CcL 05 - Esercizi sui gruppi spaziali

Testo completo

(1)Docente: Ernesto Mesto e-mail: ernesto.mesto@uniba.it Website: www.geo.uniba.it/mesto.html.

(2) Vediamo come è possibile rappresentare graficamente la simmetria completa di un gruppo spaziale facendo uso delle convenzioni internazionali stabilite nelle International Tables for X-Ray Crystallography. Il diagramma del gruppo spaziale è una proiezione della faccia C della cella elementare. Gli assi a e b sono nella pagina (b orizzontale diretto verso destra, a verticale diretto verso il basso. La direzione di c va dalla b pagina all’osservatore. a. g. L’origine della scelta è di solito fissato sul centro di simmetria quando è presente o su qualche elemento di simmetria.

(3) Per definire le posizioni degli elementi di simmetria conviene eseguire le seguenti operazioni: • Tracciare gli elementi di simmetria presenti nel simbolo del gruppo spaziale.. • Si applica ad un oggetto P, definito da coordinate frazionarie (x, y, z) gli operatori di simmetria opportunamente posizionati. P sarà trasferito nei suoi «equivalenti di simmetria» P’, P’’, …, attraverso una trasformazione del tipo: 𝑅11 𝑥′ 𝑋 ′ = 𝑦′ = 𝑅21 𝑅31 𝑧′. 𝑅12 𝑅22 𝑅32. 𝑅13 𝑥 𝑇1 𝑅23 𝑦 + 𝑇2 = CX = RX + T 𝑇3 𝑅33 𝑧. dove la matrice R è la «componente rotazionale» (propria o impropria) dell’operazione di simmetria. I suoi elementi sono interi e assumono i valori 0, +1, -1, inoltre il det(R) = ±1. La matrice T è la componente traslazionale dell’operazione di simmetria. Se P’, P’’, …, cadono al di fuori della cella è bene riportarli all’interno di essa attraverso una opportuna traslazione. • Si individuano e posizionano nuovi elementi di simmetria (se generati) attraverso l’analisi della figura così ottenuta..

(4) Matrici Definizioni: In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice è una tabella ordinata di elementi. Denoteremo le matrici con lettere maiuscole (es. 𝐴), mentre gli elementi da cui essa è costituita con le stesse lettere minuscole addizionate di una copia di pedici (es. 𝑎𝑖𝑗 ). Una matrice avrà righe orizzontali e colonne verticali. Una matrice generica sarà formata da m righe e n colonne, es:. 𝐴=. 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎𝑚1. 𝑎11 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑚2. ⋯ 𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎2𝑛 ⋱ ⋮ … 𝑎𝑚𝑛. La matrice A è formata da m righe, n colonne e m x n elementi.. Una matrice è quadrata se il numero di righe è eguale a quello delle colonne (𝑚 = 𝑛) Una matrice con una sola riga sarà definita come vettore riga. Es. 𝑋 = 𝑥. 𝑦. 𝑧 o𝐻 = ℎ. 𝑘. 𝑙. ℎ Una matrice con una solo colonna sarà definitiva vettore colonna. Es. 𝐻 = 𝑘 𝑙 𝑇 La matrice 𝐴 sarà la trasposta delle matrice B (indicata con 𝐴 o 𝐴) se 𝑏𝑗𝑖 = 𝑎𝑖𝑗 . Ne A ne B hanno bisogno di essere matrici quadrate, ma ovviamente se A ha m righe e n colonne, allora B avrà n righe e m colonne..

(5) Operazioni tra matrici Somma tra matrici Due matrici 𝐴 e 𝐵 entrambe 𝑛 x 𝑚, possono essere sommate. La loro somma 𝐴 + 𝐵 è definita come la matrice 𝑚 𝑥 𝑛 i cui elementi sono ottenuti sommando i corrispettivi elementi di 𝐴 𝑒 𝐵. [𝐴 + 𝐵]𝑖,𝑗 = [𝐴]𝑖,𝑗 + [𝐵]𝑖,𝑗 Es.. 1 2 6 1+5 2+6 5 6 + = = 3 4 3+7 4+8 10 7 8. 8 12. Moltiplicazione per uno scalare La moltiplicazione per uno scalare è un'operazione che, data una matrice 𝐴 ed un numero 𝑐 (detto scalare), costruisce una nuova matrice 𝑐 · 𝐴, il cui elemento è ottenuto moltiplicando l'elemento corrispondente di 𝐴 per 𝑐 ; gli elementi della matrice e lo scalare in questione devono appartenere allo stesso campo. [𝑐 ∙ 𝐴]𝑖,𝑗 = 𝑐 ∙ [𝐴]𝑖,𝑗. Es. 5 ∙. 1 3. 2 5∙1 5∙6 5 = = 4 5∙7 5∙8 35. 30 40.

(6) Prodotto tra matrici Sia 𝐴 una matrice 𝑚 x 𝑛 e 𝐵 una matrice 𝑛 x 𝑘, si definisce prodotto tra le matrici 𝐴 e 𝐵 la matrice 𝐶 = 𝐴 · 𝐵 il cui generico elemento 𝑐𝑖𝑗 è la somma dei prodotti degli elementi della i-esima riga di A per i corrispondenti elementi della j-esima colonna di B, ovvero: 𝑛. 𝑐𝑖𝑗 =. 𝑎𝑖𝑧 ∙ 𝑏𝑧𝑗 𝑧=1. La matrice prodotto C ha tante righe quante sono le righe di A e tante colonne quante sono le colonne di B. Il prodotto tra matrici è anche detto prodotto riga per colonna. Es: 1 2 𝐴= 4 5. 3 ; 6. 7 8 𝐵 = 10 11 13 14. 9 12 ⇒ 15. Prima riga: 𝑐11 = 1 ∙ 7 + 2 ∙ 10 + 3 ∙ 13 = 66; 𝑐12 = 1 ∙ 8 𝑐13 = 1 ∙ 9 + 2 ∙ 12 + 3 ∙ 15 Seconda riga: 𝑐21 = 4 ∙ 7 + 5 ∙ 10 + 6 ∙ 13 = 156; 𝑐22 = 4 ∙ 8 𝑐23 = 4 ∙ 9 + 5 ∙ 12 + 6 ∙ 15. 𝑐11 𝐶 =𝐴∙𝐵 = 𝑐 21. 𝑐12 𝑐22. 𝑐13 66 = 𝑐23 156. 𝐶 =𝐴∙𝐵 =. + 2 ∙ 11 + 3 ∙ 14 = 72; = 78 + 5 ∙ 11 + 6 ∙ 14 = 171; = 186 72 171. 78 186.

(7) Prodotto tra matrici Per verificare la possibilità di poter moltiplicare la matrice 𝐴 di ordine 𝑝 x 𝑞 con la matrice 𝐵 di ordine 𝑟 x 𝑠 conviene scrivere: (𝑝 𝑥 𝑞)(𝑟 𝑥 𝑠) Si hanno così quattro numeri: 2 esterni (𝑝 ed 𝑠) e 2 interni (𝑞 e 𝑟). E' possibile effettuare il prodotto 𝐴 · 𝐵 se e solo se gli interni coincidono, cioè 𝑞 = 𝑟.. Da ricordare: Il prodotto tra matrici NON E' SEMPRE eseguibile. Se è possibile eseguire il prodotto 𝐴 · 𝐵 non è detto che si possa eseguire il prodotto 𝐵 · 𝐴 e quindi bisogna stare attenti all'ordine in cui si deve eseguire la moltiplicazione.. Un caso particolare, ampiamente usato in algebra lineare per rappresentare le trasformazioni lineari (come rotazioni e riflessioni) è il prodotto tra una matrice 𝑚 𝑥 𝑛 ed un vettore colonna 𝑛 𝑥 1, che viene chiamato anche prodotto matricevettore. In fine, le matrici sono utili soprattutto per rappresentare sistemi di equazioni lineari..

(8) Determinazione della matrice R Per determinare la matrice di rotazione e/o trasformazione di una operazione di simmetria, seguire la procedura seguente: posizionare l’operatore di simmetria al centro di quattro celle attigue ed individuare le direzioni mostrate in figura: [110]. [100]. [110] Far operare l’operatore di simmetria sulle direzioni [100], [010] e [001].. Centro di simmetria. [010]. [110]. [100]. [010]. [110]. Riportare nella prima colonna della matrice 3x3 gli indici di arrivo della direzione [100], nella seconda colonna gli indici di arrivo della direzione [010] e nella terza colonna gli indici di arrivo della direzione [001].. Per es. l’operazione inversione trasforma la direzione [100] → [100], la direzione [010] → [010] e 1 0 0 la direzione [001]→ [001]. Per tanto la matrice di trasformazione sarà: 𝑅1 = 0 1 0 . 0 0 1.

(9) Determinazione della matrice R [110]. [010]. [110]. [100]. [110]. Asse binario // b. [100]. [010]. [110]. Per es. un asse binario coincidente con l’asse b, trasforma la direzione [100] → [100], la direzione resterà invariata [010] → [010] e modifica la direzione [001] → [001]. 1 Per tanto la matrice di rotazione sarà: 𝑅2 = 0 0. 0 0 1 0 . 0 1.

(10) Determinazione della matrice R [110]. [010]. [110]. [100]. Asse binario // c. [100]. [110]. [010]. [110]. Per es. un asse binario coincidente con l’asse c, trasforma la direzione [100] → [100], la direzione [010] → [010] e non modifica la direzione [001] → [001]. 1 Per tanto la matrice di rotazione sarà: 𝑅2 = 0 0. 0 0 1 0 . 0 1.

(11) Determinazione della matrice R [110]. [010]. [110]. [100]. Piano di simmetria perpendicolare a b. [100]. [110]. [010]. [110]. Per es. un piano di simmetria perpendicolare a b, trasforma la direzione [100] → [100], la direzione [010] → [010] e non modifica la direzione [001] → [001]. 1 0 0 Per tanto la matrice di rotazione sarà: 𝑅𝑚 = 0 1 0 . 0 0 1.

(12) Determinazione della matrice R [110]. [010]. [110]. [100]. Asse quaternario // c. [100]. [110]. [010]. [110]. Per es. un asse quaternario coincidente con l’asse c, trasforma la direzione [100] → [010], la direzione [010] → [100] e non modifica la direzione [001] → [001]. 0 Per tanto la matrice di rotazione sarà: 𝑅4 = 1 0. 1 0 0 0 . 0 1.

(13) Determinazione della matrice R [100]. [110]. [110]. 120°. [010]. 60°. Asse ternario // c. [110]. [100]. [010]. g = 120°. [110]. Per es. un asse ternario coincidente con l’asse c, trasforma la direzione [100] → [010], la direzione [010] → [110] e non modifica la direzione [001] → [001]. 0 Per tanto la matrice di rotazione sarà: 𝑅3 = 1 0. 1 0 1 0 . 0 1.

(14) Determinazione della matrice R [100]. [110]. [010]. Asse senario // c. [110]. 60°. [010]. g = 120°. 60°. [110]. [100]. [110]. Per es. un asse senario coincidente con l’asse c, trasforma la direzione [100] → [110], la direzione [010] → [100] e non modifica la direzione [001]→ [001]. 1 Per tanto la matrice di rotazione sarà: 𝑅6 = 1 0. 1 0 0 0 . 0 1.

(15) Determinazione del vettore di traslazione T Per determinare il vettore di traslazione T di una operazione di simmetria, seguire la procedura seguente: considerare l’elemento di simmetria nella cella e determinare dove questo sposterà l’origine. Le coordinate di arrivo x/a, y/a e z/a saranno rispettivamente le componenti T1,T2 e T3 del vettore traslazione dell’operatore di simmetria (0,0,0). (0, 1 2 , 0) Elicogira binaria 21 // b. Un’elicogira 21 coincidente con l’asse b sposterà l’origine della cella dalle coordinate frazionarie (0, 0, 0) a (0, 1⁄2,0). Il vettore traslazione dell’elicogira avrà componenti ( T1=0, T2=½ e T3=0)... L’operazione 21 sposta l’origine della cella da (0, 0, 0) →(0, 1/2, 0), Per tanto: 𝑇 =. 0 1/2 0. 𝑇1. 𝑇2. 𝑇3.

(16) Determinazione del vettore di traslazione T (0,0,0) Elicogira binaria 21 // c. (0, 1 2 , 0). Un’elicogira 21 coincidente con l’asse c sposterà l’origine della cella dalle coordinate frazionarie (0, 0, 0) a (0, 0, 1⁄2,). Il vettore traslazione dell’elicogira avrà componenti ( T1=0, T2=0 e T3=½).. L’operazione 21 sposta l’origine della cella da (0, 0, 0) →(0,0,1/2), Per tanto: 𝑇 =. 0 0 1/2. 𝑇1. 𝑇2. 𝑇3.

(17) Determinazione del matrice R e T per elementi di simmetria non passanti per l’origine Se gli elementi di simmetria non passano per l’origine della cella, per determinarne la matrice di rotazione li sposto al centro di quattro celle attigue, mentre li lascerò invariati per determinarne la componente traslazionale. Es. asse 21//c posizionata a (1 4 , 1 4 , 𝑧) [110]. [100]. (0,0,0). [110]. 1. 4. 4. [010]. [010]. [110]. 1. [100]. [110]. (1 2 , 1 2 , 1 2). (0, 0, 0) →(1 2 , 1 2 , 1 2),. [100] → [100], [010] → [010], [001] → [001]. 1 Per tanto la matrice di rotazione sarà: 𝑅 = 0 0 .. 0 0 1 0 0 1. 𝑇2. 𝑇1 𝑇=. 1/2 1/2 1/2. 𝑇3.

(18) Determinazione del matrice R e T per elementi di simmetria non passanti per l’origine Es. slitto piano a con coordinate (𝑥, 1 4 , 𝑧). [110]. [100]. 1. 4. [010]. [010]. [110]. [110]. (0,0,0). [100]. [110]. (1 2 , 1 2 , 0). (0, 0, 0) →(1 2 , 1 2 , 0),. [100] → [100], [010] → [010], [001] → [001]. 1 Per tanto la matrice di rotazione sarà: 𝑅 = 0 0 .. 0 0 1 0 0 1. 𝑇2. 𝑇1 𝑇=. 1/2 1/2 0. 𝑇3.

(19) Matrici 4x4x Per calcolare le posizioni in cui un elemento di simmetria sposterà un oggetti di coordinate frazionarie (x, y, z) è possibile anche usare la matrice 4x4,W (augmented matrix). E’ necessario però apportare cambiamenti al formalismo matematico: 𝑻 𝑹 𝑅11 𝑥′ 𝑦′ 𝑅21 ′ 𝑋 = = 𝑅31 𝑧′ 0 1. 𝑅12 𝑅22 𝑅32 0. 𝑅13 𝑅32 𝑅33 0. 𝑇1 𝑇2 𝑇3 1. 𝑥 𝑦 𝑧 = 𝑊𝑋 1.

(20) Sistema Triclino Ci sono 2 gruppi spaziale per il sistema triclino. I cristalli di questo sistema appartengono alle classi cristalline 1, o 1. Qui considereremo il gruppo spaziale 𝑃1. La metrica della cella unitaria nel sistema triclino è: a ≠ b ≠ c b. a. g. a≠b≠g.

(21) Classe di simmetria: 1 Classe di Laue:1 Sistema triclino. 𝑃1 No.2. b a. ,. ,. +. ,. -. +. ,. +. +. Z = 2; 𝒙, 𝒚, 𝒛 (𝒙, 𝒚, 𝒛) Centrico, non-enantiomorfo.

(22) 𝑃1 No.2 b a. ,. Unità asimmetrica ,. -. -. z. +. +. y. ,. -. , +. -. x +. Z = 2: Vunità asimmetrica = ½ Vcella unitaria Unità asimmetrica: 0 < x < ½; 0 < y < 1; 0 < z < 1..

(23) 𝑃1 No.2. Una vista prospettica della cella unitaria in 𝑃1, dove tutti i centri di simmetria sono mostrati. Gli otto centri di simmetria (quelli NON correlati dall’ operatore di simmetria del gruppo spaziale) sono mostrati in celeste..

(24) 𝑃1 No.2. b a. ,. ,. -. -. +. ,. -. +. , +. +. Gli otto centri di simmetria indipendenti hanno coordinate:. (0,0,0) (½, 0, 0) (0, ½, 0) (½, ½, 0) (0,0, ½) (½, 0, ½) (0, ½, ½) (½, ½, ½).

(25) b a. ,. ,. +. ,. -. 𝑃1 No.2 +. -. ,. +. +. Questi otto centri di simmetria indipendenti corrispondono alle otto distinte posizioni speciali per 𝑃1, ciascuna con una molteplicità (Msp) pari a 1. Msp. Coordinate. 1. (0, 0, 0). (½, 0, 0). (0, ½, 0). (½, ½, 0). 1. (0, 0, ½). (½, 0, ½). (0, ½, ½). (½, ½, ½).

(26) b a. ,. -. (𝑥, 𝑦, 𝑧). ,. +. +. (𝑥, 𝑦, 𝑧). ,. 𝑃1 No.2. -. ,. +. +. 1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 0 R1 = 0 1 0 0. 0 0 1. 0 T1 = 0 0. 1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 0 0 𝑅1 = 0 1 0 0 0 1. 0 𝑇1 = 0 0.

(27) Sistema Monoclino Ci sono 13 gruppi spaziale per il sistema monoclino.. I cristalli di questo sistema appartengono alle classi cristalline 2, m or 2/m. Qui considereremo I gruppi spaziali P2, C2, e P21..

(28) Primitive Monoclinic (Click to rotate) 1. C-Centered Monoclinic (Click to rotate)1. Nel sistema monoclino, a  b  c; a = g = 90º, and b  90º. L’asse b è perpendicolare ad a e c, e viene detto asse unico. E’ solamente possibile posizionare l’asse 2 lungo l’asse b, e il piano di simmetria (m) perpendicolare all’asse b. 1http://phycomp.technion.ac.il/~sshaharr/intro.html.

(29) Classe di simmetria:2. P2 No.3 b. 2. -. -. +. +. -. -. +. +. a. Z=2;. ( x, y , z ). ( x, y , z ). Acentrico - Enantiomorfo. Classe di Laue: 𝑚 Sistema monoclino.

(30) P2 No.3. Unità asimmetrica b. -. -. +. +. z. a. y -. -. +. +. x. Z = 2: Vunità asimmetrica = ½ Vcella unitaria Unità asimmetrica: 0 < x < ½; 0 < y < 1; 0 < z < 1..

(31) P2 No.3 b. -. -. +. +. -. -. +. +. a. 1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 0 R1 = 0 1 0 0. 0 0 1. 0 T1 = 0 0. 2//b: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 𝑅2 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. 0 𝑇2 = 0 0.

(32) P2 No.3 b. Z=2;. -. -. +. +. -. -. +. +. a. ( x, y , z ). ( x, y , z ). Si noti che ci sono due molecole per cella unitaria, e che altri assi binari sono generati a a/2 e c/2 quando atomi o gruppi di atomi sono aggiunti per simmetria. Ci sono quattro assi di rotazioni indipendenti: dove sono? (0, y, 0); (0, y, ½); (½, y, 0); (½, y, ½).

(33) c. b. 0. a. Una vista prospettica della cella unitaria in P2, dove tutti gli assi binari sono mostrati. I quattro assi binari indipendenti (quelli NON correlati dall’ operatore di simmetria del gruppo spaziale) sono mostrati in blu..

(34) P2 No.3 b. Z=2;. -. -. +. +. -. -. +. +. a. ( x, y , z ). ( x, y , z ). Questi quattro assi binari indipendenti corrispondono alle quattro distinte posizioni speciali per P2, ciascuna con una molteplicità (Msp) pari a 1. Msp 1. Coordinate (0, y, 0). (0, y, ½). (½, y, 0). (½, y, ½).

(35) Il gruppo spaziale numero 4 è il P21. Il simbolo 21 è il simbolo dell’elicogira; in questo caso essa deve essere ancora disposta lungo b (perché?). L’elicogira 21 è una operazione di simmetria che si articola in due passi (dal simbolo MN, una rotazione di (360/M)º seguito da una traslazione pari a N/M in coordinate frazionarie parallelo all’asse).. 1/2+. Simbolo: 21 ┴ pag. c. +. Simbolo: 21 || pag. c. b. -. b=1. b=0 +. 0.5. a. Questa operazione prende un punto da (x, y, z) e lo sposta a (-x, ½+y,-z), cioè fa una rotazione di +360o/2 e uno spostamento di +½ dell’unità di traslazione..

(36) Classe di simmetria:2. P 21 No.4 b. 2. Classe di Laue: 𝑚 Sistema monoclino. -. -. +. +. a. -. +. Z=2;. ( x, y , z ). -. +. ( x, y  1 2 , z ). Enantiomorfo - acentrico.

(37) Unità asimmetrica b. P 21 No.4 z. -. +. +. a. y -. +. x +. Z = 2: Vunità asimmetrica = ½ Vcella unitaria Unità asimmetrica: 0 < x < ½; 0 < y < 1; 0 < z < 1..

(38) P 21 No.4 b. -. +. +. a. -. +. +. 1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 0 R1 = 0 1 0 0. 21//b: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦 + 2 , 𝑧). 1 𝑅2 = 0 0. 1. 0 0 1. 0 T1 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. 0 𝑇2 =. 1 2. 0.

(39) Classe di simmetria: m. Pm No.6. 2. Classe di Laue: 𝑚 Sistema monoclino. b +. +. +. ‘. ‘. a. +. +. +. +. +. Simbolo piano di simmetria perpendicolare alla pagina. ‘. ‘. Z=2;. ( x, y , z ). ( x, y , z ). E’ questo gruppo spaziale enantiomorfo o non-enantiomorfo? Non-enantiomorfo.

(40) Pm No.6 b. +. +. Z=2;. ‘. +. ‘. ‘. ‘. a. +. ( x, y , z ). +. +. +. +. ( x, y , z ). E’ questo gruppo spaziale centrosimmetrico o non-centrosimmetrico? Non-centrosimmetrico.

(41) Pm No.6 b +. +. +. ‘. ‘. Z=2. a. +. +. +. +. +. ( x, y , z ). ( x, y , z ). ‘. ‘. Si noti che ci sono due molecole per cella unitaria, e che un altro piano di simmetria perpendicolare a b è stato generato a b/2 quando atomi o gruppi di atomi sono aggiunti per simmetria. Ci sono due paini di simmetria indipendenti: dove sono? (x, 0, z); (x, ½,z);.

(42) Pm No.6. Unità asimmetrica. z. b +. ‘. ‘. +. +. y x +. +. ‘. ‘. a. +. +. +. Z = 2: Vunità asimmetrica = ½ Vcella unitaria Unità asimmetrica: 0 < x < 1; 0 < y < ½; 0 < z < 1..

(43) Pm No.6 b. +. +. ‘. +. ‘. ‘. ‘. a. +. +. +. +. +. 1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 0 R1 = 0 1 0 0. 0 0 1. 𝑚//ac: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 0 𝑅𝑚 = 0 1 0 0. 0 0 1. 0 T1 = 0 0 0 𝑇𝑚 = 0 0.

(44) Il prossimo gruppo spaziale è C2, numero 5. la simmetria rotazionale è identica a quella vista per il gruppo spaziale P2, ma qui la differenza è nel reticolo cristallino. Il Simbolo “C” indica una cella C-centrata, cioè, con un nodo al centro della faccia ab; ricordiamo che l’operazione di centratura C esegue una traslazione a (½, ½, 0)+ applicata a tutti I punti del reticolo primitivo.. Per costruire il diagramma del gruppo spaziale C2, conviene partire dal diagramma del gruppo spaziale P2, visto precedentemente, e aggiungere le molecole generate dall’operazione di simmetria della centratura C..

(45) Classe di simmetria:2. C 2 No.5 b. 2. -. -. +. +. Classe di Laue: 𝑚 Sistema monoclino. a Generati dalla centratura C. -. +. Z=4;. -. -. +. +. ( x, y , z ). ( x, y , z ). (0, 0, 0) . (1 2 ,1 2 , 0)  (1 2  x,1 2  y, z ) (1 2  x,1 2  y, z ) Questo gruppo spaziale è enantiomorfo o non-enantiomorfo? Enantiomorfo - acentrico.

(46) C 2 No.5 b. -. -. +. +. a -. + -. -. +. +. I quattro assi binari indipendenti sono le quattro posizioni speciali per C2, ciascuna con Msp = 2 e distinte coordinate Msp Element 2. 2. Coordinates (0, y, 0). (0, y, ½).

(47) Unità asimmetrica. b. C 2 No.5 z. -. -. +. +. a -. y. + -. -. +. +. x. Z = 4: Vunità asimmetrica = ¼ Vcella unitaria Unità asimmetrica: 0 < x < ½; 0 < y < ½; 0 < z < 1..

(48) b. -. -. +. +. C 2 No.5. a -. +. Operatore identità 1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). Asse binario 2//b: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). -. -. +. +. 1 0 R1 = 0 1 0 0. 1 𝑅2 = 0 0. 0 0 1. 0 T1 = 0 0. 0 1 0. 0 0 1. 0 𝑇2 = 0 0. Operatore di centratura C 1 1 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥 + , 𝑦 + , 𝑧) 2 2 1 1 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥 + , 𝑦 + , 𝑧) 2 2. 1 0 0 Rc = 0 1 0 0 0 1. Tc =. 1 2 1 2. 0.

(49) La molteplicità delle posizioni speciali in C2, Msp = 2 ci dice che c’è un altra posizione simmetricamente equivalente per ciascuna delle posizioni elencate nella slide precedente: (½,½ +y,0) con (0,y,0) e (½,½ +y,½) con (0,y,½).. Il gruppo spaziale C2, è un altro esempio … molto significativo … del processo di costruzione di un set di operazioni di simmetria: sono, infatti, stati generati un numero di assi 21 posti a ¼ lungo l’asse a, rispetto a quelli binari presenti nella cella unitaria, per esempio (¼,y,0), (¼,y,½) etc..

(50) 2. Classe di simmetria:𝑚. P 21 / c No.14 ¼. -. ¼ ½+. +. Z=4. ‘. ½+. ‘. ½-. ¼. -. ¼ ½+. +. (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑥, 𝑦, z + ½). +. ¼. (𝑥, 𝑦 + ½, 𝑧). Non enantiomorfo - Centrosimmetrico. ‘. ‘. ¼. ‘. a. ½+. ½-. ‘. b. 2. Classe di Laue: 𝑚 Sistema monoclino. (𝑥, 𝑦 + ½, 𝑧). +.

(51) Generalmente però, si preferisce fissare l’origine della cella in un centro di simmetria. P 21 / c No.14. b. Nuova cella con origine traslata su un centro di simmetria a. ¼. ¼. ¼. ¼. ¼. ¼. ¼. ¼. ¼. ¼. ¼. ¼. Per questo cambio di origine bisogna traslare tutto di ¼ b e ¼ c …..

(52) P 21 / c No.14 +. a. ½+. ‘. ‘. ¼. ½-. -. ‘. b. -. ¼ +. ¼. ½-. -. Z=4. (𝑥, 𝑦, 𝑧). (𝑥, 𝑦, 𝑧). ½+. ‘. ‘. +. (𝑥, 𝑦 + ½, 𝑧 + ½). Non enantiomorfo - Centrosimmetrico. ‘. ¼. ¼. -. ¼ +. (𝑥, 𝑦 + ½, 𝑧 + ½).

(53) P 21 / c No.14 ½-. -. +. ½+. ‘. ‘. a. ‘. ¼. b. -. ¼ +. ¼. ½-. -. ½+. ‘. ‘. +. ‘. ¼. ¼. Unità asimmetrica z. -. ¼ +. Z = 4: Vunità asimmetrica = ¼ Vcella unitaria. y. Unità asimmetrica: 0 < x < 1; 0 < y < ¼; 0 < z < 1. x.

(54) P 21 / c No.14 1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧) 8 centri di simmetria:. 1 0 R1 = 0 1 0 0. 0 0 1. 0 T1 = 0 0. 0, 0,0 (½, 0, 0) (0, ½, 0) (½, ½, 0) 0, 0, ½ (½, 0, ½) (0, ½, ½) (½, ½, ½). 1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 𝑅2 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. 0 𝑇2 = 0 0. 4 assi 21∕∕𝑏 : 𝑥, 0, ¼ (x, ½, ¼) (x, 0, ¾) (x, ½, ¾) 0 0 1 0 0 1. 0 𝑇3 = ½ ½. 2 slittopiani 𝑐∕∕𝑎𝑐 : 𝑥, ¼, 𝑧 (x, ¾, z) 1 0 0 𝑅4 = 0 1 0 𝑐∕∕𝑎𝑐 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦 + ½, 𝑧 + ½) 0 0 1. 0 𝑇4 = ½ ½. 21∕∕𝑏 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦 + ½, 𝑧 + ½). 1 𝑅3 = 0 0. Le posizioni speciali coincidono con gli otto centri di simmetria.

(55) Gruppi spaziali non standard Vi sono diversi gruppi spaziali che sembrano non corrispondere alla lista "standard" , ad es: P21/n, P21/a and I2/a. Come mai? Sulle International Tables for Crystallography, Volume A, Space Group Symmetry vi sono i cosiddetti alternative settings (scelta di “celle diverse") rispetto ai gruppi standard. Per esempio P21/a è in realtà P21/c con scelta della cella 3, mentre P21/n prevede la scelta n 2; I2/a è in realtà C2/c con cella n.3.. In particolare, P21/a si ottiene partendo da P21/c: scambiamo a e c, invertiamo b (per mantenerci in un sistema destrorso). Lo slittopiano, prima di tipo c sarà ora di tipo a. Questo non è un nuovo gruppo spaziale ma una versione alternativa, appunto, nonstandard, di P21/c..

(56) Sistema ortorombico In questo sistema sono presenti 59 gruppi spaziale. I simboli degli elementi di simmetria del gruppo spaziale per questo sistema si riferiscono alle direzioni a, b, c nell'ordine (gli elementi sono paralleli ad essi se assi propri, perpendicolari se piani): b c. a. Pca21 La classe si simmetria la deriviamo dal simbolo ca21 eliminando da ciascun elemento le componenti traslazionali, quindi sarà mm2..

(57) Ortorombica Primitiva1. Ortorombica Corpo-Centrato (I)1. Ortorombica-Centrata (A- or B- or C- )1. Ortorombica Facce-Centrate (F)1. (Click on any green label above to rotate). Nel sistema ortorombico, a  b  c; a = b = g = 90º. Sono possibili tre classi cristalline o gruppi puntuali: 222, mm2 or mmm..

(58) Classe di simmetria:222. P2 2 2 No.16. b. 2 2 2. Classe di Laue: 𝑚 𝑚 𝑚 Sistema ortorombico. a. +. -. +. -. -. +. -. +. +. -. +. -. -. +. -. +. Z=4;. (𝑥, 𝑦, 𝑧). (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑥, 𝑦, 𝑧). (𝑥, 𝑦, 𝑧). Enantiomorfo - acentrico.

(59) P2 2 2 No.16 b a+. -. +. -. -. +. -. +. Unità asimmetrica z +. -. +. -. -. +. -. +. y. Z = 4: Vunità asimmetrica = ¼ Vcella unitaria Unità asimmetrica: 0 < x < ½; 0 < y < ½; 0 < z < 1.. x.

(60) P2 2 2 No.16 1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 R1 = 0 0. 0 1 0. 0 0 1. 0 T1 = 0 0. 4 assi 2∕∕𝑐 : 0, 0, 𝑧 (½, 0, z) (0, ½, z) (½, ½, z) 2∕∕𝑐 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 𝑅2 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. 0 𝑇2 = 0 0. 4 assi 2∕∕𝑎 : 𝑥, 0,0 (x, ½, 0) (x, 0, ½) (x, ½, ½) 2∕∕𝑎 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 𝑅3 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. 0 𝑇3 = 0 0. 4 assi 2∕∕𝑏 : 0, 𝑦, 0 (½, y, 0) (0, y, ½) (½, y, ½) 2∕∕𝑏 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 𝑅4 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. 0 𝑇4 = 0 0.

(61) P2 2 2 No.16. b a. +. -. +. -. -. +. -. +. +. -. +. -. -. +. -. +. Msp. Coordinate. 2. (x, 0, 0). (0, y, 0). (x, ½, 0). (½, y, 0). 2. (x, 0, ½). (0, y, ½). (x, ½, ½). (½, y, ½). 2. (0, 0, z). (½, 0, z). (0, ½, z). (½, ½, z). 1. (0,0,0). (½,0,0). (0, ½, 0). (½, ½, 0). 1. (0,0, ½). (½,0, ½). (0, ½, ½). (½, ½, ½).

(62) P2 2 21 No.17. Combinando oggetti con componente traslazionale questi non si incontrano in un punto!.

(63) Sappiamo che la coesistenza di sue assi binari semplici ortogonali e passanti per un punto O, comporta la formazione di un terzo asse binario semplice, perpendicolare ai primi due e passante per O: +. -. cioè -. +. +. -. -. +. 1) Se uno dei due assi binari è un’elicogira 21 allora esisterà un altro asse 2 dislocato ad un ¼ da O e intersecante perpendicolarmente l’elicogira. + -. ½. +. +. cioè. -. ¼. +. -.

(64) 2) Se una coppia di elicogire 21 normali passano per O consegue la presenza di un altro asse 2, perpendicolare ai primi due e passante ad (¼, ¼) da O. + -. -. ½ ½. + cioè. -. +. +. ¼. ½. + +. -.

(65) 3) Se due assi binari normali sono separato da ¼ di periodo, allora esiste un asse 21 che l’interseca normalmente.. ½+. ½+. ½-. +. ¼. cioè. ½-. +. ¼. 4) Se un’asse 2 e un’asse 21 normali sono separati da ¼ di periodo allora esiste un nuovo asse 21 normale ad entrambi e intersecante l’altro asse 21 ad ¼ dall’asse 2. ½+ -. ½+. ½cioè. ½. +. ¼. -. ¼. +. ½¼.

(66) 5) Se esistono due elicogire ortogonali e distanti di ¼ di periodo allora sarà presente un’altra elicogira normale alle prime due e passante ad (¼, ¼) da esse. ½+ -. ½-. ½ ½. +. ¼. cioè. ½-. ½+. ½+. ¼. ½. + ½+. -.

(67) Classe di simmetria:222. P2 2 21 No.17. b. 2 2 2. Classe di Laue: 𝑚 𝑚 𝑚 Sistema ortorombico. a. +½. -½. +½. ¼. ¼ -. +. -. -½. +½. ¼ -. Z=4;. +. ¼. ¼. +½. -½. -½. ¼ +. (𝑥, 𝑦, 𝑧). -. (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑥, 𝑦, 𝑧 + ½). Enantiomorfo - acentrico. (𝑥, 𝑦, 𝑧 + ½). +.

(68) P2 2 21 No.17 b a +½. -½. +½. ¼. ¼ -. -½. +. -. +. Unità asimmetrica ¼. ¼. z +½. -½. +½. ¼ -. -½. ¼ +. -. +. y Z = 4: Vunità asimmetrica = ¼ Vcella unitaria Unità asimmetrica: 0 < x < ½; 0 < y < ½; 0 < z < 1.. x.

(69) P2 2 21 No.17 1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 R1 = 0 0. 0 1 0. 0 0 1. 0 T1 = 0 0. 4 assi 21∕∕𝑐 : 0, 0, 𝑧 (½, 0, z) (0, ½, z) (½, ½, z) 21∕∕𝑐 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧 + ½). 1 𝑅2 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. 0 𝑇2 = 0 ½. 4 assi 2∕∕𝑎 : 𝑥, 0,0 (x, ½, 0) (x, 0, ½) (x, ½, ½) 21∕∕𝑎 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 𝑅3 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. 0 𝑇3 = 0 0. 4 assi 2∕∕𝑏 : 0, 𝑦, ¼ (½, y,¼) (0, y, ¾) (½, y, ¾) 21∕∕𝑏 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧 + ½). 1 𝑅4 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. 0 𝑇4 = 0 ½.

(70) P2 2 21 No.17. b a. +½. -½. -½. +½. ¼. ¼ +. -. +. -. ¼. ¼. +½. -½. -½. +½. ¼ -. ¼ +. Msp. +. -. Coordinate. 2. (x, 0, 0). (x, ½, 0). (x, 0, ½). (x, ½, ½). 2. (0, y, ¼). (½, y, ¼ ). (0, y, ¾). (½, y, ¾).

(71) Classe di simmetria:222. P 21 21 2 No.18. b. 2 2 2. Classe di Laue: 𝑚 𝑚 𝑚 Sistema ortorombico. a. +. +. + -. -. +. +. Generalmente si preferisce fissare l’origine della cella sull’asse binario. Per far questo è necessario traslare tutto di ¼a e ¼b ….

(72) Cella con origine sull’asse binario.

(73) P 21 21 2 No.18. b a. +. +. +. +. -. +. +. +. Z=4;. (𝑥, 𝑦, 𝑧). +. (𝑥, 𝑦, 𝑧). (𝑥 + ½, 𝑦 + ½, 𝑧). Enantiomorfo - acentrico. (𝑥 + ½, 𝑦 + ½, 𝑧).

(74) P 21 21 2 No.18. b a. Unità asimmetrica +. +. +. +. -. +. +. +. +. Z = 4: Vunità asimmetrica = ¼ Vcella unitaria Unità asimmetrica: 0 < x < ½; 0 < y < ½; 0 < z < 1..

(75) P 21 21 2 No.18. 1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 R1 = 0 0. 0 1 0. 0 0 1. 0 T1 = 0 0. 4 assi 2∕∕𝑐 : 0, 0, 𝑧 (½, 0, z) (0, ½, z) (½, ½, z) 2∕∕𝑐 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 𝑅2 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. 0 𝑇2 = 0 0. 4 assi 21∕∕𝑎 : 𝑥, ¼, 0 (x, ¾, 0) (x, ¼, ½) (x, ¾, ½) 21∕∕𝑎 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥 + ½, 𝑦 + ½, 𝑧). 1 𝑅3 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. ½ 𝑇3 = ½ 0. 4 assi 21∕∕𝑏 : ¼, 𝑦, 0 (¾, y, 0) (¼, y, ½) (¾, y, ½) 21∕∕𝑏 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥 + ½, 𝑦 + ½, 𝑧). 1 𝑅4 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. ½ 𝑇4 = ½ 0.

(76) P 21 21 21 No.19. b a. Classe di simmetria:222 2 2 2. Classe di Laue: 𝑚 𝑚 𝑚 Sistema ortorombico. ½-. ¼. ¼ +. +. ½+. ½+ ½-. ¼. ¼ +. Z=4;. (𝑥, 𝑦, 𝑧). +. (𝑥 + ½, 𝑦, 𝑧 + ½). (𝑥 + ½, 𝑦 + ½, 𝑧). Enantiomorfo - acentrico. (𝑥, 𝑦 + ½, 𝑧 + ½).

(77) P 21 21 21 No.19. b a. ½-. ¼. ¼ +. +. Unità asimmetrica ½+. ½+. ½-. z. ¼. ¼ +. +. y. Z = 4: Vunità asimmetrica = ¼ Vcella unitaria Unità asimmetrica: 0 < x < ½; 0 < y < ½; 0 < z < 1.. x.

(78) P 21 21 21 No.19. 1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 R1 = 0 0. 0 1 0. 0 0 1. 0 T1 = 0 0. 4 assi 21∕∕𝑐 : ¼, 0, 𝑧 (¾, 0, z) (¼, ½, z) (¾, ½, z) 21∕∕𝑐 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥 + ½, 𝑦, 𝑧 + ½). 1 𝑅2 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. ½ 𝑇2 = 0 ½. 4 assi 21∕∕𝑎 : 𝑥, ¼, 0 (x, ¾, 0) (x, ¼, ½) (x, ¾, ½) 21∕∕𝑎 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥 + ½, 𝑦 + ½, 𝑧). 1 𝑅3 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. ½ 𝑇3 = ½ 0. 4 assi 21∕∕𝑏 : 0, 𝑦, ¼ (0, y, ¾) (½, y, ¼) (½, y, ¾) 21∕∕𝑏 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦 + ½, 𝑧 + ½). 1 𝑅4 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. 0 𝑇4 = ½ ½.

(79) b. a. Classe di simmetria: mm2. Pca 21 No.29. 2 2 2. Classe di Laue: 𝑚 𝑚 𝑚 Sistema ortorombico ½+. ½+. +. +. ‘. ‘. +. ½+. ½+. ‘. ½+. +. +. Z=4;. ‘. +. ½+. (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑥+ ½, 𝑦, z). (𝑥, 𝑦, 𝑧 + ½) (𝑥 + ½, 𝑦, 𝑧 + ½). Non enantiomorfo - acentrico.

(80) Pca 21 No.29 Unità asimmetrica b ½+. ½+. a +. +. ‘. +. ‘. ‘. ‘. +. ½+. ½+. z. ½+. ½+. +. Z = 4: Vunità asimmetrica = ¼ Vcella unitaria Unità asimmetrica: 0 < x < ¼; 0 < y < 1; 0 < z < 1.. +. x. y.

(81) Pca 21 No.29 1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 0 R1 = 0 1 0 0. 0 0 1. 0 T1 = 0 0. 4 assi 21∕∕𝑐 : 0, 0, 𝑧 (½, 0, z) (0, ½, z) (½, ½, z). 21∕∕𝑐 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧 + ½). 1 𝑅2 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. 0 𝑇2 = 0 ½. 2 slittopiani 𝑎⊥𝑏 : 𝑥, 0, 𝑧 (x, ½, z) 𝑎⊥𝑏 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥+ ½, 𝑦, z). 1 𝑅3 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. 0 𝑇3 = 0 ½. 2 slittopiani 𝑐⊥𝑎 : ¼, 𝑦, z (¾, y, z) 𝑐⊥𝑎 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥 + ½, 𝑦, 𝑧 + ½). 1 𝑅4 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. Non esistono posizioni speciali in questo gruppo spaziale. ½ 𝑇4 = 0 ½.

(82) Classe di simmetria: mmm. Pmmm No.47. 2 2 2. Classe di Laue: 𝑚 𝑚 𝑚 Sistema ortorombico. b. +. Z=8;. -. +. +. - -. +. +. -. +. +. - -. +. +. ‘ ‘ ‘ ‘. +. -. -. -. -. +. - -. +. ‘ ‘ ‘ ‘. +. ‘ ‘ ‘ ‘. +. ‘ ‘ ‘ ‘. a. -. -. +. - -. +. (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑥, 𝑦, 𝑧) Non enantiomorfo - Centrosimmetrico.

(83) Pmmm No.47 b. +. ‘ ‘ ‘ ‘. +. -. -. +. +. - -. +. +. ‘ ‘ ‘ ‘ -. -. +. - -. +. Unità asimmetrica z. +. ‘ ‘ ‘ ‘. +. -. -. +. +. - -. +. +. ‘ ‘ ‘ ‘. a. -. -. +. - -. +. y Z = 8: Vunità asimmetrica = 1/8 Vcella unitaria Unità asimmetrica: 0 < x < ½; 0 < y < ½; 0 < z < ½.. x.

(84) Pmmm No.47 1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 0 R1 = 0 1 0 0. 0 0 1. 0 T1 = 0 0. 4 assi 2∕∕𝑐 : 0, 0, 𝑧 (½, 0, z) (0, ½, z) (½, ½, z) 2∕∕𝑐 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 𝑅2 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. 0 𝑇2 = 0 0. 4 assi 2∕∕𝑎 : 𝑥, 0,0 (x, ½, 0) (x, 0, ½) (x, ½, ½) 2∕∕𝑎 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 𝑅3 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. 0 𝑇3 = 0 0. 4 assi 2∕∕𝑏 : 0, 𝑦, 0 (½, y, 0) (0, y, ½) (½, y, ½) 2∕∕𝑏 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 𝑅4 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. 0 𝑇4 = 0 0.

(85) Pmmm No.47 8 centri di simmetria i: 0, 0, 0 (0, 0, ½) ½, 0, 0 (½, 0, ½) 0, ½, 0 (0, ½, ½) ½, ½, 0 (½, ½, ½) 1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → 𝑥, 𝑦, 𝑧. 1 0 R1 = 0 1 0 0. 0 0 1. 0 T1 = 0 0. 2 piani di simmetria 𝑚∕∕𝑎𝑏: 𝑥, 𝑦, 0 (𝑥, 𝑦, ½) 1 𝑅2 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. 2 piani di simmetria 𝑚∕∕𝑎c: 0, 𝑦, 𝑧. ½, 𝑦, 𝑧. 1 𝑅3 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. 𝑚∕∕𝑎𝑏 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑚∕∕𝑎𝑐 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 0 𝑇2 = 0 0. 0 𝑇3 = 0 0. 2 piani di simmetria 𝑚∕∕bc: 𝑥, 0, 𝑧 𝑥, ½, 𝑧 2∕∕𝑏 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 𝑅4 = 0 0. 0 0 1 0 0 1. 0 𝑇4 = 0 0.

(86) Pmmm No.47. Posizioni speciali Msp. Coordinate. 4. m. (𝑥, 𝑦, ½). (𝑥, 𝑦, ½). (𝑥, 𝑦, ½). (𝑥, 𝑦, ½). 4. m. (𝑥, 𝑦, 0). (𝑥, 𝑦, 0). (𝑥, 𝑦, 0). (𝑥, 𝑦, 0). 4. m. (𝑥, ½, 𝑧). (𝑥, ½, 𝑧). (𝑥, ½, 𝑧). (𝑥, ½, 𝑧). 4. m. (𝑥, 0, 𝑧). (𝑥, 0, 𝑧). (𝑥, 0, 𝑧). (𝑥, 0, 𝑧). 4. m. (½, 𝑦, 𝑧). (½, 𝑦, 𝑧). (½, 𝑦, 𝑧). (½, 𝑦, 𝑧). 4. m. (0, 𝑦, 𝑧). (0, 𝑦, 𝑧). (0, 𝑦, 𝑧). (0, 𝑦, 𝑧). 2. mm. (½, ½, 𝑧). (½, ½, 𝑧). (½, 0, 𝑧). (½, 0, 𝑧). 2. mm. (0, ½, 𝑧). (0, ½, 𝑧). (0,0, 𝑧). (0,0, 𝑧). 2. mm. (½, 𝑦, ½). (½, 𝑦, ½). (½, 𝑦, 0). (½, 𝑦, 0). 2. mm. (0, 𝑦, ½). (0, 𝑦, ½). (0, 𝑦, 0). (0, 𝑦, 0). 2. mm. (𝑥, ½, ½). (𝑥, ½, ½). (𝑥, ½, 0). (𝑥, ½, 0). 2. mm. (𝑥, 0, ½). (𝑥, 0, ½). (𝑥, 0,0). (𝑥, 0,0). 1. mmm. (½, ½, ½). (0, ½, ½). (½, ½, 0). (½, 0, ½). 1. mmm. (0, ½, 0). (0, 0, ½). (½, 0,0). (0,0,0).

(87) Sistema tetragonale I simboli degli elementi di simmetria del gruppo spaziale per questo sistema si riferiscono alle direzioni c, a, (a+b) nell'ordine (gli elementi sono paralleli ad essi se assi propri, perpendicolari se piani):. 𝑃4𝑚2. c a (a+b). L’asse di rotazione 4 trovandosi in prima posizione sarà parallelo all’asse c, il piano m trovandosi in seconda posizione sarà perpendicolare all’asse a, mentre l’asse binario trovandosi in terza posizione sarà parallelo alla diagonale di faccia (a+b). La classe di simmetria la deriviamo dal simbolo eliminando da ciascun elemento le componenti traslazionali (assenti in questo esempio), quindi sarà 4𝑚2..

(88) Sistema tetragonale. Tetragonale Primitiva (Click to rotate)1. Tetragonale Corpo-centrato (I) (Click to rotate)1. Nel sistema tetragonale, a = b  c; a = b = g = 90º. Le possibili classi di simmetria o gruppi puntuali sono: 4, 4 4/m, 422, 4mm, 42𝑚, and 4/mmm..

(89) b. Classe di simmetria: 4. P 4 No.75. a. +. 4. Classe di Laue: 𝑚 Sistema tetragonale. +. + +. +. + +. +. +. +. +. +. + +. + +. Z=4; (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑦, 𝑥, 𝑧) (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑦, 𝑥, 𝑧) Enantiomorfo - acentrico.

(90) Unità asimmetrica. P 4 No.75 b a. +. +. +. +. z. +. +. +. +. y +. +. +. x. +. + +. + +. Z = 4: Vunità asimmetrica = ¼ Vcella unitaria Unità asimmetrica: 0 < x < ½; 0 < y < ½; 0 < z < 1..

(91) P 4 No.75 1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 1 0 R1 = 0 1 0 0. 0 0 1. 0 T1 = 0 0. 2 assi 4∕∕𝑐 : 0, 0, 𝑧 (½, ½, 𝑧). 4∕∕𝑐 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 → 𝑦, 𝑥, 𝑧 → 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑦, 𝑥, 𝑧). 0 𝑅2 = 1 0. 1 0 0 0 0 1. 2 assi 2∕∕𝑎 : (½, 0, 𝑧) (0, ½, 𝑧). Posizioni speciali. Msp. Coordinate. 1. 4. (0, 0, 𝑧). (½, ½, 𝑧). 2. 2. (0, ½, 𝑧). (½, 0, 𝑧). 0 𝑇2 = 0 ¼.

(92) b a. ¼+ ½+. ¼+. P41 No.76. ½+ +. +. ¾+. ¾+. Classe di simmetria: 4 4. Classe di Laue: 𝑚 Sistema tetragonale. ¼+ ½+. ¼+ ½+. +. ¾+. Z=4;. +. ¾+. (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑦, 𝑥, ¼ + 𝑧) (𝑥, 𝑦, ½ + 𝑧). (𝑦, 𝑥, ¾ + 𝑧). Enantiomorfo - acentrico.

(93) Unità asimmetrica. P41 No.76. b. ¼+ a. ½+. ¼+. ½+ +. ¾+. z +. ¾+. y ¼+ ½+. ¼+ ½+. +. ¾+. x. +. ¾+. Z = 4: Vunità asimmetrica = ¼ Vcella unitaria Unità asimmetrica: 0 < x < ½; 0 < y < ½; 0 < z < 1..

(94) P41 No.76 1 0 R1 = 0 1 0 0. 1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 0 0 1. 0 T1 = 0 0. 2 assi 41∕∕𝑐 : 0, 0, 𝑧 (½, ½, 𝑧) 41∕∕𝑐 : 𝑥, 𝑦, 𝑧. 𝑅2. 𝑦, 𝑥, 𝑧 + ¼ 0 𝑅2 = 1 0. 𝑅2. 𝑥, 𝑦, 𝑧 + ½ 1 0 0. 0 0 1. 𝑅2. (𝑦, 𝑥, 𝑧 + ¾). 0 𝑇2 = 0 ¼. 2 assi 21∕∕𝑎 : (½, 0, 𝑧) (0, ½, 𝑧) Non esistono posizioni speciali in questo gruppo spaziale.

(95) Sistema trigonale I simboli degli elementi di simmetria del gruppo spaziale per questo sistema si riferiscono alle direzioni c, a, (a-b) nell'ordine (gli elementi sono paralleli ad essi se assi propri, perpendicolari se piani):. 𝑃31 12. c a (a-b). L’asse di rotazione 31 trovandosi in prima posizione sarà parallelo all’asse c, l’asse di ordine 1 in seconda posizione sarà parallelo all’asse a, mentre l’asse binario trovandosi in terza posizione sarà parallelo alla diagonale di faccia (a-b). La classe di simmetria la deriviamo dal simbolo eliminando da ciascun elemento le componenti traslazionali, quindi sarà 312..

(96) Sistema trigonale La cella trigonale convenzionale ha l’asse ternario lungo c, rapporti a:b:c = a:a:c e angoli a=b=90° e g = 120°. I diagrammi del gruppo spaziale con cella P si rappresentano con una forma romboedrica: origine b g = 120°. a.

(97) Sistema trigonale. I diagrammi dei gruppo spaziali con cella R si rappresentano come mostrato di fianco. Setting «obverse» del romboedro Robs e corrispondente cella unitaria esagonale non primitiva Rh. br. cr. Setting «reverse» del romboedro Robs e corrispondente cella unitaria esagonale non primitiva Rh. cr bH. bH ar. br. ar aH. Gli assi romboedrici posso essere orientati in due modi relativamente ai corrispondenti assi esagonali. Diversi termini sono stati usati per definire queste due orientazioni: «obverse» e «reverse», «positivo» e «negativo» o «diretto» e «reverse»,rispettivamente.. aH. Negli esempi seguenti il setting adottato sarà quello «obverse». Proiezione planare del setting «obverse» (---- spigoli inferiori, —— spigoli superiori del romboedro).. Proiezione planare del setting «reverse» (---- spigoli inferiori, —— spigoli superiori del romboedro)..

(98) Classe di simmetria: 3 Classe di Laue: 3 Sistema trigonale. P3 No.143. b +. +. +. a. +. +. +. + +. Z=3. +. +. + +. (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑧) (𝑥 + 𝑦, 𝑥, 𝑧) Enantiomorfo - Acentrico.

(99) P3 No.143. b (0, 0, 0) 4. a. 3. 4. 3 1. (0, ½, 0). (1/3 ,2/3, 0). 2 4. 2. 3. (½, 0, 0). 1. (2/3 ,1/3, 0) 1. 2. Unità asimmetrica Z = 3: Vunità asimmetrica = 1/3 Vcella unitaria 𝟐 𝟑. 𝟐 𝟑. 𝟏 𝟑. Unità asimmetrica: 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ ; 𝟎 ≤ 𝒚 ≤ ; 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ ; 𝒙 ≤ Vertici: 𝟎, 𝟎, 𝟎 𝟎, 𝟎, 𝟏. 𝟏 , 𝟎, 𝟎 𝟐. 𝟐 𝟏 , ,𝟎 𝟑 𝟑. 𝟏 𝟐 , ,𝟎 𝟑 𝟑. 𝟏 𝟐. 𝟎, , 𝟎. 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 , 𝟎, 𝟏 , ,𝟏 , , 𝟏 𝟎, , 𝟏 𝟐 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐. 𝟏+𝒚 𝟐. ; 𝒚 ≤ 𝒎𝒊𝒏(𝟏 − 𝒙, (1+x)/2).

(100) P3 No.143 1 0 R1 = 0 1 0 0. 1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). Tre assi 3∕∕𝑐 : 0, 0, 𝑧. 3∕∕𝑐 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 0 𝑅3 = 1 0. 𝑅3. 2 1 , ,𝑧 3 3. 𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑧 1 0 1 0 0 1. 𝑅3. 0 0 1. 0 T1 = 0 0. 1 2 , ,𝑧 3 3. (𝑥 + 𝑦, 𝑥, 𝑧). 0 𝑇3 = 0 0. I punti sull’asse tre sono in posizione speciale.

(101) 2 + 3 2 + 3. 1 + 3. R3 No.146 1 + 3. 2 + 3 1 + 3. 1 + 3. br. cr. +. 1 + 3. +. 1 + 3. bH. + 2 + 3. 1 + 3. 2 + 3. 2 + 3. +. 2 + 3. +. ar. +. 2 + 3 1 + 3. Le quote si riferiscono al sistema degli assi esagonali. + +. + +. +. Assi Romboedrici: (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑧, 𝑥, 𝑦) Assi Esagonali:. +. 2 + 3. 1 + 3. aH. Classe di simmetria: 3 Classe di Laue: 3 Sistema trigonale. (𝑦, 𝑧, 𝑥). [regola permutazione asse ternario]. (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑧) (𝑦 + 𝑥, 𝑥, 𝑧) [Matrice di rotazione asse ternario] 1. 2. 2. 2 3. 1 3. 1 3. 1. 2. 2. 2 3. 1 3. 1 3. 1. 2. 2. 2 3. 1 3. 1 3. Assi Esagonali:. 𝑥 + 3,𝑦 + 3,𝑧 + 3. 𝑦 + 3,𝑥 + 𝑦 + 3,𝑧 + 3. 𝑦 + 𝑥 + 3,𝑥 + 3,𝑧 + 3. (Centratura Rh). 𝑥 + ,𝑦 + ,𝑧 +. 𝑦 + ,𝑥 + 𝑦 + ,𝑧 +. 𝑦 + 𝑥 + ,𝑥 + ,𝑧 +.

(102) Assi romboedrici. R3 No.146. cr. br. (0, 1, 0). bH. (0, 0, 0). (1 ,1, 0). ar (1, 0, 0). aH. Unità asimmetrica. Z = 3: Vunità asimmetrica = 1/3 Vcella unitaria. Unità asimmetrica: 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏; 𝟎 ≤ 𝒚 ≤ 𝟏; 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝟏; 𝒛 ≤ 𝒎𝒊𝒏(𝒙, 𝒚) Vertici: 𝟎, 𝟎, 𝟎 𝟏, 𝟎, 𝟎 𝟏, 𝟏, 𝟎 𝟎, 𝟏, 𝟎 𝟏, 𝟏, 𝟏.

(103) Assi esagonali. R3 No.146. cr. br. (½, 0, 0). bH. (0, ½, 0). (0, 0, 0). (1/3 ,2/3, 0). ar (2/3 ,1/3, 0). Unità asimmetrica. aH Z = 9: Vunità asimmetrica = 1/9 Vcella unitaria 𝟐. 𝟐. 𝟏. Unità asimmetrica: 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑 ; 𝟎 ≤ 𝒚 ≤ 𝟑 ; 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝟑 ; 𝒙 ≤ Vertici: 𝟎, 𝟎, 𝟎. 𝟏 , 𝟎, 𝟎 𝟐. 𝟐 𝟏 , ,𝟎 𝟑 𝟑. 𝟏 𝟐 , ,𝟎 𝟑 𝟑. 𝟏. 𝟏. 𝟎, 𝟐 , 𝟎 𝟎, 𝟎, 𝟑. 𝟏+𝒚 𝟐. ; 𝒚 ≤ 𝒎𝒊𝒏(𝟏 − 𝒙, (1+x)/2). 𝟏 𝟏 , 𝟎, 𝟐 𝟑. 𝟐 𝟏 𝟏 , , 𝟑 𝟑 𝟑. 𝟏 𝟐 𝟏 , , 𝟑 𝟑 𝟑. 𝟏 𝟏. 𝟎, 𝟐 , 𝟑.

(104) R3 No.146. Assi romboedrici 1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). Usando la matrice di rotazione dell’asse 3, R3. 1 0 R1 = 0 1 0 0. 0 0 1. 0 T1 = 0 0. Usando la regola di permutazione delle coordinate dell’asse ternario cr. Un asse 3∕∕(𝑎+𝑏+𝑐) : 𝑥, 𝑥, 𝑥. br + + +. 0 𝑅3 = 1 0. 0 1 0 0 1 0. 3∕∕(𝑎+𝑏+𝑐) : 𝑥, 𝑦, 𝑧. 𝑅3. 0 𝑇3 = 0 0 𝑧, 𝑥, 𝑦. 𝑅3. ar 𝑦, 𝑧, 𝑥. 𝑥, 𝑦, 𝑧 → 𝑧, 𝑥, 𝑦 → 𝑦, 𝑧, 𝑥. I punti 𝑥, 𝑥, 𝑥 sull’asse 3 sono in posizione speciale..

(105) R3 No.146. Assi esagonali 1 0 R1 = 0 1 0 0. 1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). Tre assi 3∕∕𝑐 : 0, 0, 𝑧 3∕∕𝑐 : 𝑥, 𝑦, 𝑧. 𝑅3. 𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑧. 0 𝑅3 = 1 0 1. Tre assi 32∕∕𝑐 : 0, 3 , 𝑧 Tre asse 31∕∕𝑐 :. 1 2 , ,𝑧 3 3. 2 , 0, 𝑧 3. 1 1 0. 𝑅3. 0 0 1 1 , 0, 𝑧 3 2 0, 3 , 𝑧. 0 0 1. 0 T1 = 0 0. 2 1 , ,𝑧 3 3. 𝑦 + 𝑥, 𝑥, 𝑧 0 𝑇3 = 0 0 2 2 , ,𝑧 3 3 1 1 , ,𝑧 3 3. I punti sugli assi 3 sono in posizione speciale..

(106) R3 No.146 Assi esagonali Centratura della cella R 𝑥, 𝑦, 𝑧. 𝑅1. 𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑧 𝑦 + 𝑥, 𝑥, 𝑧. 𝑥, 𝑦, 𝑧. 𝑅2. 𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑧 𝑦 + 𝑥, 𝑥, 𝑧. 1 2 2 𝑥 + ,𝑦 + ,𝑧 + ; 3 3 3 𝑅1 𝑅1. 𝑦+. 1 ,𝑥 3. 2 + 3,𝑧. 2 3. + 𝑦 + ; 1 2 2 𝑦 + 𝑥 + ,𝑥 + ,𝑧 + ; 3 3 3. 2 1 1 𝑥 + ,𝑦 + ,𝑧 + ; 3 3 3 𝑅2 𝑅2. 𝑦+. 2 ,𝑥 3. 1 + 3,𝑧. 1 3. + 𝑦 + ; 2 1 1 𝑦 + 𝑥 + ,𝑥 + ,𝑧 + ; 3 3 3. 1 0 R1 = 0 1 0 0. 0 0 1. 1 0 R2 = 0 1 0 0. 0 0 1. 1. T1 =. 2 2. 2. T2 =. 1 1. 3 3. 3. 3 3 3.

(107) Sistema esagonale I simboli degli elementi di simmetria del gruppo spaziale per questo sistema si riferiscono alle direzioni c, a, (a-b) nell'ordine (gli elementi sono paralleli ad essi se assi propri, perpendicolari se piani):. 𝑃63 𝑚𝑐. c a (a-b). L’asse di rotazione 63 trovandosi in prima posizione sarà parallelo all’asse c, il piano di simmetria 𝑚 in seconda posizione sarà perpendicolare all’asse a, mentre lo slittopiano 𝑐 trovandosi in terza posizione sarà perpendicolare alla diagonale di faccia (a-b). La classe di simmetria la deriviamo dal simbolo eliminando da ciascun elemento le componenti traslazionali, quindi sarà 6𝑚𝑚..

(108) Sistema esagonale La cella esagonale convenzionale ha l’asse senario lungo c, rapporti a:b:c = a:a:c e angoli a=b=90° e g = 120°. I diagrammi del gruppo spaziale si rappresentano con una forma romboedrica: origine b g = 120°. a.

(109) Classe di simmetria: 6 Classe di Laue: 6 Sistema esagonale. P6 No.168. b +. a. +. +. +. Z=6. +. +. +. +. +. +. +. +. + +. +. +. +. +. +. +. + +. +. +. (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑥 + 𝑦, 𝑥, 𝑧) (𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑧) (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑥 + 𝑦, 𝑥, 𝑧) (𝑦, 𝑦 + 𝑥, 𝑧) Enantiomorfo - Acentrico.

(110) P6 No.168. b 2. a. 1. 2. 1 1. 2 2. 2. 1. 1 1. 2. Unità asimmetrica Z = 6: Vunità asimmetrica = 1/6 Vcella unitaria Unità asimmetrica: Vertici:.

(111) P6 No.168. ½ 1 0 R1 = 0 1 0 0. 1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥, 𝑦, 𝑧). 2 1 , ,𝑧 3 3. Un asse 6∕∕𝑐 : 0, 0, 𝑧. 6∕∕𝑐 : 𝑥, 𝑦, 𝑧. 𝑅6. (𝑥 + 𝑦, 𝑥, 𝑧). 𝑅6. (𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑧). 1 𝑅6 = 1 0. 1 0 0. 0 T1 = 0 0. 1 2 , ,𝑧 3 3. (𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑅6. (𝑥 + 𝑦, 𝑥, 𝑧). 0 𝑇6 = 0 0. 0 0 1. Due assi 3∕∕𝑐 :. 𝑅6. 0 0 1. 2 1 , ,𝑧 3 3. Tre assi 2: 0, ½, 𝑧. 1 2 , ,𝑧 3 3. ½, 0, 𝑧. ½, ½, 𝑧. I punti sugli assi 6, 3 e 2 sono in posizione speciale. 𝑅6. (𝑦, 𝑦 + 𝑥, 𝑧).

(112) Tavole Internazionali di Cristallografia La simmetria completa di un gruppo spaziale si rappresenta graficamente usando le convenzioni internazionali stabilite nelle International Tables for X-Ray Crystallography, vol. 1 (1983). Il diagramma di un gruppo spaziale è una proiezione lungo c. L'origine della cella (in alto a sinistra) è posta su un centro di simmetria, se è presente, altrimenti su qualche altro elemento di simmetria o alla loro intersezione, o in altra posizione comunque indicata. Accanto ai simboli grafici degli elementi di simmetria paralleli al piano del diagramma è scritta la quota (come frazione del periodo c). Le posizioni atomiche sono espresse in termini di coordinate frazionarie (x, y, z), cioè come frazioni della lunghezza degli assi cristallografici a, b e c. Nelle Tabelle viene riportata la lista delle posizioni equivalenti generali o speciali (numero e tipo). Queste ultime si applicano ad atomi che occupano posizioni speciali, giacciono cioè su elementi di simmetria (piani, assi propri, centri e loro combinazioni).. molteplicità. Estinzioni sistematiche. Le posizioni equivalenti generali nel gruppo P21/c sono quattro: 1) 𝑥, 𝑦, 𝑧; 2) 𝑥, 𝑦, 𝑧; 3) 𝑥, ½ + 𝑦, ½ + 𝑧; 4) 𝑥, ½ + 𝑦, ½ + 𝑧.

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