lineari
1 Sistemi di equazioni lineari
1.1 Rango di matrici
Come `e noto (vedi [1] sez.10.8), ad ogni matrice quadrata A `e associato un numero reale det(A) detto determinante della matrice. L’ordine di una matrice quadrata `e il numero delle sue righe o, equivalentemente, delle sue colonne.
Definizione 1.1. Data una matrice A, si chiama minore della matrice A una sotto-matrice quadrata, cio`e una matrice che si ottiene da A cancellando alcune righe (anche nessuna) ed alcune colonne (anche nessuna) in modo che il numero di righe rimanenti sia uguale al numero di colonne rimanenti.
Diremo che un minore M di A `e non nullo se det(M ) 6= 0.
Chiameremo rango di A l’ordine massimo dei suoi minori non nulli, ovvero rg(A) = k se esiste un minore non nullo di ordine k e se tutti i minori di ordine k + 1 (se esistono) sono nulli.
Osservazione 1.2. Se A `e una matrice m×n, cio`e ha m righe e n colonne, il suo rango `e al pi`u min(m, n), in questo caso si dice che la matrice ha rango massimo.
Una matrice n×n ha rango massimo se e solo se il suo determinante `e non nullo.
Una matrice ha rango zero se e solo se tutti i numeri che la compongono sono nulli.
Esempio 1.3. Consideriamo la matrice
1 3
−5 1
, (1.1)
e osserviamo che il suo determinante vale 16, quindi il suo rango `e massimo, cio`e vale 2.
Consideriamo la matrice
1 0 2
4 2 −1
0 −2 9
, (1.2)
1
Sistemi lineari 2
e osserviamo che il suo determinante vale 0, quindi il suo rango non `e massimo, cio`e `e minore di 3. D’altra parte, cancellando ad esempio l’ultima riga e l’ultima colonna, si ottiene il minore
1 0 4 2
, (1.3)
che ha determinante 2, quindi il rango `e 2.
La definizione di rango di una matrice suggerisce un metodo per calcolarlo
“dal basso”: cominciamo col cercare i minori di ordine 1 di A non nulli (facile!):
se non ne troviamo la matrice A ha rango 0, altrimenti rg(A) ≥ 1. In questo caso cerchiamo quelli di ordine 2 non nulli (ancora facile): se non ne troviamo la matrice ha rango 1, altrimenti rg(A) ≥ 2. Andiamo avanti in questo modo finch´e non troviamo un numero k per cui c’`e un minore di ordine k non nullo ma tutti i minori di ordine k + 1, se esistono, sono nulli. k sar`a il rango della matrice.
Consideriamo allora la matrice
A =
0 −5 1 3
1 0 −2 0
2 −5 −3 3
. (1.4)
Mentre `e facile trovare minori di ordine 1 e 2 non nulli, per sapere se il rango
`e 3 potremmo dover calcolare i determinanti di tutti i minore di ordine 3, cio`e di 4 matrici 3 × 3. Il risultato che segue dimostra che possiamo fare qualche calcolo in meno.
Definizione 1.4. Se M `e un minore di ordine k della matrice A, e N `e un minore di ordine k + 1 della matrice A, diremo che N orla M (N `e una matrice orlata di M ) se M si ottiene da N cancellandone una riga ed una colonna.
Proposizione 1.5 (delle matrici orlate). Se M `e un minore non nullo di A di ordine k, la matrice A ha rango k se e solo se tutte le matrici orlate di M hanno determinante nullo.
In pratica il risultato precedente ci dice che, nella ricerca del rango “dal basso”, possiamo fermarci al valore k se abbiamo trovato un minore non nullo di ordine k, e, invece di controllare tutti i minori di ordine k + 1 (se esistono) ci limitiamo a controllare solo quelli che si ottengono orlando il minore M . Nel caso della matrice A di eq. (1.4) ad esempio, scelto il minore non nullo
0 −5
1 0
, (1.5)
ci sono solo due minori che lo orlano, e cio`e
M =
0 −5 3
1 0 0
2 −5 3
e N =
0 −5 1
1 0 −2
2 −5 −3
. (1.6)
E’ facile vedere che entrambi hanno determinante nullo, e questo implica che il rango di A `e 2. Cio`e la Proposizione 1.5 ci assicura che se si annullano entrambi i minori M ed N che orlano il minore 2 × 2 non nullo che abbiamo scelto si annullano tutti i minori di ordine 3 (verificate!).
Esempio 1.6. Studiamo ora la matrice 4 × 4
B =
1 0 2 1
0 2 −2 4
2 3 −1 8
−4 1 −9 −2
. (1.7)
Partendo dai minori di ordine basso, possiamo scegliere il minore non nullo
1 0 0 2
. I minori che lo orlano sono 4:
M1=
1 0 1
0 2 4
−4 1 −2
M2=
1 0 2
0 2 −2
−4 1 −9
, M3=
1 0 1 0 2 4 2 3 8
. M4=
1 0 2
0 2 −2 2 3 −1
. Mentre i primi tre minori M1, M2 e M3 hanno determinante nullo, det(M4) =
−4, quindi il rango della matrice B `e almeno 3. Calcoliamo infine il determinante della matrice B sviluppandolo a partire dalla 3ariga, in modo da ritrovare alcuni dei determinanti gi`a calcolati:
det(B) = 2 det
0 2 1
2 −2 4
1 −9 −2
− 3 det
1 2 1
0 −2 4
−4 −9 −2
− det(M1) − 8 det(M2)
= 2(8 − 18 + 2 + 8) − 3(4 − 32 − 8 + 36) = 0,
quindi il rango di B non `e 4. Mettendo insieme i due risultati si ha rg(B) = 3.
1.2 Il teorema di Rouch´ e-Capelli
Ricordiamo che un generico sistema di equazioni lineari si pu`o scrivere nella forma AX = B, ove A `e la matrice dei coefficienti, X `e il vettore delle incognite e B `e il vettore dei termini noti, mentre con AX si intende il prodotto tra matrici (vedi [1] sez.10.4 e 10.7).
Come `e noto tre situazioni sono possibili per il sistema AX = B: esistenza e unicit`a del vettore delle soluzioni, esistenza di infinite soluzioni dipendenti da alcuni parametri, nessuna soluzione esistente. Il seguente Teorema caratterizza completamente le diverse alternative tramite i valori del rango delle matrici A e A|B, ove con A|B si intende la matrice ottenuta aggiungendo alla matrice A la colonna data dal vettore B.
Teorema 1.7 (di Rouch´e-Capelli). Il sistema AX = B `e compatibile, cio`e ha soluzioni, se e solo se rg(A) = rg(A|B). In questo caso, se n `e il numero delle incognite e k = rg(A) = rg(A|B), lo spazio delle soluzioni dipende da n − k parametri. In particolare il vettore delle soluzioni esiste ed `e unico se e solo se n = k, mentre se rg(A) 6= rg(A|B) non ci sono soluzioni.
Sistemi lineari 4
Osservazione 1.8. Se A `e una matrice n × n, la soluzione esiste ed `e unica se e solo se det(A) 6= 0, cio`e rg(A) = n (Teorema di Cramer). Da un alto infatti, se det(A) 6= 0, la matrice A|B `e n×(n+1), perci`o, avendo un minore di ordine n non nullo (cio`e la matrice A) ed essendo n il rango massimo, rg(A) = rg(A|B) = n, cio`e il sistema `e compatibile. Inoltre il numero delle incognite `e uguale al rango, cio`e la soluzione `e unica. Viceversa, l’esistenza vuol dire rg(A) = rg(A|B), e l’unicit`a vuol dire n = rg(A).
Il Teorema di Rouch´e-Capelli fornisce anche il seguente metodo per deter- minare le soluzioni, quando esistono: se rg(A) = rg(A|B) = k, si pu`o scegliere un minore M di ordine k non nullo. Scegliere un tale minore corrisponde a scegliere k righe e k colonne, cio`e k equazioni e k incognite. Allora il sistema originale `e equivalente ad un sistema che contiene solo le k equazioni prescelte, con le k incognite prescelte, mentre le restanti n−k incognite vanno interpretate come parametri.
Esempio 1.9. Si consideri il sistema di equazioni lineari
ty + 3z = 1
(t + 1)x − 21y − 2z = −4
−x + 5y + z = 1
.
(a) Dire se esistono, ed in caso da quanti parametri dipendono, le soluzioni del sistema, al variare del parametro t.
(b) Determinare le soluzioni, quando esistono, per ogni valore di t.
Risposta (a). Il determinante della matrice A dei coefficienti vale
det
0 t 3
t + 1 −21 −2
−1 5 1
= 2t + 15(t + 1) − 63 − t(t + 1) = −t2+ 16t − 48,
che si annulla per t = 4 o t = 12. Dunque rg(A) = 3 se e solo se t 6= 4 e t 6= 12.
Calcoliamo ora il rango della matrice
A|B =
0 t 3 1
t + 1 −21 −2 −4
−1 5 1 1
.
Se scegliamo il minore C = 0 3
−1 1
di ordine 2 non nullo, le matrici che lo orlano sono la matrice A e la matrice
M =
t 3 1
−21 −2 −4
5 1 1
,
il cui determinante vale det(M ) = 2t − 8. Nel complesso
1. Se t 6= 4 e t 6= 12, rg(A) = rg(A|B) = 3, ovvero esiste un’unica soluzione per per ogni t diverso da 4 e da 12.
2. Se t = 4, rg(A) = rg(A|B) = 2, ovvero lo spazio delle soluzioni dipende da un parametro.
3. Se t = 12, rg(A) = 2 ma rg(A|B) = 3, ovvero non esistono soluzioni.
Risposta (b).
1. Se t 6= 4 e t 6= 12, si ha, usando il metodo di Cramer,
x = det
1 t 3
−4 −21 −2
1 5 1
−t2+ 16t − 48 , y = det
0 1 3
t + 1 −4 −2
−1 1 1
−t2+ 16t − 48 , z = det
0 t 1
t + 1 −21 −4
−1 5 1
−t2+ 16t − 48 , ovvero (x, y, z) = −2
t − 12, −2
t − 12,(t − 4) t − 12.
2. Se t = 4 e scegliamo il minore non nullo C descritto sopra, selezioniamo la prima e l’ultima equazione e le incognite x e z. Di conseguenza, ponendo y = a, il sistema originale `e equivalente a
(3z = 1 − 4a
−x + z = 1 − 5a,
da cui si ricava facilmente x = (−2 + 11a)/3, y = a e z = (1 − 4a)/3.
3. Se t = 12 non esistono soluzioni.
Esercizio 1.10. Si considerino i sistemi di equazioni lineari
ty + 3z = 9
(t + 1)x − 25y − 2z = 9
−x + 5y + z = 8
,
ty + 3z = 6
(t + 1)x − 10y − 2z = 12
−x + 5y + z = 1
.
Per ciascuno dei sistemi qui sopra,
(a) dire se esistono, ed in caso da quanti parametri dipendono, le soluzioni del sistema, al variare del parametro t.
(b) determinare le soluzioni, quando esistono, per ogni valore di t.
References
[1] Marco Abate. Matematica e statistica. Le basi delle scienze della vita. Mc- Graw Hill 2012.
