non può essere misurato avvalendosi di prezzi di mercato, le metodologie sviluppate per il rischio di mercato risultano inadatte, ed è necessario sviluppare e utilizzare approcci ad hoc.

Il rischio di interesse può essere scomposto in due parti, il rischio di prezzo e il rischio di reinvestimento.

Il rischio di prezzo riguarda la possibilità che alla fine del periodo il tasso sia maggiore (minore) rispetto al periodo iniziale, determinando una diminuzione (aumento) di prezzo del titolo. Questo fa si che il valore di mercato di un’attività finanziaria muti nel corso del tempo in relazione alla dinamica dei tassi di interesse: quindi in pratica si ha una differenza tra valore di mercato e valore al quale quell’attività è entrata nel bilancio dell’intermediario finanziario. Tutto questo genera potenziali plus o minusvalenze che devono essere contabilizzate ogni volta che le norme di bilancio o settoriali richiedono il

cosiddetto mark-to-market, cioè la valutazione delle attività possedute ai valori di mercato.

Il rischio di reinvestimento si collega al fatto che i tassi a cui saranno investiti i flussi di cassa percepiti nel corso della vita dell’attività finanziaria possono essere maggiori (minori) di quelli impliciti nel tasso di rendimento a scadenza, causando un rendimento di periodo maggiore (minore) si quello calcolato ex ante. Quindi nella pratica si manifesta sotto forma di maggiori (minori) utili collegati al reinvestimento dei flussi di cassa. Se ad esempio i tassi di interesse aumentano, le cedole di un titolo potranno essere reinvestite ad un tasso di interesse superiore a quello previsto.

Il rischio di prezzo e il rischio di reinvestimento hanno effetti opposti sul valore del portafoglio8_.

È chiaro che l’assunzione del rischio di interesse rappresenta una condizione normale dell’attività bancaria e una importante fonte di redditività e di creazione di valore. Tuttavia, qualora l’esposizione risulti eccessiva, variazioni nei tassi di interesse di mercato possono avere effetti negativi:

• Sul valore corrente dei profitti, attraverso variazioni nel flusso netto degli interessi, ovvero il margine di interesse, e nelle altre componenti di ricavo e costo sensibili al livello dei tassi di mercato.

• Sul valore di capitale della banca, in quanto il valore attuale dei cash flow cambia al variare dei tassi di interesse.

È importante porre attenzione al tasso di interesse perché questo è un elemento importante per determinare il prezzo da attribuire ad un titolo.

Il giusto valore di un’obbligazione è pari al valore attuale del flusso di pagamenti che ci si aspetta generi in futuro, e questo è dato da:

• Il pagamento della cedola C, eseguito con periodicità t;

• Il valore facciale del titolo F, pagabile alla scadenza dell’obbligazione, dopo T periodi.

Questi pagamenti devono essere scontati ricorrendo ad un tasso di sconto pari al tasso d’interesse di mercato r applicato alle obbligazioni di nuova emissione che presentano un grado di rischio paragonabile.

8 _{Mauro Aliano, Il rischio di interesse, Appunti delle lezioni del corso di Tecnica Bancaria, Università di} Caglairi,2015.

Questa equazione stabilisce che, a parità di livello di rischiosità, il prezzo di un’obbligazione dipende da tre variabili: il rendimento della cedola, il tasso d’interesse di mercato e la durata residua del titolo.

1.5 LA DURATION

La definizione di duration ha origine con i lavori di Macaulay (1938) e Hicks (1939), negli anni seguenti l’importanza di questo nuovo concetto è stata enfatizzata da Faulhaber e Baumol (1988) secondo i quali la nozione di duration sarebbe una delle poche novità messe a punto dagli economisti degli ultimi decenni, poiché porta con sè conseguenze rilevanti per quanto riguarda il modo in cui gli individui e le imprese affrontano le forze del mercato.

Prima degli ’80 però il concetto di duration non ha goduto di ampia diffusione sui mercati finanziari ed infatti sono pochi gli economisti che ne sono a conoscenza.

Lawrence Fisher e Roman Weil (1971) decisero di utilizzare tale nozione per dimostrare come potesse essere utilizzata al fine di minimizzare il rischio di tasso di interesse nella costruzione di portafogli obbligazionari. Dopo il 1971 molti economisti iniziarono a lavorare sul concetto di duration e lo svilupparono ulteriormente, anche perché alla fine del 1979 e inizio del 1980 la volatilità dei tassi di interesse aumentò notevolmente, e di conseguenza si è iniziato a porre grande interesse riguardo a tale concetto, poiché il concetto di duration poteva essere utilizzato nella costruzione di portafogli obbligazionari per bloccare i tassi di interesse con sostanzialmente nessun rischio.

Un fattore importante che ha contribuito al progresso dell’analisi della duration è stato l’avvento dei computer negli anni ’80, poiché lo sviluppo di vari software permise ai ricercatori di eseguire, in pochi secondi, calcoli impegnativi ed analisi complesse. La duration rappresenta la media aritmetica ponderata delle vite a scadenza pesata con i valori attuali delle poste del flusso calcolati secondo la struttura a scadenza in vigore nel mercato al tempo t.

Misurando il probabile impatto dell’aumento o del calo dei tassi sul valore di un bond può essere uno strumento estremamente utile per la costruzione del portafoglio e la gestione del rischio. In base alle previsioni circa l’andamento dei tassi un gestore può adeguare la duration media del portafoglio così che sia coerente con tali previsioni. La conseguenza di quanto appena detto è che, per esempio, se il gestore si aspetta un calo dei tassi di interesse incrementerà la duration media del portafoglio per trarre il massimo vantaggio da tale variazione. Nel caso opposto, se si attende un rialzo, ridurrà la duration media avvicinandosi allo zero al fine di minimizzare gli effetti negativi sul valore dei titoli in portafoglio.

Dove:

i=tasso di interesse; x=flussi;

t=tempo.

Al numeratore abbiamo la media delle epoche mentre al denominatore c’è il valore attuale dell’operazione finanziaria. Da questa formula discende il fatto che la duration dipende sia dalle scadenze temporali che dal peso dei flussi alle varie scadenze temporali.

Se in un’operazione finanziaria ci sono flussi dello stesso segno: • Se i diminuisce il valore attuale dell’operazione aumenta; • Se i aumenta il valore attuale dell’operazione diminuisce.

Se si considera il valore il valore di un’operazione finanziaria alla scadenza t* tale che DUR (x, t, i) = t*, se t* è il valore della duration dell’operazione finanziaria calcolato al tasso i, allora il VANt*(x, t,i) è il minimo valore per valori del tasso di interesse in un intorno “i”.

Questo è uno dei concetti principali della teoria dell’immunizzazione finanziaria, secondo cui se calcoliamo il VAN al tasso i, nell’intorno del tasso i, il valore della funzione non sarà mai inferiore rispetto al valore corrispondente al tasso i.

Se c’è una variazione del tasso rispetto alla durata media finanziaria il nuovo valore dell’operazione è maggiore rispetto a quello originario. In sostanza si ha:

§ VANt*(i+𝜀)>VANt*(i); § VANt*(i- 𝜀)>VANt*(i);

Avendo un debito futuro previsto per il tempo t* pari a D=VANt*(i) si riesce ad avere l’immunizzazione dal rischio di tasso di interesse, ricordando che D sta ad indicare il debito. Ipotizzando di conoscere l’esborso D si può facilmente calcolare il VAN(i) del flusso D ed ottenere il capitale che è necessario avere al tempo 0:

𝐷(1 + 𝑖))*∗

Il teorema dell’immunizzazione finanziaria da la possibilità di coprirsi dal rischio di qualsiasi variazione del tasso a condizione che l’investimento abbia:

• Duration=t*; • VAN=D.

1.6 LA VOLATILITA’

Quando si decide di investire in titoli obbligazionari uno degli aspetti che deve essere valutato è la scelta di una controparte solida, ovvero si deve fare attenzione al rischio emittente, perché nel momento in cui l’obbligazione viene emessa da una società X che ha un’elevata probabilità di fallimento, la conseguenza è che gli obbligazionisti possono perdere il diritto al rimborso del capitale investito. In linea teorica si è portati a credere che le obbligazioni emesse da uno stato sovrano possano essere obbligazioni sicure, anche se poi nella realtà sappiamo che questo non è sempre vero, basti guardare al caso dell’Argentina.

Per la valutazione dei titoli obbligazionari oltre al rischio di default va considerata anche la volatilità del titolo stesso, questa viene definita come lo scostamento medio dei rendimenti rispetto al loro valore medio, e sarà meno rilevante per i titoli a breve scadenza rispetto ai titoli a più lunga scadenza che si muovono con più oscillazioni.

Quindi possiamo dire che:

• La volatilità è massima nei titoli a lunga scadenza di emittenti rischiosi; • La volatilità è minima nei titoli a breve scadenza.

1. Tempo: più è lunga la duration, maggiore sarà la volatilità;

2. Cedole: più sono alte e più sono frequenti, meno il titolo è volatile.

3. Livello del rendimento: la volatilità è tanto maggiore quanto più basso è il suo rendimento9_.

Quando si parla di volatilità dobbiamo sapere che questa si basa su 3 concetti fondamentali:

§ Regressione verso la media: dopo aver raggiunto valori estremi la volatilità tende a tornare verso valori più normali;

§ Persistenza: la capacità della volatilità di evolvere un giorno dopo l’altro nella stessa direzione, suggerendo che la volatilità di oggi verosimilmente sarà presente anche domani. Questo significa che se i mercati hanno un alto livello di volatilità oggi, probabilmente avranno un certo livello di volatilità anche domani.;

§ Ciclicità: tende a cambiare in modo ciclico, questo vuol dire che dopo una fase di crescita registra un massimo per poi contrarsi fino a un valore minimo e riprendere il processo dall’inizio.

Prima di passare ad analizzare i metodi di valutazione della volatilità è importante sapere che questa può essere di due tipi:

• Storica: si fa riferimento all’ampiezza della variazione di prezzo in un determinato periodo temporale passato;

• Implicita: considera la volatilità futura che viene calcolata sul mercato delle opzioni dagli operatori, è quindi una volatilità soggettiva di ogni singolo operatore10_.

La volatilità può essere calcolata attraverso l’indicatore statistico noto come scarto quadratico medio o deviazione standard oppure attraverso l’Average True Range (ATR) costruito Welles Wilder e pubblicato nel libro “New Concepts in Technical Trading Systems”.

L’ATR è un indicatore che misura la volatilità che si è verificata nel corso di un determinato periodo di tempo su un’attività finanziaria, questo indicatore è una buona alternativa rispetto alla deviazione standard poiché quest’ultima utilizza solo i prezzi di chiusura mentre l’ATR considera anche i prezzi massimi e minimi registrati dal mercato.

9_{La volatilità come misura del rischio di un investimento, < http://guide.supereva.it/borsa/>,5-02-2019.} 10 _{Maurizio Milano, Rischio e Volatilità, Università di Verona, 11-06-2005.}

Per costruire l’ATR è necessario calcolare il True Range ossia il range che considera anche l’eventuale presenza di gap-up o di gap-down.

Il range giornaliero non è altro che la differenza tra il prezzo massimo e il prezzo minimo che sono stati registrati durante una seduta, e questo rappresenta proprio la volatilità giornaliera. Il problema è che il range giornaliero non considera gli eventuali strappi, al rialzo o al ribasso, che si possono verificare tra una seduta e quella precedente.

Per considerare anche questi movimenti Wilder ha creato il concetto di True Range che mette in relazione il massimo e il minimo di ogni seduta con il prezzo di chiusura della seduta precedente.

Il True Range è, infatti, il più ampio di queste tre misure: • La differenza tra massimo e minimo dell’ultima seduta;

• La differenza tra il massimo dell’ultima seduta e il prezzo di chiusura della seduta precedente;

• La differenza tra il prezzo di chiusura della seduta precedente i il minimo dell’ultima seduta11_.

La sua formula è la seguente:

TR=max[(H-L),(H-(C-1)),((C-1)-L)]

H=massimo dell’ultima seduta; L=minimo dell’ultima seduta;

C-1= prezzo di chiusura della seduta precedente12_.

Il valore che viene fuori da questa formula però è difficilmente utilizzabile per fini operativi perché molto erratico, quindi per ottenere un indicatore più lineare è necessario calcolare una media mobile di tipo semplice degli ultimi 14 valori del True Range, che prende il nome di Average True Range.

11 _{Average true range, < http://www.traderpedia.it/wiki/index.php/Average_true_range>, 5-02-2019.} 12 _{Il true range di wilder,< https://www.milanofinanza.it/>,5-02-2019.}

Se l’ATR aumenta vuol dire che sul mercato c’è stato un aumento della volatilità, situazione che si verifica quando i prezzi si trovano in fase rialzista o ribassista.

Al contrario se l’ATR diminuisce vuol dire che sul mercato c’è stata una diminuzione della volatilità, caso questo di quando i prezzi si trovano all’interno di una fase di consolidamento.

1.7 LA CONVEXITY

Quando si parla di convexity si fa riferimento ad una misura della volatilità delle obbligazioni che si riferisce alla variazione della duration di un titolo a reddito fisso al variare del suo rendimento13_{. Ad esempio, se la duration di un’obbligazione aumenta al}

diminuire del rendimento, la sua convessità risulta positiva.

Convexity e duration sono quindi strettamente legate, perché noi sappiamo che la duration può essere una buona misura di come i prezzi delle obbligazioni possono essere influenzati a causa di piccole e improvvise fluttuazioni dei tassi di interesse, tuttavia la convexity è una misura migliore per valutare l’impatto sui prezzi delle obbligazioni quando vi sono ampie fluttuazioni nei tassi di interesse.

Quando la duration aumenta con l’aumentare dei rendimenti si dice che la convexity sia negativa. In altre parole, il prezzo delle obbligazioni diminuirà di un tasso maggiore con un aumento dei rendimenti rispetto a un calo dei rendimenti.

Quindi se la convessità è negativa, questo vuol dire che la duration aumenta e il prezzo diminuisce. Con l’aumento dei tassi di interesse, invece, è vero il contrario.

Si ha una convessità positiva quando la duration aumenta e diminuiscono i rendimenti. Abbiamo dedicato un paragrafo a tale misura perché questa rappresenta un’arma in più per l’investitore in fase di valutazioni di un investimento obbligazionario perché quando i tassi scendono, la convexity accelera l’apprezzamento del bond, mentre al contrario, quando i tassi salgono la convexity frena la perdita di valore del bond.

Per un investimento obbligazionario è preferibile che la convexity sia sempre la più alta possibile in modo da sfruttare appieno quanto appena detto: frenare il ribasso dell’investimento e accelerarne il rialzo.

Di conseguenza nello scegliere tra due bond che presentano medesime caratteristiche in termini di rendimento, cedola e duration, è utile osservare il valore della convexity per poter discriminare con efficacia tra due alternative14_.

CAPITOLO

II:

ANALISI

DELLE

TEORIE

FONDAMENTALI

2.1 DEFINIZIONE DI UNO SHIFT

Il rischio di tasso di interesse, fondamentale da tenere sotto controllo secondo la teoria dell’immunizzazione finanziaria, può dipendere dalla evoluzione del mercato dei tassi, quindi è fondamentale formulare delle ipotesi evolutive del mercato dei tassi d’interesse, attraverso modelli matematici.

Con il termine shift si fa riferimento ad uno spostamento della curva dei rendimenti. Questo shift può essere di due tipi:

• Shift additivi: si intende una variazione costante dell’intensità istantanea di interesse indipendentemente dalla maturity del portafoglio. Questa ipotesi introdotta da Fisher, Weil e Redington. Rappresenta un’ipotesi irrealistica delel variazioni della curva dei rendimenti, perché è chiaro che le informazioni provenienti sul mercato modificano tale curva in maniera diversa a seconda della maturity del portafoglio. Questa ipotesi viene considerata come uno strumento utile per analizzare le variabili in gioco.

d(t+dt,s)=d(t,s) + Y.

Essendo indipendente dalla maturity, come si può notare, la curva non subisce variazioni per quanto riguarda la forma, ma si mantiene parallela alla struttura originaria, spostandosi verso l’altro o verso il basso.

• Shift qualsiasi: lo spostamento dipende dalla maturity del portafoglio.

d(t+dt,s)= d(t,s) + Y(s)15

2.2 TEOREMA DI REDINGTON

Nel primo paragrafo del primo capitolo abbiamo detto che la teoria dell’immunizzazione finanziaria è importante per gli investitori poiché questa ha il suo focus nella possibilità di neutralizzare le variazioni del tasso di interesse di uno specifico portafoglio.

In questo paragrafo verrà enunciata nel dettaglio il primo teorema, fondamentale quello di Redington per l’appunto.

Redington, come precedentemente detto, è il padre dell’immunizzazione finanziaria, che ha dato il via allo sviluppo di questa tematica grazie alla sua opera

dal titolo: “Review of the Principles of Life-Office Valuations”, risalente al 1952 e pubblicata su The Journal of the Institute of Actuaries.

Secondo questo teorema un portafoglio viene definito immunizzato quando la duration dell’attivo è uguale alla duration del passivo, e contemporaneamente la convexity degli attivi sia maggiore della convexity dei passivi.

Il teorema di Redington stabilisce che se la funzione è derivabile almeno due volte e la derivata prima della funzione è

𝑉

= 0

𝑉

> 0

L’immunizzazione di un portafoglio quindi si attua con un sistema nel quale bisogna siano rispettati i seguenti vincoli:

• Valore attività= Valore passività; • Duration attività= Duration portafoglio.

Più nel dettaglio possiamo dire che indicando con d(t, s) l’intensità istantanea della struttura a termine considerata al tempo t, siano x e y flussi non negativi con scadenziario {𝑡_3, 𝑡₅, … , 𝑡₇} vale la seguente relazione:

W(t,x) = W(t, y)

Se nell’istante 𝑡8_{, successivo a t, la curva dei rendimenti è soggetta ad uno shift additivo}

di ampiezza aleatoria infinitesima, allora il valore post-shift di x dovrà essere non minore del valore post-shift di y:

W(𝑡8_{, x) ³ W(𝑡}8_{, 𝑦)}

Se la duration di x equivale alla duration di y e se il momento di second’ordine di x è maggiore o uguale al momento di second’ordine di y:

Possiamo dimostrare il teorema.

Indichiamo con 𝑊₇(t) il valore netto dei flussi x e y ottenuto con d(t, s), abbiamo quindi:

Se al tempo 𝑡8 _{interviene uno shift di ampiezza Y, risulterà:}

Quindi il valore netto post-shift sarà:

Le derivate prima e seconda di 𝑊₇ rispetto a Y sono:

Se consideriamo lo sviluppo in serie di Taylor della funzione nell’intorno di Y=0, arrestandosi al second’ordine, otteniamo:

Il vincolo di bilancio assicura che 𝑊₇ = 0; inoltre, la condizione di duration D(t, x) -D(t, y)=0, con il vincolo di bilancio, garantisce che 𝑊_;<_{(𝑌) = 0.}

Quindi l’immunizzazione sarà garantita se ( 3₅)𝑌5_𝑊

17

2.3 TEOREMA DI FISHER-WEIL

Partendo dal lavoro di Redington, L. Fisher e R. Weil continuarono a lavorare sulla teoria dell’immunizzazione finanziaria creando un loro teorema che in questo paragrafo verrà enunciato nel dettaglio.

Fisher e Weil affrontano il tema dell’immunizzazione finanziaria in relazione all’equilibrio di un portafoglio obbligazionario che potrà dirsi immunizzato solo se il reddito prodotto alla fine del periodo di valutazione (holding period), nel caso in cui si sia manifestato uno shift additivo, risulta non minore del reddito che sarebbe stato prodotto nel caso in cui lo shift non fosse intervenuto.

La strategia di immunizzazione fu proposta da Fisher e Weil come superamento delle cosiddette “strategie naive” ispirate all’ovvio criterio di selezionare titoli che avessero vita a scadenza uguale all’ampiezza dell’orizzonte di attività dell’investitore (maturity matching).

Siano L > 0 importo di un capitale esigibile in data H > t, e x un flusso di importi non negativi con scadenze 𝑡_3, 𝑡₅, … , 𝑡₇ (con t < 𝑡_3, ≤ 𝑡₅ ≤ … ≤ 𝑡₇) il cui valore attuale in t è uguale al valore attuale in t di L:

𝑊(𝑡, 𝑥) = 𝑊(𝑡, 𝐿)

Secondo il teorema di Fisher e Weil è possibile dimostrare che a seguito dell’intervento di uno shift di ampiezza aleatoria sulla struttura per scadenza dei tassi di interesse, il valore post shift del flusso x non è minore del valore post shift del capitale esigibile L se, e solo se, la duration di x, calcolata in t, coincide con la maturity di L:

𝑊(𝑡8_{, 𝑥) ≥ 𝑊(𝑡}8_{, 𝐿)}

Se e solo se:

𝐷(𝑡, 𝑥) = 𝐻 − 𝑡

La dimostrazione di questo teorema parte da un semplice assunto: se il valore post shift del flusso x deve essere non minore del valore post shift di L, allora il rapporto tra queste due grandezze deve essere in ogni momento maggiore o uguale ad 1. Definiamo con Q (t, x, L) il rapporto tra i valori attuali di x e L:

𝑄(𝑡, 𝑥, 𝐿) = 𝑊(𝑡, 𝑥) 𝑊(𝑡, 𝐿)= 1

Adesso per valutare che cosa succede alle grandezze considerate in ogni istante possiamo esprimere sotto forma di valore attuale calcolato secondo il regime della capitalizzazione continua.

Avremo quindi:

Al tempo 𝑡8 _{≤ 𝑠 supponiamo l’intervento di uno shift di ampiezza aleatoria Y che}

modifica la struttura dei rendimenti nel seguente modo:

Il valore del nostro quoziente al tempo 𝑡8 _{sarà funzione di Y, infatti:}

Sapendo che un qualsiasi numero elevato alla 0 dà come risultato 1, siamo in grado di constatare come ipotizzando che lo shift sia nullo, cioè nel caso in cui poniamo Y = 0, il rapporto si mantenga effettivamente uguale a 1.

Adesso analizziamo la funzione in relazione ad Y, calcolando la derivata prima e la derivata seconda:

La derivata seconda rispetto a Y risulterà sempre maggiore di 0.

Matematicamente questo significa che la curva avrà concavità rivolta verso l’alto. Sappiamo inoltre che per Y = 0 la funzione ha valore 1, quindi per dimostrare che il rapporto tra W (t, x)e W (t, L) è sempre maggiore di 1 dobbiamo solo assicurarci che la derivata prima della funzione Q (Y) sia nulla per Y = 0 denotando così, in quell’istante, l’esistenza di un punto minimo.

Infatti se la funzione assume valore 1 nel suo punto minimo assoluto e se la concavità è rivolta verso l’alto, arriviamo a dimostrare la tesi di partenza.

Imponiamo quindi:

Che equivale a:

Che equivale a scrivere:

Poiché per ipotesi il valore attuale del capitale esigibile (espresso come Lv(t, H)) è uguale al valore attuale dei flussi x, l’espressione di sinistra coincide con la duration di tali flussi e quindi, come volevamo dimostrare, il quoziente tra i valori attuali è maggiore o uguale a 1 se, e solo se, vale la relazione tra duration dell’attivo e maturity del passivo, ovvero D (t, x) = H-t.18

2.4 LE IMPLICAZIONI DEL TEOREMA DI

FISHER-WEIL

Gli studi condotti sul tema dell’immunizzazione finanziaria da Fisher e Weil possono essere utilizzati per due fini:

1. La ricerca del tempo ottimo di smobilizzo; 2. La selezione tra portafogli immunizzati; in questo paragrafo andremo ad analizzarli entrambi.

Per quanto riguarda il primo punto il teorema stabilisce che considerando al tempo t un scadenze 𝑡3, 𝑡5, … , 𝑡F (con t < 𝑡3, ≤ 𝑡5 ≤ … ≤ 𝑡F).

In un generico istante H (che si suppone non successivo a 𝑡F) il reddito prodotto dal

portafoglio è:

Dato quindi dalla somma del reddito da reinvestimento e del valore di smobilizzo.

Se la struttura a termine dei rendimenti non subisce variazioni tra gli istanti t ed H tutti i fattori di sconto che compaiono nell’equazione coincidono con i fattori di sconto impliciti nella struttura osservata al tempo t.

Il reddito prodotto dal portafoglio x al tempo H, in assenza di perturbazioni della struttura dei rendimenti, è dato da:

Moltiplicando e dividendo per il fattore 𝑒) ∫ I(*,J)KJMNL si ottiene:

𝑅(𝐻, 𝑥) =𝑊(𝑡, 𝑥) 𝑣(𝑡, 𝐻)

Quindi nell’ipotesi di mercato stabili, ovvero senza shift, il valore del portafoglio x all’istante H è noto con certezza ed è uguale al valore attuale di x (in t), capitalizzato da t ad H.

Se la struttura a termine dei rendimenti subisce perturbazioni il reddito prodotto da x in H è una variabile aleatoria il cui valore dipenderà dai valori assunti dai tassi di interesse negli istanti 𝑡_Q (𝑡_Q ≤ H) ed H

Infatti l’immunizzazione finanziaria può essere considerata come la ricerca del tempo ottimo di smobilizzo, ovvero quell’istante H in cui il reddito prodotto da x sia comunque non inferiore al valore R(H, x) che si avrebbe nel caso di struttura a termine dei rendimenti stabile.

Supponiamo adesso che nell’arco temporale da t a 𝑡_F ci sia stato un unico shift additivo di ampiezza Y, che si può assumere localizzato nell’istante 𝑡8_{,immediatamente}

successivo a t. Per ogni 𝑡<_{Î(t, 𝑡}

F) il reddito prodotto dal portafoglio x, nell’istante di smobilizzo, sarà

una funzione di Y espressa nella seguente maniera:

La derivata seconda di R(Y; H, x)rispetto ad Y è non negativa, quindi affinchè sia R(Y; H, x) ³ R(0; H, x) per qualsiasi ampiezza Y dello shift, la funzione R(Y) deve avere un minimo assoluto in Y = 0, per cui sarà necessario imporre R(Y) abbia derivata nulla in Y = 0;cioè deve risultare:

Per cui:

Quindi possiamo dire che non si avrà perdita, in termini di holding period return, scegliendo l’ampiezza H – t del periodo di detenzione del portafoglio x uguale alla durata media finanziaria D(t, x) di x, valutata in t.

Per quanto riguarda il secondo punto, ovvero la possibilità di selezione di portafogli immunizzati, possiamo considerare un paniere di opportunità di mercato costituito da flussi di cassa generici, definiti rispetto allo stesso scadenziario, noti con certezza al tempo t.

Il paniere delle n opportunità di mercato è rappresentato formalmente dalla matrice A, ad n righe (flussi) e m colonne (scadenze), essendo il generico elemento 𝑎_SQ la posta dell’i-esimo flusso con scadenza in 𝑡Q, i=1,2,…,n, k=1,2,…,m.

Se si indica con 𝛼_S, i=1,2,…,n, la quota del titolo i-esimo detenuta in portafoglio, il flusso x da immunizzare avrà componenti:

E valore, al tempo t, dato da:

Quindi il vincolo di bilancio e la condizione di duration si scriveranno rispettivamente così:

Il problema di selezione di un portafoglio immunizzato si traduce quindi nella scelta di un vettore a=𝛼_3,, 𝛼₅,…, 𝛼₇ che soddisfi le due equazioni appena citate, e si riduce alla soluzione di un sistema di due equazioni lineari nelle incognite 𝛼_3,, 𝛼₅,…, 𝛼₇, caratterizzato, nei casi significativi, da un numero, l=n – 2, non nullo di gradi di libertà. È importante in questa fase tenere in considerazione anche la funzione costo dei possibili portafogli di copertura, data dalla seguente formula:

Che tiene in considerazione il vettore q={𝑞₃,𝑞_5,…,𝑞₇} delle quotazioni, al tempo t, delle n opportunità di mercato, di ogni portafoglio di composizione a.

Chiaramente la scelta di tenere in considerazione la funzione costo non è fatta a casa, ma è rilevante avere la funzione costo come funzione obiettivo nella selezione del portafoglio, poiché fra tutti i portafogli immunizzati può essere conveniente scegliere la combinazione a minimo costo, che garantirà quindi massimo rendimento sul periodo di detenzione da t ad H.

Il problema di selezione di un portafoglio immunizzato si rappresenta con il seguente problema:

La soluzione del problema sarà data da un vettore a avente al più due componenti diverse da zero. In altre parole il problema di selezione di un portafoglio immunizzato sarà risolto combinando non più di due flussi del paniere A.

2.5 DIVERSIFICAZIONE DI PORTAFOGLIO

Quando si va a costruire un portafoglio d’investimento la prima cosa da fare è definire l’asset allocation dello stesso, ovvero si deve andare a decidere in che modo distribuire le risorse fra i diversi possibili investimenti.

Le principali categorie di investimenti entro cui si orienta questa scelta possono essere suddivise in attività finanziarie come azioni, obbligazioni o liquidità, oppure in attività reali, ovvero immobili, merci, metalli preziosi.

I vari investimenti o asset gestiti dall’investitore tramite l’asset allocation sono in genere suddivisi e organizzati per tipologie chiamate asset class.

In sostanza l’asset allocation ha il compito di raggiungere una gestione ottimale del portafoglio, ossia una gestione che equilibri nel miglior modo possibile il rendimento e il rischio delle attività alle esigenze e alle aspettative dell’investitore. Il rendimento e del rischio tendono ad essere proporzionali in quanto in genere un’attività ad elevato rischio tende anche ad avere un elevato rendimento atteso. Il rischio è per questo motivo considerato come uno dei parametri fondamentali per distinguere tra loro gli investimenti. Alcuni studiosi parlano a tal proposito di rischio specifico e di rischio generico.

• Il rischio specifico è un rischio legato alla natura dello stesso investimento. Se per esempio si prende un investimento azionario, il rischio specifico sarà dato dalle

caratteristiche economiche della società emittente ovvero dall’andamento del conto economico, dalla solidità patrimoniale, dalle prospettive future, dal posizionamento dell’azienda rispetto ai suoi concorrenti;

• Il rischio generico (o sistemico) è invece il rischio a cui il singolo investimento è sottoposto per via delle fluttuazioni del mercato e che non può essere eliminato o sostanzialmente diminuito con la diversificazione del portafoglio, come invece avviene per il rischio specifico19_.

L’asset allocation in generale è suddivisa in tre ulteriori categorie ovvero può essere orientata secondo tre diversi approcci. In tal senso si parla correntemente di asset allocation strategica, tattica o dinamica.

• L’asset allocation strategica orienta gli investimenti scegliendo di organizzarli secondo un orizzonte temporale di medio e lungo periodo;

• L’asset allocation tattica: è invece un’allocazione basata su un orizzonte di breve termine e quindi basata su una visione del mercato contingente rispetto a quella strategica. In genere questo tipo di asset allocation è impiegato per adattare l’allocazione strategica a specifici e temporanei trend del mercato, tuttavia una certa coerenza fra questi due tipi di asset allocation permette in genere di evitare errori nella gestione del portafoglio;

• L’asset allocation dinamica, infine, rappresenta un genere di allocazione degli investimenti ancora più orientato ad una lettura del mercato sotto la prospettiva temporale del breve termine. Spesso si fa riferimento all’asset allocation dinamica per spiegare rapidi adattamenti del portafoglio a brusche variazioni del mercato; va però sottolineato che il fattore tempo (timing) è in generale un elemento molto importante per l’asset allocation che è considerata in generale come un processo dinamico20_.

Una volta definita l’asset allocation del portafoglio è necessario procedere a un’ulteriore diversificazione, nell’ambito delle singole classi di attività, per ridurre il rischio andando a diversificare ulteriormente gli investi tra di loro.

19 _{Asset allocation, <}

https://www.borsaitaliana.it/notizie/sotto-la-lente/assetallocation.htm>,04-06-2019.

C’è però da considerare che la diversificazione, per quanto spinta, non elimina completamente il rischio legato all'investimento in una classe di attività. La diversificazione può eliminare il rischio idiosincratico - l'incertezza associata alle singole società - ma non il rischio aggregato, cioè l'incertezza associata all'andamento dell'economia nel suo complesso, che influenza l'andamento delle singole società. Per esempio, se l'economia entra in una fase recessiva, la maggior parte delle società vedrà diminuire il proprio fatturato, gli utili e il rendimento dei propri titoli azionari. In conseguenza, per evitare di essere eccessivamente esposti al rischio di un unico mercato, e approfittando del fatto che, storicamente, le recessioni non sono simultanee in tutti i paesi del mondo, è necessario rendere ancor più sofisticata la diversificazione, scegliendo opportunamente anche i mercati a cui esporre il proprio investimento, prendendo in considerazione non solo le economie avanzate, ma anche quelle emergenti o in via di sviluppo.

Un'ulteriore possibilità di diversificazione è offerta dagli strumenti finanziari alternativi, che allargano la prospettiva del portafoglio anche ad attività non finanziarie o a strategie d'investimento innovative.

Quindi possiamo dire che un’efficiente diversificazione consiste nell’investire in differenti asset class con basse correlazioni di rendimento, riducendo così la rischiosità complessiva del portafoglio.

Questo è proprio quello che si proverà a fare con questo elaborato, ovvero la costruzione di portafogli diversi tra loro sia per tipologia di investimenti, che per mercati nei quali si ha intenzione di investire

Quando il nostro obiettivo è quello di creare un portafoglio diversificato dobbiamo concentrarci sul concetto della correlazione, questa infatti sta ad indicare la tendenza di due strumenti finanziari a muoversi nella stessa direzione oppure o no.

Possiamo dire che esistono due tipi di correlazione:

- Positiva: se un titolo di muove in una direzione e un altro la segue nella stessa direzione.

- Negativa: quando un titolo si muove in una direzione e l’altro invece va nella direzione opposta.

Il calcolo del coefficiente di correlazione esistente tra gli strumenti che compongono un portafoglio determina anche il grado di rischio che si corre facendo una scelta di investimento.

Attraverso la strategia di diversificazione l’obiettivo dell’investitore è quello di ridurre il rischio dell’investimento complessivo, questo implica andare a scegliere asset positivi che possano annullare le performance negativa di altri.

Quindi in generale per una corretta gestione del rischio gli elementi chiave sono i seguenti:

- La diversificazione riduce il rischio solo se le componenti del portafoglio non sono correlate positivamente;

- Il portafoglio deve includere un numero sufficiente di attività non correlate;

- Bisogna valutare tutte le fonti di rischiosità dei singoli asset21_.

Un’altra variabile chiave per una corretta diversificazione è l’orizzonte temporale dell’investimento, ovvero la durata stabilita per raggiungere l’obiettivo di rendimento.

2.6 TEORIA DI MARKOWITZ

L’economista Harry Markowitz è considerato il padre del concetto di diversificazione di un portafoglio, il suo studio si basa sull’analisi del processo che genera la domanda e

l’offerta di attività finanziarie in funzione del rapporto rischio-rendimento. L’idea principale contenuta nella sua teoria è che un insieme di titoli diversi per natura, rischio e rendimento hanno una performance più alta e una rischiosità più contenuta rispetto ai singoli investimenti.

Le ipotesi alla base della teoria di Markowitz sono:

• Gli investitori intendono massimizzare la ricchezza finale e sono avversi al rischio;

• Il periodo di investimento è unico;

• I costi di transazione e le imposte sono nulli, le attività sono perfettamente divisibili;

• Il valore atteso e la deviazione standard sono gli unici parametri che guidano la scelta;

• Il mercato è perfettamente concorrenziale22_.

Il rendimento di un’attività viene definito come il rapporto tra capitale iniziale e gli utili prodotti da operazioni di investimento o di compravendita in un periodo di tempo sil specificato.

Il rischio, invece, può essere definito come il grado di incertezza che il mercato esprime sulla effettiva realizzazione dei rendimenti attesi.

La formula del rendimento atteso è:

𝜇 = 𝐸[𝑅_Y] = ∑_S\37 _𝑅

S ∗ 𝑝(𝑅S)

Dove 𝑝(𝑅_S) è la probabilità che il rendimento atteso, per il titolo i-esimo, sia Ri. La probabilità è definita come il limite del rapporto tra il numero degli eventi favorevoli (Ni) e il numero totale di osservazioni (N):

𝑝(𝑅_S) = lim

7→b

𝑁𝑖 𝑁

Avendo a disposizione un campione di N osservazioni sotto forma di serie storica dei rendimenti, si potrà considerare la media aritmetica delle osservazioni come uno stimatore attendibile del rendimento atteso 𝜇.

Riscriviamo dunque la formula del rendimento atteso:

𝜇 = 𝐸[𝑅Y] =

1

𝑁e 𝑅S(𝑗)S\3 7

La formula della varianza invece è:

𝜎5 _{= 𝑉𝑎𝑟[𝑅] =} 1

𝑁 − 1∑i\3; [𝑅S(𝑗) − 𝜇]5

Un’assunzione fondamentale riguarda la distribuzione delle probabilità sulla quale si regge il meccanismo di formazione dei rendimenti, la quale ipotizza essere di tipo Gaussiano, questo significa considerare che i prezzi siano generati da un processo causale che esprime un valore atteso uguale a 𝜇 e una varianza pari a 𝜎5_.

Per calcolare il rischio e il rendimento di un portafoglio costituito da N titoli è necessario fare riferimento alla correlazione esistente tra i titoli e al rapporto tra la frazione di ricchezza investita su ciascun titolo e quella totale di portafoglio wj=Wj/W.

Passiamo per semplicità direttamente alle formule riguardanti un portafoglio composto da due titoli, il suo rendimento atteso è espresso dalla seguente formula:

𝜇 = 𝐸[𝑅] =å_S\37 _å i\3

F _{(𝑤1𝑅1, 𝑖 + 𝑤2𝑅2, 𝑖)𝑝(𝑅1, 𝑖, 𝑅2, 𝑖) = 𝑤}

3𝜇3+ 𝑤5𝜇5

Mentre la varianza è data da:

𝜎5 _{= 𝑉𝑎𝑟[𝑅] = 𝑤}

35𝜎35+ 𝑤55𝜎55 + 2𝑤3𝑤5𝜌𝜎3𝜎5

La formula ci dice che il rischio associato all’assunzione di un portafoglio composto da due titoli dipende anche dalla correlazione lineare esistente tra essi. Si riconosce che, se questa è nulla, la varianza del portafoglio è uguale alla media ponderata delle varianze dei singoli titoli, pesate dalla percentuale di ricchezza in essi investita.

In pratica se non c’è alcuna correlazione tra i due titoli il rischio di assunzione di un portafoglio è analogo a quello che caratterizza i singoli titoli. Se questa correlazione è positiva allora alla crescita del rendimento di un titolo corrisponde all’aumento del rendimento del secondo titolo, e quindi la variabilità del portafoglio è maggiore di quella che caratterizza ciascun titolo.

Infine, se la correlazione è negativa, la varianza del portafoglio risulta minore di quella di ciascun titolo. Si deduce che nel caso di andamenti contrapposti dei rendimenti dei titoli, il rischio di detenzione di un portafoglio si riduce.

2.7 INDICE DI SHARPE

L’indice di Sharpe, nome che proviene dal Premio Nobel per l’economia William Sharpe, è un indicatore che misura l’extraprofitto, rispetto al tasso risk free, realizzato da un portafoglio (o fondo) rispetto all’unità di rischio complessivo sopportato.

𝑆𝑅 =𝑅n− 𝑅o 𝜎_n Dove:

𝑅_n = rendimento medio del portafoglio gestito 𝑅o = rendimento medio di un’attività risk-free

𝜎_n = deviazione standard del portafoglio23

Questo indice sarà tanto più elevato quanto un maggior rendimento, in un determinato periodo considerato, è ottenuto con minor rischiosità.

Questo indicatore, però, non immune da critiche, questo perchè ci sono dubbi proprio con riferimento alle variabili presi in considerazione.

In primo luogo per quanto riguarda il rendimento del portafoglio perché questo è di difficile valutazione.

Relativamente all’indicatore di un’attività risk-free si hanno delle perplessità su quello che rappresenta un tasso di interesse privo rischio, nella pratica questo viene fatto coincidere con il rendimento di titoli di Stato caratterizzati da bassa rischiosità.

2.8 FINANZA COMPORTAMENTALE

La finanza moderna si basa sui principi dettati da Markowitz secondo il quale “un buon portafoglio è qualcosa in più di una lunga lista di buone azioni e fondi. È un insieme bilanciato che fornisce all’investitore protezione e opportunità rispetto a numerosi fattori contingenti”24_.

Sempre secondo Markowitz l’investitore è razionale e non ama il rischio. Per un

23 _{Indice di Sharpe, < https://www.borsaitaliana.it/borsa/glossario/indice-di-sharpe.html>, 08-06-2019.} 24 _{Dalla finanza moderna alla finanza comportamentale, < https://ferdinandolettieri.com/> , 08-06-2019.}

Portafoglio ottimo altre che diversificare è necessario guardare alla correlazione degli investimenti.

Uno dei più grandi seguaci di Markowitz è stato Peter Lynch che a metà egli anni ’70 seguì il suo lavoro.

Lynch ha gestito per oltre quattordici anni un fondo che ha avuto dei risultati migliori rispetto ai concorrenti, perché difatti gli investimenti fatti nel suo fondo raddoppiavano di valore ogni 2 anni e mezzo, questo però non ha impedito, alla metà degli investitori, di perdere soldi.

È stata proprio l’esperienza di Lynch che ha dato il via, dalla metà degli anni Novanta, alla finanza comportamentale (behavioural theory).

Questo ha portato gli studiosi Daniel Kahneman e Vernon Smith ad elaborare una teoria psicologica in campo economico, grazie alla quale nel 2002 hanno vinoto un Premio Nobel.

Secondo Kahneman l’individuo non era razionale, così come definito ma Markowitz, ma anzi era un individuo normale, caratterizzato infatti dal fatto di essere ripetitivo, intuitivo e soprattutto emotivo.

La teoria comportamentale ha come obiettivo quello di andare ad analizzare il modo in cui l’interazione tra fattori psicologici, sociali, culturali ed una serie di errori mentali ripetuti, possano condurre ad erronee valutazioni delle attività finanziarie negoziate sui mercati speculativi.

La behavioural theory non vuole sostituirsi alla teoria tradizionale, vuole affiancarsi a questa cercando di dare un’interpretazione alternativa a manifestazioni irrazionali del mercato25_.

Molti studiosi ipotizzarono che il problema della diversificazione potesse essere risolto con la teoria comportamentale del portafoglio.

Gli investitori comportamentali non considerano il loro portafoglio come un unico titolo e non sono sempre avversi al rischio, perché quest’ultimi considerano i loro titoli come un potenziale da sfruttare e inoltre sono disposti ad eliminare i benefici della diversificazione per avere maggiori guadagni.

Quindi, nella teoria comportamentale, gli investitori non diversificano del tutto il proprio portafoglio, perché i portafogli diversificati lasciano loro piccole speranze di raggiungere le loro aspirazioni di diventare ricchi.

CAPITOLO III: L’IMMUNIZZAZIONE FINANZIARIA

TRAMITE LA DIVERSIFICAZIONE DI PORTAFOGLIO:

CASO PRATICO

Nei capitoli precedenti sono stati trattati tutti i concetti generali relativi all’immunizzazione finanziaria e alla diversificazione di portafoglio, quello che si vuole fare da adesso in poi è cercare di vedere se nella pratica queste teorie trovano applicazione oppure no.

Questo lavoro pratico parte dall’ipotesi di trovarci nell’ottica di un manager di un fondo di investimento che deve investire in titoli governativi una somma e davanti a sé ha la possibilità di scegliere tra tre diversi fondi:

1. Fondo governativo Italia: caratterizzato, come dice il nome, solo da titoli di stato del paese Italia;

2. Fondo governativo Europa: nel quale sono presenti oltre ai titoli di stato italiani anche titoli di alcuni paesi dell’unione europea;

3. Fondo governativo Mondo: composto da titoli di stato delle maggiori potenze a livello globale.

Andando a strutturare i vari portafogli e dopo averli studiati vogliamo vedere se l’immunizzazione riesce a trovare un’applicazione pratica nel mondo reale, e quindi si vuole vedere se è possibile coprirsi dal tasso di interesse.

In più verrà fatto un focus sul tema della diversificazione per cercare di stabile se questa ha o meno un ruolo rilevate nella composizione di un certo portafoglio, perché dalla teoria noi sappiamo che l’investimento in una gamma più ampia di titoli, diversi nel nostro caso per area geografica, comporta una migliore resistenza rispetto a shock internazionali.