a.a. 2010-2011 18.2.2011
RANGO DI UNA MATRICE
Sia A = (aij) ∈ Mm,n(k) una matrice a entrate nel campo k per ogni 1 ≤ i ≤ m
la riga Ai∈ kn mentre per ogni 1 ≤ j ≤ m la colonna Aj ∈ km.
Teorema 0.1. Il massimo numero di righe linearmente indipendenti di A `e deno-tato rango o caratteristica di A (indicato ρ(A)) ed eguaglia quello delle colonne.
Proof. L’asserto `e banalmente vero se A `e la matrice nulla in quanto entrambi i numeri sono 0. Supponiamo quindi A nonnulla e siano rispettivamente p e q il massimo numero colonne e righe l.i., siano Ai1, . . . , Aip, p, colonne l.i.. Si ha:
A1= λ 11Ai1+ · · · + λ1pAip A2= λ 21Ai1+ · · · + λ2pAip · · · An= λ n1Ai1+ · · · + λnpAip
Poniamo λj= (λ1j, . . . , λnj) ∈ kn, la riga A`= (a`1, . . . , a`n) ∈ kn soddisfa
a`1= λ11a`i1+ · · · + λ1pa`ip a`2= λ21a`i1+ · · · + λ2pa`ip · · · a`n= λn1a`i1+ · · · + λnpa`ip . In forma vettoriale: A`= a`i1λ1+ · · · + a`ipλp.
Poich´e lo spazio delle righe risulta cos´ı generato da p elementi deve essere q ≤ p, con un ragionamento simile si prova che p ≤ q, ossia p = q.
