Universit`a degli Studi di Udine Anno Accademico 2009/2010 Facolt`a di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea in Matematica
Analisi Matematica 5
Appello del 21 settembre 2010
N.B.: scrivere nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio consegnato. `E ammesso l’utilizzo degli appunti del corso. Tempo a disposizione: 3 ore
1 Dato il sistema di equazioni differenziali nel piano
(
x0 = y + x − x3− xy2
y0 = y − x − yx2− y3,
a) verificare che si ha esistenza ed unicit`a locale per le soluzioni dei problemi di Cauchy associati; b) determinare gli equilibri del sistema;
c) verificare che la funzione (¯x(t), ¯y(t)) = (cos t, − sen t) `e una soluzione del sistema e disegnarne l’orbita nel piano (x, y);
d) considerata la soluzione (x(t), y(t)) del problema di Cauchy associato con dati iniziali (x(0), y(0)) = (1/√3, 0), provare che `e globalmente definita;
e) dimostrare che la norma euclidea della soluzione `e crescente e utilizzare questa propriet`a per studiare il comportamento della soluzione per t → +∞ e t → −∞;
f) trovare esplicitamente la soluzione del punto d) (Suggerimento: utilizzare una simmetria del problema.) 2 Data la matrice A := 4 5 2 0 −1 0 −10 −10 −4
a) calcolare la matrice fondamentale etA;
b) dimostrare che al variare di ¯y il problema di Cauchy
(
y0 = Ay y(0) = ¯y,
ammette sempre un’unica soluzione globalmente definita e globalmente limitata in futuro. Cosa si pu`o dire della limitatezza in passato?
Si consideri ora l’equazione y0 = Ay + b(t) dove b : R → R3 `e una funzione continua. Discutere l’esistenza globale delle soluzioni. Dimostrare che
c) se b `e costante tutte le soluzioni sono globalmente limitate in futuro;
d) esistono funzioni b non costanti ma limitate per le quali le soluzioni non sono globalmente limitate in futuro.
