Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine

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Lezione 7 - Nozioni di base sulle equazioni

differenziali

Unit`

a 7.1 Equazioni differenziali ordinarie del

primo ordine

Luca Salasnich

Dipartimento di Fisica e Astronomia “Galileo Galilei”, Universit`a di Padova

(2)

EDO del 1do ordine

Una tipica equazione differenziale ordinaria (EDO) del primo ordine `e del tipo

a(x ) f0(x ) + b(x ) f (x ) = g [f (x ), x ] , (1) dove f (x ) `e la funzione incognita, mentre a(x ), b(x ) e g [f (x ), x ] sono funzioni nota.

Ad esempio, l’equazione potrebbe essere

f0(x ) = 2 sin(x )f (x )2+ 3 ,

dove chiaramente in questo caso abbiamo che a(x ) = 1, b(x ) = 0 e g [f (x ), x ] = 2 sin(x )f (x )2_{+ 3.}

La EDO `e del primo ordine perch`e compare la derivata prima f0(x ) della funzione incognita f (x ).

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EDO del 1do ordine a coefficienti constanti

La pi`u generale equazione differenziale ordinaria (EDO) del primo ordine a coefficienti costanti `e del tipo

a f0(x ) + b f (x ) = c , (2) dove f (x ) `e la funzione incognita, mentre a, b e c sono coefficienti noti. Ad esempio, l’equazione potrebbe essere

−f0_{(x ) + 3 f (x ) = π ,}

dove chiaramente in questo caso abbiamo che a = −1, b = 3 e c = π. E’ importante sottolineare che i coefficienti a, b e c potrebbero anche essere dei numeri complessi. In questo caso anche la funzione incognita f (x ) sar`a una funzione con codominio complesso.

(4)

EDO del 1do ordine con cc. e omogenea (I)

L’equazione differenziale ordinaria (EDO) omogenea del primo ordine con coefficienti costanti

a f0(x ) + b f (x ) = 0 , (3) ammette la soluzione generale

f (x ) = A eλ x (4)

dove λ `e la soluzione dell’equazione algebrica

a λ + b = 0 ovverosia λ = −b

a , (5)

mentre la costante arbitraria A si determinana fissando una condizione iniziale alla funzione incognita f (x ).

Questo risultato si dimostra verificando che una volta inserita l’Eq. (4) nella parte a sinistra dell’uguale della Eq. (3) si trova zero solo se λ soddisfa l’Eq. (5).

(5)

EDO del 1do ordine con c.c. omogenea (II)

Ad esempio, consideriamo la EDO omogenea del primo ordine con coefficienti costanti

f0(x ) + 4 f (x ) = 0 con la condizione iniziale f (0) = 3.

Questa equazione ammette la soluzione generale f (x ) = A eλ x dove λ `e la soluzione dell’equazione algebrica

λ + 4 = 0 ovverosia λ = −4 , e quindi

f (x ) = A e−4x .

La condizione iniziale f (0) = 3 implica f (0) = A = 3. In definitiva, la soluzione della EDO risulta

(6)

Metodo della separazione della variabili (I)

L’equazione differenziale ordinaria (EDO) omogenea del primo ordine del tipo

a(x ) f0(x ) = d (x ) p[f (x )] , (6) pu`o essere formalmente risolta con il metodo della saparazione delle variabili.

Dato che f0(x ) = df_dx l’equazione si pu`o riscrivere formalmente come a(x ) df dx = d (x ) p[f ] (7) e quindi anche df p[f ] = d (x ) a(x )dx . (8)

Questa equazione tra differenziali pu`o essere integrata Z f (x ) f (x0) df p[f ]= Z x x0 d (x ) a(x )dx (9)

dove f (x0) `e la condizione iniziale della f (x ) in x0.

Se si riescono a calcolare i due integrali si ottiene la soluzione f (x ) cercata.

(7)

Metodo della separazione della variabili (II)

Ad esempio, consideriamo la EDO

x f0(x ) = x3f (x )2, con condizione iniziale f (1) = 2.

Posto f0(x ) =df_dx l’equazione si pu`o riscrivere come df dx = x 2 _f2 e quindi df f2 = x 2_{dx .}

Questa equazione tra differenziali pu`o essere integrata Z f (x ) 2 df f2 = Z x 1 x2dx

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Metodo della separazione della variabili (III)

e si ottiene allora −1 f f (x ) 2 = x 3 3 x 1 . Ne segue − 1 f (x )+ 1 2 = x3 3 − 1 3 e in definitiva f (x ) = ₅ 1 6− x3 3 .