Diophantine Analysis and Linear Groups

Testo completo

(1)

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(3)

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(5) sHtmuvgwyùzúûyüOu ý }k}i :¢£²Z¢}è¢£ }l~ É N§lÄ}@k|}5§¯~þÄ}5¡ ~~¡ ¢£}l{|¤i¬}¢£}i¥8§<¨}p¢}¯©z¢£}Ö £ª«UÿO¢Ä ~6¡¸²Ä¢±8²5k|´} ³U}5µ ¶¸·Á |~lg²gg¯k|}»}5¦ ~O~§¯ 3i§¯l¢£@Z §¯}5 }¢ 3 T ¢QÖ ¢£§¯}5~} n k U} n 6 max{3, 2(pp− 1)} ¡¬¡kl¡, T kZ¢} ¢£m +¾ ~5¬N¢¢£¬²Z ¨¡¬¬ N¡Zi¡}¿Á¡¨~¡¬}ÂkU } P ∈ T (k) ÿfk¡}k|~}<»}5 øb ~ ~ £»» ν }i } D ∈ T (k ) pD = P Z¡¡¬1} } D ∈ T (k) ν ν ν pD = P ±p²k|\}3³U~¬}i<|èk|}N§¯b6k|~}»}5 p 6= 2 ¡65~¢£ó5~} }5 }5b}1ÿ £Å}5b}»}5¡¯¢£¬²Z ¨¡¬¬þ¯¡£5¡¬}5¿¹¡¬¨~¡}Æ ÒmËkÊpÈ ÐÔÓ p ÊiÑiÒ~ÒQÈ ÏÐ. G. ÓÔ3Õ£Ö. Û Ú ~Ò Ò ¬Û Ó ß Ú 5Ó È Ô Ë Ô Ú× ÑÊ ÚgÛ Ë. n (Z) . ϕ : H 1 (G, Fnp ) →

(6). ÈÍgË. C. Í Ú Ê Ó ÚN× Ê Ú<ÓLÞ È × × È Ð ÊiÑiÒ~Ò Ó ß Ó ß ÛÓ ß Ó

(7) Ó. Y. H 1 (C, Fnp ). C. G á pÓÔÓ. Ë × ×ÉÓ Í Ú ã. äåæø ~}i +}i¢£¬§¯b§¯6k|~}Ä»}5¯~§¯ 6= 2 }i¢\ p¿¹ ~ G £¢ p§lg¦ Õ£Ö (Z) n < 3(p − 1) ¡¬}´¬}²ZpÀkþñ ²g¡}3 £§lgi§¯}5b} }}5~¢£}i~¢£l¢£ øn ~}¬¡L ¡¬¯¢£,±p²k|Ä}<³«}5mäå¡¬}£§¯b§¯¯k|} ¡p~ F ¡ÀkgFÿ´ §l¡}¦~}5¡1 }i~ k|}3»}5 p 6= 2 } n > 3(p − 1) 8~ }5§¯} }Ì ¼}i}5§¯¯}i¦ ϕ O} ¬²g~ ñ}i5~¢~è~}¼ÿ3 ¡¸² 5¬ F é ~Ì©¡ )}¢æÿ+F¢¡8 ¡¸²Ö Hµ ê¸·¹ Õ X ~5 ²¸æ~¬}5 ²g ¢£}5~¬ X i§¯»¢£b ~§}i k }\ }5¡}5§¯}i b}\¢£ ¬¡À} Lò }i }i~ ~} f KÕ ë k|}è~¡ ~¢æK» y£~~Àì ~~Àkj¢£ k S ~ ~¬}i§¯}è~¬¢£y» k(X) } O ¡¹ò }i¡¬¡ñ¢£}5¡¬ S ¿Á}5¦ ~¡85§» K æäå¡¦ }i}5§l ¢£ Õ }5}5¡¦gôU}5§l k|}+S} g(X) > 1 è } j |~è¡¬§¯}5~ 3 »¡Éz¡¡¬6¡¹ò ~¬}i§}+¢£}i¦ b S ¿¹b}i ÿ¯~¬~ ¦~+5 (X, j) k|~} £¢¢£ Ù X(OS , j) = {P ∈ X(K) | j(P ) ∈ OS } øb }}Ì»} ,ÿ1¢} ky¾ Õ ¬}i}5¡~gÂk ñ¢¬§¯ kói¬}+¢£}5¡8}i}5§lè¢£ }5}5¡¦)º}3¡5 ¡¬¡ñ ~¡¬¡ k¡Ö 3¢£}5 b S ¿Á}5 P ¢£ X :ZÿNÕ ¡¬¡¹ò ¡¬}5óiói+¢£ j(P ) ¬¢£¬§¯}i~m ¡5 ,iL~¡L~¯ } }iZ £}f¢}5¡¡¬}y²}5k ~~¾}5ô»}5 ²}Â¢}5¡«}5}5§l~ k|}Ìº~<¡¬§¯¬, »}5¬«O}i§¯L¢£ K S } (X, j) ©z¬¡ ¼µ öêg·|~Ìg²g1 }i}5§l1¢£ }5}5¡}5ô»}5 ²1»}5¡5 }¦5¡¢£~5 ²} §¯£¢£ ¡Ég²Z²}58»}5 (X , j) ¢£g²} Γ ÿ Õ y¢£}i ~¡ Γ(N ) Γ (N ) 1 » lk|}1¡lΓ~¢£}i}Ì5~ (X , j) Õ }5}5¡~ Γ0 (N ) Γ äå¼ø ~}i }i«¢£¬§¯b§¯f ~}i}5§lf¢ ¬}i}5¡»}ôU}²}i ¢£g²} ÿ¾ øb ~ » Â8 ~¢£U~ }5óm¥¦}i¡»Õ ¡²}5¡¡y}iói¢£U(X ¬§¯Γ ,fj)¡» Γ ¡¬ÿ8øb ~ ¬¡§¡}b¬¨~¬¡}ÆQ~b§¯}£¢£~kg~ £»ik~} ~~¡¬²´}iøb ²g¡}5ó¥¦}i¡85 }i}5k¡}¼¢£¬§¯b§¯ )}5}i§l6¢£ Õ ¬}i}i¡ }5ô»}5 ²Ä}i8,5 Õ }5}5¡~ (X , j) »» k|}y¡,¡²}5¡¡¢£ Γ +¢£²Z¢ Γ +5}5¯¬b}5~ .

(8) sHtvgwyxzu }5 }y|~ÿi}<}f§»}y¢£}¢£}5 £ª¼~ ¬}5 l}5§¯¬ÿi}}øb Q~À¯¢~ ¡}ñ ~¡Ì¢£} {|~¤5} ¢£}N¥8§<¨}¼¢£} ©zÖ ¢£} £ª«¦}¼~ ~¬¤5} ¢£ ¸²g¬¡1¢£} ±p²~5k|1}:³U~¬}i:µ ¶·¹@äå¡«bL§b¤ø ~}: , 1§f¨}:}5§¯}5 p i y5~ ¢}z~§f¨~} k }: <} T ¢£}¢£¬§¯}i~ n k n 6 max{3, 2(p − 1)} ¡k,¡} } T ½ ¬8¢£ Ä¾ ~5¬»}¢£}y¢£²b¬¨¡À¤y¡¬£i¡}¿Á¡¨~¡¬}ÂkZò }i 8þ¯¢£¬}y P ∈ T (k) }}i¡Uøb }8 ~}øb } £}8¡5} ν ¡U}ª£ } D ∈ T (k ) ¸²} pD = P Z¡k ν ν ν ¡L}5ªZ } D ∈ T (k) ¸²} pD = P ±p²~5k|+}5³U}58bÌ @§¯¤<ø ~}«øb ~~¢ U¡~¢£¬´ ¬¿ ²g}}i ¦ £Åb}1» ¡l¢£²Z¬¨~¬¡À¤¡¬£i¡}¿Á¡¨~¡¬}Æ p 6= 2 ÒmÈZÑÊ × È£Ñ × pÏºÐ ÊÈZÑiÒmË G

(9) ÚgÔÞ8Õ£Ö Û Ú Ò~Ò Û¬Ó ß Ú×ÙÓ È ÔOÔÚ£× ÑÊË ÛÛ Ë n (Z). ϕ : H 1 (G, Fnp ) →. È. Y C. H 1 (C, Fnp ). Ë

(10) ËÒ Û Ú ßË1Ë ÔU× ÊË Û Ë Þ ÈZÑ ÞkÏºÐ ÊÈZÑiÒmË Þ ßÎ«ß ÛÓ ÑZË Þ

(11) Ë G á Ë Þi×:ÓÔiâ Ëß ×ÙÓ Í¸Ëgã C Þ ±Ì}}¯|ÿi}¯ ~1§¯~1øb }¯ yk|~øb }}5§¯}5 }fk|øb } ¿p¹ »} G ¢£}p§l5}i¢~~ Õ£Ö (Z) ¸²}i n < 3(p − 1) ¡¹ò g½}i²ZpÀ6=¤p}2 £§lg¿ øb }g}5<¤}i~¢m ~¡}}i ¡¬gnQ¢£}z±p²~5k|}5:³U}5<¡¬ 5¸ ~,§¯£¿ ~øb }}} ¡¬:}i £¬§l¡¹¢~:¡}¦ }i~:øb }» p 6= 2 }5 n > 3(p − 1) ¼}i £8~ ~¬}p ~O}5ª§¯¡}Ì ϕ Lò }i ~g½}i²} ¼¢£}5 £ª£ÿ5§¯}¯~}¯}i ¡¬}¯}i ¡À¤l¢«ò ~}¡¬¡¨»kg¬´¸²}yé ©z¬¡ }y}i ~Ö ¤i}Ä¢£}Äè¸²g¡¦µ ê¸·Á Õ ¬ X }Ä5 ¨»}½}i²}¢£¤5~}Ä f F5~ ¢}f§f¨}i }5Ì¬ ~3¤5¡¤5§¯}5bÌ35~ 8¢} ¦±p}f¡ ~i»¬ ~} }5ªZ}5 ¼~~k¬}¢£ k Uj¬ S +}5~}5§<¨¡}~m¢£}y¡5}ik(X) ¦ K ë øb Qb¬}iK8 ¡}i¯~¡}i¯£~~kì<}Ä¬ O ¡Éò ~}i )¢£}i S ¿¹}i¬}i¯ l¡}¼5~ K Ö }¼¨}5 5Z \|¤iÿ5§¯}N¢£} Õ }5}5¡¢£SÀløb }¼ ¬ g(X) > 1 ¬ j F§¯~ 3 »¡}i ¡¬1¡¹ò }5~}5§<¨¡¬}¢}iy»b ¿¹}i¬}i }i É ¦}~¬} (X, j) øb ,gS Ù¬¦}X(O |b®Z»S,|j) ÿi}i=}{P 8∈X(K) }i¡¬¤i}¦¾ |Õ j(P }5}5)¡¬}i∈O }SÂk} 8¢£¤i§¯~ kg¬y¢£ y|¤5ÿi§}¢£} ¬}i}5¡b}z¢£~}~,¢£}Q¨},¢£ <|~ Q ¡fÖ ¡¡¬}1¢£}iz»b S ¿¹}ib}5k P ¢} X ZÕ ò }i þ<¢£}p ¡f|~ £}5 ¢£} j(P ) :¥8¤i¿ §¯¬~i£¢z¢}i5} £ªlNy¨£}iZ N¢£}²}5k ~Q¾}5ô»}Ã¬²}iÂp¢£ |¤5ÿi§} øb @¢£~}5b8¢£}i¨»}}ôU}iÃ¬²}i}iN}5§¯}i¢£} K S }5 (X, j) ©z¡¬ ¼µ÷öZê¸·»Ì¢¤5§¯b¤ |¤iÿ5§¯}¢£} }5}i¡£}ôU}i¬U» ~}5¬~}i:¡}im¢£} 5 ¨»}iz§¯Z¢ ¡¬}iiZò }i þ¢£}Ì (X Õ , j) ø ~¢ Γ }¡Éò O¢£}i ~ ¿¹ »}i 5¡ø ~}i Γ(N ) Γ (N ) Γ (N ) » ²Z løΓ ~}z¡1~¬}z5} »¢b} (X , j) ¬ 1 0 Γ Õ ¬}i±Ì}5¡}5Q5}}}|ÿ } ~m¢£¤i§¯b~, y|¤5ÿi§¯}¢£} }5}i¡}5ô»}ÃÀ» øb ~~¢ Γ }8¾ }øb }øb }5¡~øb }ÃÂ ¿Á »}f¢£}l5Õ }i~}y±p~1¡}(X ~¬²Γ}i,j) ~ ~5}z¢«ò }5§¯¬}im}z} ~¡Àkgm}i Q}iøb }z¡¬}z§¯}5¡¬¡}5 m» ¨¡}Æ@Q§¯¤|£¿ £¢£} ~²b}5b ~¡}i5 £L ~L£þf¤ø ~¬²g¡}5}8~ÿ5m±p~z¡¬}Ì5¤5¤i¡~ ~ ¢¤5§¯b Ä|¤5ÿi§¯}1¢} ¬}i}i¡«}ôU}iÃÀm» £}~} }5}5¡¬}i} (X , j) Γ » ~²Z +øb }1¡¬}²} ¼¢£} }Õ ¢£²b}~ +5}5O}5b}5 Õ Γ. ¬.

(12) ².

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